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2024-2025学年江苏省如东高级中学高一下学期期中数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知，则( )
A. B. C. D.
3.已知，是方程的两根，则( )
A. B. C. D.
4.已知轮船在灯塔的北偏东方向上，轮船在灯塔的南偏西方向上，且轮船，与灯塔之间的距离分别是千米和千米，则轮船，之间的距离是( )
A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
5.已知向量，，若向量在向量上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
6.已知向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
7.如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则值为( )
A. B. C. D.
8.已知为锐角，，，则( )
A. B. C. D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面内，下列说法正确的是( )
A. 若复数为虚数单位，则
B. 若复数满足，则
C. 若复数满足，则复数对应点的集合是以原点为圆心，以为半径的圆
D. 若复数满足，则的最小值为
10.下列选项中，值为的有( )
A. B. C. D.
11.在中内角的对边分别为，设的面积为，若，则下列命题中正确的是( )
A. 若，且，则有两解
B. 若，且为锐角三角形，则的取值范围为
C. 若，且，则的外接圆半径为
D. 若，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若是关于的实系数方程的一个复数根，则 ．
13.在中，已知，则的形状为
14.如果满足的有且只有一个，那么实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，且为纯虚数是的共轭复数．
求的值；
复数在复平面对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数的最大值为．
若的定义域为，求的单调递增区间
若，，求的值．
17.本小题分
在锐角中，角，，所对的边分别为，，，已知．
Ⅰ求；
Ⅱ若边上的中线，，求的面积．
18.本小题分
如图，在中，，，，，．
求的值；
线段上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的位置，若不存在，请说明理由；
若是内一点，且满足，求的最小值．
19.本小题分
由倍角公式，可知可以表示为的二次多项式对于，我们有可见可以表示为的三次多项式一般地，存在一个多项式使得使得，这些多项式称为切比雪夫．．多项式．
请求出，即用一个的四次多项式来表示
利用结论，求出的值；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.等腰或直角三角形
14.
15.解：解：因为复数，
所以，
则，
因为为纯虚数，
所以，解得；
复数，
因为复数在复平面对应的点在第一象限，
所以，解得．

16.解：，
因为，所以．
此时，
当时，，
令，得
令，得，
所以的单调递增区间为和
由知，．
由，得，
所以．
又因为，
所以，
所以，
所以，
，
所以
．
故的值为．
17.解：Ⅰ因为，
所以，
所以，
因为，
所以，负值舍去，
可得．
Ⅱ由题意可得，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以．
18.解：，
，
设，
，
，
，
，
，
解得；
，
所以，
，
，
，
，
，，、、三点共线，
，
当且仅当即为中点时取等号，
而，
所以的最小值为．

19.解：因为
，
所以，
由切比雪夫多项式可知，，
即．
令，可知．
因为，可得，
．
又，所以，
所以，
令，可知，
展开即可得出，
所以，解方程可得．
因为，所以，
所以．
因为多项式，
即，
当时，得，
当时，，即，即；
又且，
所以．

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