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第二章
实数
八年级数学北师版·上册
2 第3课时 立方根
新课引入
情境思考1
传说很久很久以前，在古希腊的某个地方发生了大旱，地里的庄稼都旱死了，于是大家一起到神庙里去向神祈求，神说：“我之所以不给你们降水，是因为你们给我做的这个正方体的祭坛太小，如果你们做一个比它的体积大一倍的祭坛放在我面前，我就会给你们降水.”大家觉得这好办，于是很快做好一个新祭坛送到神那里，新祭坛的棱长是原祭坛棱长的2倍，可是神更加恼怒地说：“你们竟敢愚弄我！这个祭坛的体积根本不是原来那个体积的2倍，我要进一步惩罚你们！”
(1)新做的祭坛的体积到底是原祭坛体积的多少倍？
(2)要做一个体积是原来祭坛体积2倍的新祭坛，它的棱长应是原来的多少倍？
解：新祭坛的棱长是原来的2倍，设原来的棱长为x，新祭坛棱长为2x，体积就是棱长的立方，8x ，原来祭坛体积x ，相除，得新祭坛是原来祭坛的8倍.要是原来祭坛两倍，原来祭坛体积x ，所以新祭坛体积应该为2x ，正方体体积=棱长的立方，所以开立方根，得出棱长应为原来的倍
新课引入
(1)面积为2的正方形的边长为多少？
(2)体积为2 的正方体的棱长是多少？
请同学们回忆求解a2=2时的情境，那么a3=2呢？
情境思考2
新课引入
某化工厂使用半径为1 m的一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？如果储气罐的体积是原来的4倍呢？
怎样求出半径R ？
新知探究
解：原来的体积为：V=
体积变成原来的8倍以后V=8× =
半径为：，即变为原来的2倍.
体积变成原来的4倍以后：V=4 × =
半径为：，即变为原来的倍.
(1)什么叫一个数a的平方根？如何用符号表示数a(a≥0)的平方根？
(2)正数的平方根有几个？它们之间的关系是什么？负数有没有平方根？0的平方根是什么？
(3)平方和开平方运算有何关系？
(4)算术平方根和平方根有何区别与联系？
新知探究
见下一页
正数的平方根有两个，它们之间互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0.
互逆的过程
一个正数的算术平方根只有一个，而平方根有两个，互为相反数；0的算术平方根和平方根都是0；负数没有算术平方根也没有平方根；算术平方根是平方根中的正值部分.
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫做a的平方根，记作 ，读作“正负根号a”.
平方根的定义
试一试，你能给出立方根定义吗？
新知探究
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(cube root， 也叫做三次方根).
立方根的定义
新知探究
怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？
23=(　　)；
(　　)3=8；　　(-3)3=(　　)
8
2
-27
新知探究
.
(1)正数有几个立方根？
(2)0有几个立方根？
(3)负数有几个立方根？
议一议
正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数.都只有一个立方根.
新知探究
求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数.
a叫做被开方数
3叫做根指数
注意：这个根指数3是绝对不可省的.
新知探究
1. 求下列各数的立方根.
(1) -27；　(2) ；(3)0.216； (4) -5.
解：（1）因为(-3)3=-27，所以-27的立方根是
-3，即 .
新知探究
(3)因为0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即 .
(4) -5的立方根是 .
（2）因为 ，所以 的立方根是 ，即 .
新知探究
2.求下列各式的值.
（1）
（4）
（3）
（2）
解：（1）
（2）
（3）
（4）
新知探究
平方根与立方根的区别与联系：
1.区别：
(1)在用根号表示平方根时，根指数2可以省略，而用根号表示立方根时，根指数3不能省略；(2)平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有，并且每个数都只有一个立方根；(3)正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个.
新知探究
2.联系：
(1)开平方与开立方运算都与相应的乘方运算互为逆运算；(2)都可归结为非负数的非负方根来研究，平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可转化为正数的立方根来研究, 即 ；(3)0的平方根和立方根都是0.
新知探究
求下列各数的立方根.
(1)0.001；(2)-512；（3） .
解：(1)0.1 (2)-8 （3）
巩固练习
1.了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求一个数的立方根.
2.在学习中应注意以下5点：
(1)符号 中的根指数“3”不能省略；
(2)对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有一个立方根；
课堂小结
(3)平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；负数没有平方根，但却有一个立方根；
(4)灵活运用公式 ， ，
;
(5)立方与开立方也互为逆运算.我们可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不是另一个数的立方根.
课堂小结
课堂小测
1.求下列各式的值.
解：(1)0.5.　(2)-4.　(3)5.　(4)16.
2.一个正方体大木块，现在把它锯成8块大小相同的正方体小木块，那么小木块的棱长是原来的几分之几？
解：设大正方体的棱长a，则它的体积为a3，锯成8块后小木块的棱长为x，则
则 所以小木块的棱长是原来的 .
课堂小测

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