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2024-2025学年湖南省长沙市望城区长郡斑马湖中学高一下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则 ．
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知函数若，则( )
A. B. C. D.
4.设，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象与的图象关于原点对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数，其图像相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位后，得到的图像关于原点对称，那么函数在上的值域是( )
A. B. C. D.
8.已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在一次数学考试中，某班成绩的频率分布直方图如图所示，则( )
A. 该班数学成绩的极差大于
B. 该班数学成绩不低于分的频率为
C. 该班数学成绩在内的学生比在外的学生少
D. 估计该班数学成绩的分位数为
10.设复数在复平面内对应的点为，原点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 若点的坐标为，则是纯虚数
C. 若，则的虚部为
D. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
11.在中，角，，所对的边分别为，，，以下说法中正确的是( )
A. 若，则，
B. 若为锐角三角形，则，
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则为直角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在直角坐标系中，点的坐标满足，向量，则的最大值是 ．
13.斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线．它的画法是：以斐波那契数：，，，，，为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一个扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为 ．
14.如图所示是一样本的频率分布直方图，样本数据共分组，分别为估计该样本数据的第百分位数是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间；
求在区间上的最值．
16.本小题分
唐三彩，中国古代陶瓷烧制工艺的珍品，它吸取了中国国画、雕塑等工艺美术的特点，在中国文化中占有重要的历史地位，在中国的陶瓷史上留下了浓墨重彩的一笔，唐三彩的生产至今已有多年的历史，对唐三彩的复制和仿制工艺，至今也有百余年的历史．某陶瓷厂在生产过程中，随机抽取件工艺品测得其质量指标数据，将数据分成以下六组，，，，，得到如下频率分布直方图．
求出直方图中的值；
利用样本估计总体的思想，估计该厂所生产的工艺品的质量指标值的平均数和中位数同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到；
现规定质量指标值小于的为二等品，质量指标值不小于的为一等品．已知该厂某月生产了件工艺品，试利用样本估计总体的思想，估计其中一等品和二等品分别有多少件．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，为钝角，，．
求；
从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件：；条件：；条件：．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
如图，是圆锥的顶点，是底面圆心，是底面直径，且．

若直线与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积；
已知是母线的中点，点、在底面圆周上，且弧的长为，设点在线段上，证明：直线平面．
19.本小题分
已知函数的定义域为对于正实数，定义集合．
若，判断是否是中的元素，请说明理由；
若，求的取值范围；
若是偶函数，当时，，且对任意，均有写出，解析式，并证明：对任意实数，函数在上至多有个零点．
参考答案
1.
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14.
15.解：．
令 ，得 ．
所以 的单调递增区间为 ．
因为，所以．
当 ，即时， 最大值为，
当 ，即时， 最小值为．
16.解：由，
解得；
平均数为，
因为，，
所以中位数在第组，
设中位数为，则，
解得，
所以可以估计该厂所生产的工艺品的质量指标值的平均数为，中位数为；
由频率分布直方图可知个工艺品中一等品有个，二等品有个，
估计该厂生产的件工艺品中一等品有个，
二等品有个，
所以估计一等品有个，二等品有个．
17.解：因为，，
所以，
又因为为钝角，所以为锐角，即，
所以，
由正弦定理可得：，
即，
可得，所以；
若选：，由可得，显然该不存在；
若选：，则，
由正弦定理可得：，
即，可得，
，
所以；
若选：，即，可得，
由余弦定理可得，
即，
解得负值已舍，
所以．
18.【详解】由题知，，即轴截面是等边三角形，故，
底面周长为，则侧面积为：
由题知，则根据中位线性质，，
又平面，平面，则平面
由于，底面圆半径是，则，又，则，
又，则为等边三角形，则，
于是且，则四边形是平行四边形，故，
又平面，平面，故平面．
又平面，
根据面面平行的判定，于是平面平面，
又，则平面，则平面


19.【详解】，，则不是中的元素．
法一：因为，则存在实数使得，且，
当时，，其在上严格单调递增，
当时，，其在上也严格单调递增，
则，则，
令，解得，则，
则．
法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，
由图知，假设交点分别为，，
联立方程组得
对任意，因为其是偶函数，
则，而，
所以，
所以，因为，则，
所以，所以，
所以当时，，，则，
，则，
而，，
则，则，
所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：
其中，但其对应的值均未知．
首先说明，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，即，
令，则，
当时，即使让，此时最多个零点，
当时，若，此时有个零点，
故此时最多个零点；
当时，若，此时有个零点，
故此时最多个零点；
当时，若，此时有个零点，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，
则最多在之间取得个零点，
以及在处成为零点，故不超过个零点．
综上，零点不超过个．

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