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2024-2025学年湖南省衡阳市衡阳县第三中学高一上学期创新班期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则命题的否定为 ( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.函数的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.已知函数是上的奇函数，则函数的图象恒过定点( )
A. B. C. D.
6.某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间小时满足函数关系式其中为非零常数，若经过小时该药物的分解率为，经过小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过 参考数据：
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
7.已知函数的值域为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.当时，不等式恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设正实数、满足，则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
10.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减
C. 在图象关于直线对称 D. 的图象关于点对称
11.已知函数的定义域为，为奇函数，且对于任意，都有，则( )
A. B.
C. 为偶函数 D. 为奇函数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知实数，满足，，则范围是
13.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则满足的实数的取值范围为 ．
14.定义在上的函数，对，，使得，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知全集，集合或．
Ⅰ若，求；
Ⅱ若，求实数的取值范围．
16.本小题分
某学习机公司生产学习机的年固定成本为万元，每生产万部还需另投入万元设该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利润为万元；当该公司一年内共生产该款学习机万部并全部销售完时，年利润为万元．
求，；
写出年利润万元关于年产量万部的函数解析式；
当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．
17.本小题分
已知二次函数，且关于的不等式的解集为．
求实数，的值；
若不等式对恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，且．
求，的值；
判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明；
解关于的不等式．
19.本小题分
定义：若对定义域内任意，都有为正常数，则称函数为“距”减函数．
若，判断是否为“距”减函数，并说明理由；
若是“距”减函数，求实数的取值范围；
已知，其中，若是“距”减函数，求实数的取值范围及的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.．
13.
14.
15.解：Ⅰ当时，或，
，
又由，可得．
Ⅱ由已知可得，
，
或，
或，又，
实数的取值范围为或．

16.【详解】依题意，，所以．
当时，，
当时，，
所以所求函数解析式为．
当时，，
此时由二次函数单调性可知；
当时，，
当且仅当，即时取等号，
因为，
所以当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元．

17.【详解】由题意，，且和是关于的方程的两根，
故解得
由对恒成立，即对恒成立，
只要，其中．
而，
当且仅当即时取等号．
故当时，取最小值．
因此，，即，
即实数的取值范围是．

18.解：因为函数是定义在上的奇函数，
所以，解得，又，
故，经检验适合题意，故，；
函数在区间上单调递增；
证明：由知，，
任取，
则，，
故
，
所以，
即，所以在区间上单调递增；
因为为奇函数，所以．
等价于，
又在区间上单调递增，
所以，
解得，
故不等式的解集为．
19.【详解】是否为“距”减函数，
对任意，，
因为，
所以，即，
所以是“距”减函数．
因为，
又是“距”减函数，
所以恒成立，
因为，所以恒成立，
所以，即，
解得．
因为，其中，且为“距”减函数，
所以当时，恒成立，
因为是减函数，
所以根据复合函数单调性可知对恒成立，
当时，，即恒成立，
只需，即，解得，
综上所述，
又，
因为，所以当时，在时取得最小值，最小值为，
此时函数的最大值为，
当时，在时取得最小值，最小值为，
此时函数的最大值为，
综上．

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