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2024-2025学年浙江省杭州市上城区杭二东河高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
2.已知，，，若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知向量和向量的夹角为，且，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知正四面体的表面积为，则它的棱长为( )
A. B. C. D.
5.如图，是水平放置的的直观图，则的面积为( )
A. B. C. D.
6.在中，，则等于( )
A. B. C. D.
7.如图，圆内接四边形中，，现将该四边形沿旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知正三棱锥，则该三棱锥的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，以下复数运算一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则下列结论正确的有( )
A. B.
C. D.
11.如图，在棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 平面
B. 存在点，使得直线与共面
C. 的最小值为
D. 若为线段上的动点，且平面则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥底面半径为，母线长为，则此圆锥的侧面积为 ．
13.已知在锐角中，，则的取值范围是
14.复数满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
求；
求向量与的夹角的大小；
若向量满足，求实数的值．
16.本小题分
已知的三个内角所对的边分别为，满足是的中点，．
求；
求的面积；
求线段的长度．
17.本小题分
如图，圆锥的底面半径和高均为，过上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱设圆柱的底面半径为，母线长为．
求与的关系式；
求圆柱的侧面积的最大值；
记圆柱的侧面积为，圆锥的侧面积为若，求圆柱的体积．
18.本小题分
如图，某开发区有一边长为的正荒地，点分别为的中点，现计划把该三角形荒地建成居民健身休闲的场地，首先计划修两条小路，其中一条小路是，另一条是从点出发经过上的点到达上的点的小路．

若小路，求小路的长；
现计划把区域建成健身区，区域建成休闲区，其他区域建成绿化区若健身区的面积占整个场地面积的，求休闲区的面积．
19.本小题分
如图，三棱锥各棱长均为，侧棱上的，，满足，，线段上的点满足平面，点在上，．

求证：平面平面；
求证：；
若，求的值．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】由向量，得．
由向量，得，
又，于是，
而，所以．
依题意，即，
于是，解得．

16.【详解】
根据正弦定理得，
又，．
根据余弦定理得，
又，
．
是中点，
，
．

17.解：作出圆锥的轴截面，如图，
因为，所以，
所以图中，
又，所以；
圆柱的侧面积为，
当且仅当时，等号成立，
即圆柱的侧面积的最大值为；
由题意，圆柱的侧面积为，
圆锥的底面半径为，母线长为，
侧面积为，
因为，所以，解得，
因为，所以，，
圆柱的体积为．

18.【详解】在中，，
由余弦定理得，
即，
整理得，
解得负值舍去，
所以．
故小路的长为．
由题知，的面积为，
又，所以，所以，
由是中位线易得，所以，
带入解得，
所以．
故休闲区的面积为．

19.【详解】，平面，平面，平面．
平面，平面，，平面，平面，
平面平面．
由知：平面平面．
又平面平面，平面平面，
．
，点是的中点．
，，点是的中点，．
，且三棱锥各棱长均为，，
，，，．
点在上，，解得．
，．
，
．
由知：，，，使得，
即．
由平面向量基本定理可得，解得．
综上所述，的值为．

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