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2024-2025学年江苏省如皋中学高一下学期数学期末试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数与都是纯虚数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，则( )
A. B. C. D.
3.体育强则中国强，国运兴则体育兴．为备战年成都世运会，名运动员进行特训，特训的成绩分别为，，，，，，，，，，则这组数据的( )
A. 众数为 B. 平均数为
C. 中位数为 D. 第百分位数为
4.已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.设随机事件，满足，，则 ．
A. B. C. D.
6.在中，角所对的边分别为，已知，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
8.如图，为直三棱柱，用一个平行于底面的平面截此三棱柱，记下列三个三棱锥，，在平面上方的部位体积为，，，并记三个三棱锥被平面截得的面积分别为，，，那么当时，( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设样本空间，且每个样本点是等可能的，已知事件，则下列结论正确的是
A. 事件与为互斥事件 B. 事件两两相互独立
C. D.
10.在中，，，，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. 的面积为 D. 的外接圆半径为
11.已知正方体的棱长为，下列说法正确的是( )
A. B. 与所成的角为
C. 与平面所成的角为 D. 到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则 ．
13.记的内角的对边分别为，，，，，，则边上的高为 ．
14.在三棱锥中，是边长为的等边三角形，侧面底面，若三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 ，三棱锥体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
若，且，求的值；
若点共线，求的值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面．
求证：平面；
求证：平面平面．
17.本小题分
记的内角所对的边分别为，已知．
求；
若为边上的一点，．
求；
求的面积．
18.本小题分
某班元旦联欢会上开展趣味抽奖小游戏，在不透明的盒子里装有标号为，的两个红球和标号为，，的三个白球，五个小球除颜色外完全相同，参与游戏的同学从中任取个，有放回的抽取次，根据抽到小球的情形分别设置一，二，三等奖班委会讨论了以下两种规则：
规则一：若抽到两个红球且标号和为偶数获一等奖，抽到两个白球且标号和为偶数获二等奖，抽到两个球标号和为奇数获三等奖，其余不获奖；
规则二：若抽到两个红球且标号和为奇数获一等奖，抽到两个球的标号和为的倍数获二等奖，抽到两个球标号和为偶数获三等奖，其余不获奖．
请以标号写出两次抽取小球的所有结果其中，分别为第一、第二次抽到的小球标号；
求两种规则下获得二等奖的概率；
请问哪种规则获奖概率更大，并说明理由．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点．
求证：平面平面；
试作出二面角，并求二面角的正切值；
点为对角线上的点，且，垂足为，求与平面所成的最大角的正弦值注：本题建系不得分
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，
因为，
所以，解得．
因为点共线，所以共线，
因为，
所以，
则，
所以．

16.解：，且为棱的中点，，
又，四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
平面．
平面，平面，，
连接，由题意，为棱的中点，，
知，且，则四边形为平行四边形，
，，又，
所以平行四边形为正方形，，
又，，又，平面，
平面，又平面，所以平面平面．

17.解：因为，
所以，
即．
由正弦定理得．
因为，所以，
所以，即，
所以，又，所以，
所以，故．
在中，由余弦定理得，
即，
解得或舍去
在中，由余弦定理得，
所以．
因为，所以．
所以
．
在中，由正弦定理得，解得，
所以

18.解：两次抽取小球的所有可能结果为：
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
记规则一中获得二等奖为事件，记规则二中获得二等奖为事件，
事件包含，，，，五个样本点，
故，
事件包含，，，，五个样本点，
故．
规则二获奖概率大．
理由如下：记规则一获得一，二，三等奖分别为事件，，，
规则二获得一，二，三等奖分别为事件，，，
事件包含，两个样本点，．
事件包含，，，，，，，，，，，十二个样本点，
．
所以规则一获奖的概率
，
事件包含，两个样本点，；
事件包含，，，，，，，，，，，，十三个样本点，．
所以规则二获奖的概率
，
，所以规则二获奖的概率大．

19.解：，，
则，
；
又，，、平面，
平面，平面，
平面平面；
侧棱，点为中点，
，
又，
为正三角形，取中点，则，，
因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面，
过点作交延长线于点，连接，．
平面，所以，
又，，、平面，
所以平面，又平面，，
根据定义，即为二面角的平面角．
，
．
法一作平面，
则，为在平面内的射影，所以点，，共线，
再在平面作交于点，
又，，、平面，
平面，
设线交线于点，则，
又，，、平面，
平面，平面，得，
，，
又因为，
所以与平面所成的最大角的正弦值为，
当点为线与的交点时取到最大角；
法二过点作交于点，连接，．
设，，，
则，，
从而．
，
，，
于是，
当且仅当，即点为与交点时，等号成立．

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