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2024-2025学年天津市武清区英华实验学校高一下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为虚数单位，若，则( )
A. B. C. D.
2.在中，是角的对边，，则角的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
3.设向量，且，则( )
A. B. C. D.
4.如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为的等腰梯形，则原平面图形的面积是( )
A. B. C. D.
5.若球的表面积扩大到原来的倍，那么该球的体积扩大到原来的倍
A. B. C. D.
6.已知甲船位于灯塔的北偏东方向，且与相距的处乙船位于灯塔的北偏西方向上的处若两船相距，则乙船与灯塔之间的距离单位：为( )
A. B. C. D.
7.若某圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆面，其内接正四棱柱的高为，则此正四棱柱的体积是( )
A. B. C. D.
8.四边形是边长为的正方形，延长至，使得，若点为线段上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
9.在中，分别是角的对边，下列四个命题中正确的个数为( )
若，则是等腰三角形；
若，则是等腰三角形；
若，则一定是锐角三角形；
在中，，若有一个解，则的取值范围是或．
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
10.是虚数单位，复数的虚部为 ．
11.已知四棱锥底面是边长为的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为 ．
12.已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 ．
13.如图，在正方体中，是棱上的点，且，是棱上的点，且延长，三条直线交于，平面将此正方体分为两部分，设两部分体积分别为和，则的值为 ．
14.在中，且的最小值为，则 ，若点分别为线段与线段上的动点，且线段交中线于的面积为面积的一半，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若复数是虚数单位．
若是纯虚数，求的值；
在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围．
16.本小题分
已知的内角所对的边分别为，且满足，
求角的值；
求的值．
17.本小题分
如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设．
用表示及；
若，且，
求的长；
求在方向上的投影向量结果用表示．
18.本小题分
如图，已知正三棱柱的体积为，点分别为棱与的中点．

若边长为，求三棱柱的高；
求三棱锥的体积；
若球与三棱柱的各棱均相切，求球的表面积．
19.本小题分
已知的内角所对的边分别为，其中．
若．
求角；
若为锐角三角形，求周长的取值范围；
若，求内切圆面积的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.且
13.
14.
15.解：因为是纯虚数，所以，解得
所以的值为；
解：因为在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，
所以的取值范围为

16.解：因为，
由正弦定理可得，
整理得，
由余弦定理可得，
且，所以．
由正弦定理知，
又
，
，
．

17.解：因为，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，
所以，
．
因为，所以，
所以，由，可得负值已舍去，即；
在方向上的投影向量为
；

18.设的高为，
，
；
；
设正三棱柱的底面边长为，高为，上底面中心为，下底面中心为，连接，则球的球心在的中点上，

球切棱于，切棱于，
由题意，
因为，又，
所以，
所以，解得，
联立可得，所以球的半径为，
所以球的表面积为．

19.解：因，则，
即，
则由正弦定理可得，则，
因，则
由正弦定理，得，
则周长
，
因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，
所以周长范围是．
因为，则，
由正弦定理得，
即，
即，
化简得，
因为，所以，则，
所以，则，
设内切圆半径为，则，
又，
当且仅当时，即当时等号成立，
所以，
的内切圆面积，
即的内切圆面积的最大值是．

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