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2024-2025学年湖南省长沙市宁乡市高一下学期7月期末调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则直线与的位置关系是( )
A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 相交或异面
3.袋中装有个白球，只黄球，个红球，从中任取球，抽到的不是白球的概率为( )
A. B. C. D.
4.某校有男生人，女生人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取人进行调查，则男生被抽取的人数是( )
A. B. C. D.
5.下面定义一个同学数学成绩优秀的标志为：“连续次考试成绩均不低于分”现有甲、乙、丙三位同学连续次数学考试成绩的记录数据记录数据都是正整数：
甲同学：个数据的中位数为，众数为；
乙同学：个数据的中位数为，总体均值为；
丙同学：个数据的中位数为，总体均值为，总体方差为；
则可以判定数学成绩优秀的同学为( )
A. 甲、丙 B. 乙、丙 C. 甲、乙 D. 甲、乙、丙
6.已知平面向量满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.中国古代数学专著九章算术中对两类空间几何体有这样的记载：“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥现有一“堑堵”，如图所示，，，，则其中“阳马”与“堑堵”的体积之比为( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
8.在正三棱柱中，，动点满足，，则下列几何体体积为定值的是( )
A. 四棱锥 B. 四棱锥
C. 三棱锥 D. 三棱锥
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数是的共轭复数，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 为方程的一个根
10.已知向量与满足，，且则下列说法正确的是( )
A. 若，则向量与向量共线
B. 向量与的夹角为
C.
D. 向量与向量垂直
11.中，内角，，所对的边分别为，，下列与有关的结论中正确的是( )
A. 若，，，则满足条件的三角形有个
B. 若，则是等腰三角形
C. 若是锐角三角形，则
D. 若，，分别表示，的面积，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个正方体的棱长为，则该正方体内能放入的最大球体的体积为
13.设样本空间含有等可能的样本点，若事件是的子集，且互相独立，其中则 ．
14.如图，在中，，是上的一点，为上一点，且，若，，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年月日至月日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩单位：分，得分取正整数，满分为分作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第二组的频数是第一组频数的倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图如图所示解决下列问题：
求的值，并估计这次竞赛成绩的中位数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与方差．
16.本小题分
在中，设角，，的对边分别为，，，且．
求的值；
若外接圆的面积为，且，求的面积．
17.本小题分
某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动本次挑战赛第一轮为选手随机匹配道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答道题目，任何道题答对就算通过本轮挑战赛若参赛选手前道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若道题目都没有答对，则被淘汰甲、乙都参加了本次挑战赛，且在第一轮挑战赛中甲、乙答对每道趣味智力题的概率均为甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动乙不热爱公益活动，若前道题都没有答对，则停止答题，被淘汰甲、乙每道题是否答对相互独立．
求甲通过第一轮挑战赛的概率；
求乙通过第一轮挑战赛的概率；
求甲、乙中只有人通过了第一轮挑战赛的概率．
18.本小题分
如图，四棱锥的侧面是边长为的正三角形，底面为正方形，且平面平面分别为的中点．
求四棱锥的体积；
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”，记作．
若，，求的“完美坐标”；
已知，，证明：；
若，，设函数，，求不等式的解集．
参考答案
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15.由第二组的频数是第一组频数的倍，可知第二组的频率是第一组频率的倍，
即，则；
又，解得；
由于成绩在内的频率为，在内的频率为，
故中位数位于，设为，则，解得；
由，可得，
则剔除其中的和两个分数，剩余个数平均数为；
又标准差，
故，
则，
则剩余的个数的方差为．

16.解：因为，
所以由正弦定理得，
，
，
，
设外接圆的半径为，
由，得，
由正弦定理得，
所以，
由知，
，
，
，
．

17.甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为，
甲通过第一轮挑战赛的概率为．
乙第一轮挑战赛被淘汰的概率为，
乙通过第一轮挑战赛的概率为．
甲、乙中只有人通过了第一轮挑战赛的概率为．

18.因为侧面是边长为的正三角形，为的中点，
所以，，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，即为棱锥的高，
因为底面为正方形，
所以四棱锥的体积为，
因为平面，平面，所以，
在正方形中，易知与全等，
所以，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
设，连接，
因为平面，
所以为直线与平面所成的角或补角，
在中，，又，
即，所以，
又在中，，
所以．

19.解：由题得，，
所以，
所以，
即的“完美坐标”为．
证明：由题知，
所以，
，
，
即．
由得，
因为，，
所以，，
所以，
，
所以，
令，，
则，
所以，
即，
解得舍去或，
所以，
即，
所以，，
所以，，
即不等式的解集为，．

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