资源简介

2024-2025学年云南省怒江傈僳族自治州民族中学高一下学期期末质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.四名同学，，，各掷骰子次，分别记录自己每次骰子出现的点数根据四名同学的如下统计结果，则可以判断出一定没有出现点数的是( )
A. 平均数为，中位数为 B. 中位数为，众数为
C. 中位数为，极差为 D. 平均数为，方差为
4.如图所示，已知在中，是边上的中点，则( )
A. B. C. D.
5.对于不同直线和平面，下列叙述错误的是( )
A. ，则
B. ，则
C. ，则
D. ，则
6.已知中，角，，所对的边分别是，，，若，且，那么是( )
A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
7.已知正三棱柱的棱长均为，为的中点，则四面体的体积为( )
A. B. C. D.
8.圭表如图是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿称为“表”和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺称为“圭”当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角即为，夏至正午太阳高度角即为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离即的长为，则表高即的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某学校成立了数学英语音乐个课外兴趣小组，个小组分别有，，个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示现随机选取一个成员，则( )
A. 他只属于音乐小组的概率为 B. 他只属于英语小组的概率为
C. 他属于至少个小组的概率为 D. 他属于不超过个小组的概率为
10.关于平面向量，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.如图，正方体的棱长为分别是的中点，点是底面内一动点，则下列结论正确的为( )
A. 过三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
B. 三棱锥的体积为
C. 三棱锥的外接球表面积为
D. 一质点从点出发沿正方体表面绕行到的中点的最短距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围 ．
13.如图，一艘船以每小时的速度向东航行，船在处观测灯塔在北偏东方向，行驶后，船到达处，观测个灯塔在北偏东方向，此时船与灯塔的距离为___ _____．
14.已知菱形的各边长为，如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时若是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点轨迹的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求．
若，，求的周长．
16.本小题分
在某地区，某项职业的从业者共约万人，其中约万人患有某种职业病为了解这种职业病与某项身体指标检测值为不超过的正整数间的关系，依据是否患有职业病，使用分层抽样的方法随机抽取了名从业者，记录他们该项身体指标的检测值，整理得到如下统计图：
求样本中患病者的人数和图中，的值；
在该指标检测值为的样本中随机选取人，求这人中有患病者的概率；
某研究机构提出，可以选取常数，若一名从业者该项身体指标检测值大于，则判断其患有这种职业病；若检测值小于，则判断其未患有这种职业病从样本中随机选择一名从业者，按照这种方式判断其是否患有职业病写出使得判断错误的概率最小的的值及相应的概率只需写出结论．
17.本小题分
如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点设，，
用，表示，；
如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论．
18.本小题分
如图，三棱柱中，侧面底面，且，C.
证明：平面
若，，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
在空间直角坐标系中，已知向量，点若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程为，一般式方程可表示为．
若直线的方向向量为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值；
若平面经过点，点，点，平面的一般式方程为，直线为平面和平面的交线，求平面的一般式方程，并求直线的单位方向向量写出一个即可；
已知集合，，记集合中所有点构成的几何体为，中所有点构成的几何体为．
(ⅰ)若，求几何体的体积和的表面积．
(ⅱ)若，求几何体的体积关于的函数关系式．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：方法一：常规方法辅助角公式
由可得，即，
由于，故，解得
方法二：常规方法同角三角函数的基本关系
由，又，消去得到：
，解得，
又，故
方法三：利用极值点求解
设，则，
显然时，，注意到，
，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点，
即，即，
又，故
方法四：利用向量数量积公式柯西不等式
设，由题意，，
根据向量的数量积公式，，
则，此时，即同向共线，
根据向量共线条件，，
又，故
方法五：利用万能公式求解
设，根据万能公式，，
整理可得，，
解得，根据二倍角公式，，
又，故
由题设条件和正弦定理
，
又，则，进而，得到，
于是，
，
由正弦定理可得，，即，
解得，
故的周长为

16.解：由题设，患病者与未患病者的比例为，故患者人数为人；
由直方图知：，可得，
，可得．
由题意，指标检测值为的未患病者有人，
指标检测值为的患病者有人；
所以指标检测值为的样本中随机选取人，这人中有患病者的概率的概率．
若为未患病者，为患病者，为体指标检测值为者，
所以名样本中，，，
未患病者
患病者
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为、，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为、，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为、，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为、，误判率为；
当时，患病者、未患病者被误判的人数分别为、，误判率为；
综上，当时误判概率最小为．

17.解：，
．
，证明如下：
由知，，，
当时，
，
所以，
所以．
18.证明：取的中点，连结、．
因为，，所以，
由于，平面，且，
因此平面．
因为平面，所以．
又因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
且平面，所以平面．
因为，所以平面．
因为，且，所以
以，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，．
设平面的法向量为，则
，可得，令，则，
设平面的法向量为，则
，可得，令，则，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：平面的一般式方程为，
则平面的一个法向量，设直线与平面所成角为，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
设平面的一个法向量，
则，不妨取，，
所以平面的一般式方程为，
又平面的一般式方程为，则平面的一个法向量，
设直线的一个方向向量，又直线为平面和平面的交线，
则，不妨取，，
所以直线的一个单位方向向量为或写出其中一个即可．
集合，
所以集合是以原点为中心，边长为的正方体，
时，，
当时，即，
根据题意知是平面的一般方程，且过，
则，形成的是一个三棱锥，如图，
所以形成的立体几何图形为八面体，
体积，
又在八面体中时的截面是对角线长为的正方形，与正方体上底面交点如图，
正方形对角线长为，正方形边边长为，
，则等腰直角三角形中，，
所以中所有点构成的几何体为如下图所示，
则几何体为的表面积，
所以，几何体的体积为，的表面积．
(ⅱ)由(ⅰ)知，时，八面体在正方体六个面的交线都为六边形，
正方形对角线长为，正方形边边长为，
，
则等腰直角三角形中，，
故几何体的体积，
即．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑