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2024-2025学年上海市青浦高级中学高一下学期期末质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是( )
A. 和 B. 与
C. 与 D. 与
2.用数学归纳法时，从“到”左边需增乘的代数式是( )
A. B. C. D.
3.在中，角、、的对边分别为、、若，则的大小不可能为( )
A. B. C. D.
4.已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为( )
若，则为内心
若，则为等腰三角形
若，则为的外心
若，则点的轨迹一定经过的重心
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.设全集，集合，则 ．
6.不等式的解集为 ．
7.已知扇形的圆心角，半径为，则该扇形的面积为 ．
8.计算 ．
9.已知角的终边经过点，则 ．
10.在复数范围内，的所有平方根为 ．
11.已知等差数列满足，，则 ．
12.若、都是锐角，且，，则 ．
13.已知为数列的前项和，且，则数列的通项公式为 ．
14.已知向量，向量在方向上的投影向量为，则 ．
15.已知函数，数列满足，且为正整数，则 ．
16.已知、、、、五个点，满足，，则的最小值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知为虚数单位，，复数．
若是实数，求的值；
若是纯虚数，求的值．
18.本小题分
已知为坐标原点，，，．
若、、三点共线，求的值；
若与夹角为钝角，求的取值范围．
19.本小题分
已知复数，，是虚数单位．
若是实系数一元二次方程的一个根，求实数和的值；
当为何值时，关于的二次方程有一个实根．
20.本小题分
某工厂去年月试生产新工艺消毒剂升，产品合格率为，从今年月开始，工厂在接下来的两年中将正式生产这款消毒剂，今年月按去年月的产量和产品合格率生产，此后每个月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加．
求今年月到月该消毒剂的总产量精确到升；
从第几个月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在升以内不含升？
参考公式：月产消毒剂中不合格的量月产量月产品合格率
21.本小题分
定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的“线性函数”，为的“线性向量”，
若向量为函数的“线性向量”，求
若函数为向量的“线性函数”，在中，，且，求的值；
若函数为向量的“线性函数”，且当时，方程存在个不相等的实数根，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.或
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：若是实数，则有，解得或；
若是纯虚数，则有．

18.解：，
三点共线，与共线，
则，解得．
由知，
与夹角为钝角，可得，解得，
若与平行，则，解得，
若与不平行，则，
的取值范围是．

19.解：若是实系数一元二次方程的一个根，则也是实系数一元二次方程的另一个根，
根据韦达定理得，
解得；
由有，
所以，所以
所以，
当时，原方程有一个实根为．

20.解：设今年第个月生产了升消毒剂，则有，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以今年月到月该消毒剂的总产量为：升
设第个月生产的消毒剂中不合格的量为升，由有，
所以，
所以，由，解得，
所以当时，，
又，
，
所以从第月起，月产消毒剂中不合格的量能一直控制在升以内．

21.解：因为，
则，故．
依题意，，
由可得，
因，则，故，解得，
因，则，
又，代入解得，
由正弦定理，，可得，
代入，可得，
又由余弦定理，，
可得，
于是，
解得．
，
当时，，
由，得，
或，
由，即，而，解得或，
即在上有两个根，
方程在上存在个不相等的实数根，
当且仅当且在上有两个不等实根，
在同一坐标系内作出函数在上的图像和直线，如图，
方程在上有两个不等实根，
当且仅当函数在上的图像和直线有两个公共点，
观察图像知：或，
解得或，
所以实数的取值范围是．

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