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2024-2025学年上海市光明中学高一下学期期中调研测试数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“，”是“”的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知在上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.若对任意实数都有，则角的终边在 ．
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：
该函数的值域为；该函数为奇函数；
该函数在时取到最大或最小值；该函数为周期函数，且最小正周期为．
其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.是第 象限角．
6.已知角的终边经过点，则 ．
7.已知，且，则的值是 ．
8.已知，则 用反余弦表示．
9.函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ．
10.化简 ．
11.若点，将绕坐标原点逆时针旋转至则点的坐标是 ．
12.函数的值域为 ．
13.已知和的图像的连续的三个交点、、构成三角形，则的面积等于 ．
14.在中，若，，，则的值为 ．
15.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为
16.在平面直角坐标系中，，两点绕定点按顺时针方向旋转角后，分别到，两点位置，则的值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知角和满足．
若，求的值：
若，求的值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，点为单位圆与轴正半轴的交点，点为单位圆上的一点，且，点沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点．
当时，求的值；
设，求的取值范围．
19.本小题分
记的内角的对边分别为，已知
求；
若，的面积为，求．
20.本小题分
如图所示，平面四边形为某金鱼池区域，为观光区域，准备在、、三条边上修建观光路，已知，米，米．
求四边形的面积精确到平方米；
求观光路长度总和的最大值精确到米，不考虑道路的宽度．
21.本小题分
设．
当时，用函数单调性的定义证明：函数在区间上是严格增函数．
根据的不同取值，讨论函数在区间上零点的个数；
若函数在区间为正整数上恰有个零点，求的最小值及此时的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.三
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.
16.
17.【详解】因为，，
所以，可得，
即，解得或．
因为，故，
可得，即，
故，
故．

18.【详解】根据三角函数的定义，得
，
，
所以．
，，
则．
因为，所以，所以．

19.【详解】由已知及正弦定理可得．
因为，
所以，
即．
又，所以，
则．
因为，所以，则，所以．
由知，
故．
因为，所以．
由余弦定理得，
故．

20.【详解】解：如图，连接，，米，故三角形为等腰三角形，
且，由，故，所以，
易知，
所以
平方米．
由可知，
在中，由余弦定理得，
即
因为，当且仅当时，取等号，
故式可化为：，即，
故观光道路长度总和的最大值约为米．

21.【详解】设，
，
，
，
因为，所以，
且，所以，所以，
则，
所以，
即，所以，
所以函数在区间上是严格增函数．
，则，
当时，即，，，
所以不管为何值，和是函数的零点，
当，即或时，，如图画出函数的图象，
若或时，与无交点，没有零点，
若或时，与有个交点，为和，需舍去，所以没有零点，
当或时，与有个交点，
当时，与有个交点，
综上可知，或时，有个零点，
当或时，有个零点，
当时，有个零点．
由可知，时，最多有个零点，
时，区间为，不管为何值，函数的零点包含，个零点，
当时，与在区间有个交点，
如图，
当时，在区间有个交点，此时交点的横坐标为函数的零点，
所以的最小值为，此时．

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