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2024-2025学年广东省阳江市第三中学高二下学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.给定两个向量，若，则等于( )
A. B. C. D.
4.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
5.从包含甲、乙两人的人中选出人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人都入选的不同选法共有 种
A. B. C. D.
6.已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等于
A. B. C. D.
7.若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在存在单调递减区间，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数列为等差数列，为其前项和，已知，则( )
A. B. C. D.
10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A. 如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有种
B. 最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种
C. 甲乙不相邻的排法种数为种
D. 甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种
11.已知，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则的共轭复数 ．
13.已知等比数列中，首项，公比，，是函数的两个极值点，则数列的前项和是 ．
14.设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在处取得极值．
求函数的解析式及单调区间；
求函数在区间的最大值与最小值．
16.本小题分
已知数列的前项和．
求数列的通项公式；
求数列的前项和为，求证：．
17.本小题分
如图，在平面四边形中，，是边长为的正三角形，，为的中点，将沿折到的位置，．
求证：平面；
若点为线段上的动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
18.本小题分
已知函数为自然对数的底数．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性；
当时，证明．
19.本小题分
已知椭圆的离心率是，，分别是的上、下顶点，且．
求的方程；
已知直线与交于，两点异于点，，若直线与的斜率分别为，，且，证明：直线过定点；
点在上且位于轴左侧，点在直线上，为的右焦点，若，且，求的面积．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，
由题意得，即，解得，
故解析式为，定义域为，
令，令得或，
令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
显然为极小值点，故，
单调递增区间为，单调递减区间为，
由知，在上单调递增，在上单调递减，
表格如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
又，
故的最大值为，最小值为．

16.解：因为，
当时，，
两式相减，得，
当时，满足上式，
故数列的通项公式为．
由知，故，
所以，
由，则，所以，故．

17.解：
证明：依题意是边长为的正三角形，为的中点，所以，，
所以，，，，，
则，所以，
又，即，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以，
又，，，平面，所以平面．
如图建立空间直角坐标系，则，，，，
设，，则，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，平面的一个法向量为，
设直线与平面所成角为，
则，解得或，
所以的值为或．

18.解：当时，．
所以，
所以，又．
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
易得
当时，，此时在上单调递增；
当时，令，得．
则当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减．
综上所述，当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
由知，当时，在处取得最大值，
即
，
则等价于，即，
即
令，则不妨设，
所以
从而，当时，；当时，，
所以函数在区间上单调递增；在区间上单调递减．
故当时．
所以当时，总有．
即当时，不等式总成立，
故当时，成立．

19.解：依题意有，，所以，所以，解得，
所以椭圆的方程为．
由题意直线的斜率存在，设：，，，
联立，故，，
则，又，
故，
所以，所以，
所以，化简得，
即，
当时，直线过定点，不合题意；
当时，，直线的方程为，
所以直线恒过点．
综上，直线恒过点．
对于椭圆，其右焦点，设，
因为点在上且位于轴左侧，所以，
又点在直线上，故设，
因为，所以，即，
又，所以，
又，所以，所以，
所以，所以，
由消去得，
所以，解得或舍去或舍去，
所以，所以，
所以．

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