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2024-2025学年四川省泸州市合江县中学校高一上学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.计算( )
A. B. C. D.
3.已知函数过定点，幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
4.下列不等式中正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知定义域为的函数满足，当时，，则满足的实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 函数图象的一条对称轴是直线
C. 是奇函数
D. 若，则
7.在不考虑空气阻力的条件下，飞行器在某星球的最大速度单位：和所携带的燃料的质量单位：与飞行器除燃料外的质量单位：的函数关系式近似满足为常数当携带的燃料的质量和飞行器除燃料外的质量相等时，约等于，当携带的燃料的质量是飞行器除燃料外的质量的倍时，约等于，则常数的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，则下列说法正确的是( )
A. 函数与函数互为反函数
B. 函数在区间内没有零点
C. 若，，均为正实数，且满足，则
D. 若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，则
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为假命题的是( )
A. 不等式的解集是
B. 用二分法求方程在上的近似解时，经计算，，，则下一步应计算的正负
C. 函数的零点是，
D. 若，，则
10.已知，，则下列结论正确的是( )
A. 为第二象限角 B.
C. D.
11.已知偶函数的定义域为，且，，则以下说法正确的是( )
A. B. 函数的图像关于直线对称
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知弧长为的弧所对的圆心角为，则该弧所在的扇形面积为 ．
13.若正数，满足：，则的最小值为 ．
14.已知函数，若关于的方程有六个相异的实数根，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设全集，，．
求；
已知，若“”的充分条件是“”，求实数的取值范围．
16.本小题分
设函数的周期为．
求函数的单调递增区间；
当时，求方程的所有根的和．
17.本小题分
已知定义在上的函数图象关于原点对称．
求的解析式；
判断并用定义证明的单调性；
解不等式．
18.本小题分
学校数学学习小组在假期社会实践活动中，对某公司的一种产品销售情况的调查发现：受不可抗力因素影响，该种产品在年月份价格浮动较大的一个月，以天计的最后天无法进行销售，日销售单价单位：千元千克与第天的函数关系满足为正实数因公司数据保存不当，只能查到该产品的日销售量单位：千克与的如下数据：，，，已知第天该产品的日销售收入为千元日销售收入日销售单价日销售量．
给出以下三种函数模型：；；，请你根据上述数据，帮助这组同学从中选择最合适的一种函数模型来描述该产品在年月份的日销售量与的关系，并求出该函数的解析式；
在的基础上，求出该公司在年月份第天到第天中，该产品日销售收入单位，千元的最小值．
19.本小题分
已知函数满足．
Ⅰ当时，解不等式；
Ⅱ若关于的方程的解集中有且只有一个元素，求的取值范围
Ⅲ设，若对，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围．
参考答案
1.
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13.
14.
15.【详解】因为，所以，即，所以，，
因为，所以，所以，
所以；
因为“”的充分条件是“”，
所以，
若，则，所以；
若，则，所以，
综上所述：．

16.【详解】因为函数的周期为，
所以周期，解得，即函数；
由正弦函数的单调性，可令，
解得，，即的单调递增区间为；
由，可得或，
因为，可得，
当时，，设方程的解为，，
则，可得；
当时，，则，可得，
综上所述：方程的所有根的和为．

17.【详解】由题意可得，
即，，故，
即，此时有，
故关于原点对称，故，
即的解析式为；
在上单调递增；证明如下：
令，则
，
由，则，，，
故，即在上单调递增；
由题意可得为奇函数，则有，
又因为在上单调递增，则有，解得，
所以原不等式的解集为．

18.【详解】当时，由，得，即，，
因为，，则，而，即日销售量数据有增有减，
显然，模型都是单调函数，不符合题意，选择模型，
将，代入模型得：，解得
所以模型的函数解析式为．
由知，当时，，，
因此
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，该产品日销售收入最小，最小值为千元．

19.【详解】Ⅰ由题意可得，得，解得．
Ⅱ方程有且仅有一解，等价于有且仅有一正解，
当时，符合题意；
当时，，此时方程有一正、一负根，满足题意，
当时，要使得有且仅有一正解，则：，
解得：，则方程的解为，满足题意．
综上，或
Ⅲ当时，，
所以在上单调递减
函数在区间上的最大值与最小值分别为，，
即对任意恒成立，
因为，所以函数在区间上单调递增，
所以时，有最小值，
由，得
故的取值范围为

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