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2024-2025学年四川省泸州市泸州老窖天府中学高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
4.如图，在测量河对岸的塔高时，测量者选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，并测得，，米，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
5.已知平面向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.底面边长为的正四棱锥被平行底面的平面所截，截去一个底面边长为，高为的正四棱锥，所得棱台的体积为( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知，函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列叙述中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，则与垂直的单位向量的坐标为或
10.已知的内角，，的对边分别为，，，以下判断正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则是钝角三角形
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，则为等腰直角三角形
11.函数的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是( )
A. 的表达式可以写成
B.
C. 在区间上单调递增
D. 若方程在上有且只有个根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. ．
13.已知函数，则的值是 ．
14.已知中，角、、所对的边分别为、、，，的角平分线交于点，且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量、，，，且．
求、的夹角；
若与垂直，求的值．
16.本小题分
的内角的对边分别为，已知．
求；
若，，求的面积．
17.本小题分
已知函数．
求函数的单调递增区间；
将函数的图象向右平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
在，，，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
在锐角中，的面积为，角，，，所对的边分别为，，，且选条件：_____________．
求角的大小；
若为中点，且，，求的值；
如图所示，作、位于直线异侧，使得四边形满足，，求的最大值．
19.本小题分
已知函数，若存在实数、，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对．
若，求函数的“平衡”数对；
若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；
若、，且、均为函数的“平衡”数对，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.【详解】由，可得，
则，所以，
又因，
则，因，故、的夹角为；
由可得：，，
因为与垂直，所以，
整理得到，
将，，代入上式可得：，
解得．

16.【详解】由正弦定理，得，
即，
，
又，，
，
又，，
为三角形内角，；
，由正弦定理得，
由余弦定理得，即，
，，
的面积为．

17.【详解】因，
令，解得，
函数的单调递增区间为；
将函数的图象向右平移个单位，可得的图象，
再将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得函数的图象，
若函数在上有两个零点，
则与在上有两个交点，
由，得，由，得，
所以结合正弦函数性质可得，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，，
所以要使与在上有两个交点，只要，
故的范围为．

18.【详解】选：，
由正弦定理，可得，
再由余弦定理，可得，
又，所以；
选：由，可得，
又，所以；
选：由，可得，即，
即，解得或舍，
又，所以；
如图，因为为中点，所以，
所以，即，
即，
因为，，，
所以，即，
解得，即的值为；
已知，，，
设，则，，
在中，由正弦定理得，
可得，
在中，由正弦定理得：，
可得
，
因为是锐角三角形，所以，解得
则，
故当时，可得的最大值是．

19.解：根据题意可知，对于任意实数 ， ，
即 ，即 对于任意实数 恒成立，
只有 ， ，
故函数 的“平衡”数对为 ，
若 ，则 ，
，
要使得 为“可平衡”函数，需使 对于任意实数 均成立，
只有 ，此时 ， ，
故 存在，所以 是“可平衡”函数．
假设存在实数 ，对于定义域内的任意 均有
则
，
，
，
均为函数 的“平衡”数对，
，
，
，
，函数单调递增，
即 的取范围为 ．

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