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2024-2025学年江苏省盐城中学高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.下列关于空间几何体的论述，正确的是( )
A. 有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台
C. 连接圆柱上下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线
D. 圆台的轴截面不可能为直角梯形
3.已知向量为非零向量，则“”是“存在非零实数，，使得”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象若在上单调递增，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.若，其中，则( )
A. B. C. D.
7.是斜边上一点，若，则的值( )
A. B. C. D.
8.如图所示，在边长为的正八边形中，点为正八边形的中心，点是其内部任意一点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在平行四边形中，为的中点，，则( )
A. B.
C. D.
10.若函数在一个周期内的图象如图所示，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的增区间是
C. 是奇函数
D. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变得到的图象
11.已知三个内角的对边分别是，若，则下列选项正确的是( )
A.
B. 若是边上的一点，且，则的面积的最大值为
C. 若是锐角三角形，则的取值范围是
D. 若是的外心，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为复数，若，则的最大值为 ．
13.化简 ．
14.已知函数和函数若关于的方程在内有两个不同的解、，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，且为纯虚数．
求复数；
若，求复数以及模．
16.本小题分
已知向量，其中为坐标原点．
若，，三点共线，求实数的值；
当四边形为矩形时，设点为线段的中点，问在线段上是否存在点使得，若存在，请求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由．
17.本小题分
已知函数．
求函数的值域；
若，求的值．
18.本小题分
“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说除了我”麦田里的守望者中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田．假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量知，．
若，求；
霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；
霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值．
19.本小题分
已知是直线外一点，点、在直线上点、与点、任一点均不重合我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记，并且记记的内角、、的对边分别为、、已知，，是射线上一点，现由点对施以视角运算，得到．
若，求的值；
射线上的点满足．
求；
求的最小值．
参考答案
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14.
15.解：由题意，它为纯虚数，
则
；
，
．

16.解：由，
得．
则，
因，，三点共线，则，即，解得．
如图，四边形为矩形，则，
因，则
由，解得，即，
因的中点即的中点，
故，解得，即．
因为中点，故，假设在线段上存在点满足条件，
则，则可得
则，故．
由，可得．
展开并化简：，解得或．
故或．


17.解：
，
因为，所以，所以，
即函数的值域为．
由，，
得，
所以
．

18.解：由，．，
在中，由余弦定理得，
所以．
又，所以是等边三角形，
所以；
在中，由余弦定理得
在中，由余弦定理得，
所以为定值；
，
则，
由知：，
代入上式得：，
配方得：，
又，
所以当时，取到最大值．

19.解：因为，所以点在线段上，如图所示，
又，所以由，
得，
因为，且，，
所以舍或，
所以为的角平分线，
又，所以，
在中，，
由余弦定理得
，故，
因为，则，
即，故．
记，因为，
所以点在线段的延长线上，如图所示，
即，
因为，所以，
化简得，即，
可得，即，
因为，所以；
因为，则，
即，所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为．

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