资源简介

2024-2025学年浙江省杭州市拱墅区杭州第十一中学高一下学期期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.设向量，，若共线，则( )
A. B. C. D.
3.用斜二测画法画一个平面四边形的水平放置的直观图，得到一个如图
所示的边长为的正方形，则原图中的长度为( )
A. B.
C. D.
4.如图，一个底面半径为，母线长为的圆锥形封闭容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，液面的高度为( )
A. B. C. D.
5.已知，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.某校高二年级开展课外实践活动，数学建模课题组的学生选择测量凤山妈祖石像的高度．如图，为测量石像的高度，在距离平台米高的处测得石像顶的仰角为；后退米到达距离平台米高的处测得石像顶的仰角为，则石像的高度为 米．
A. B. C. D.
7.国家统计局发布的年至年我国居民消费水平情况如图所示，则下列说法正确的是居民消费水平( )
A. 年至年我国居民消费水平逐年提高
B. 年至年我国城镇居民消费水平逐年提高
C. 年至年我国居民消费水平数据的极差为元
D. 年我国城镇人口数比农村人口数的倍还要多
8.在中，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，是方程的两根，则
A. B. C. D.
10.采购经理指数是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预测、预警作用年月日，国家统计局发布了中国制造业指数经季节调整图，如下图所示，则下列说法正确的是( )
A. 图中前三个数据的平均值为
B. 年四个季度的指数中，第一季度方差最大
C. 图中指数的极差为
D. 年指数的分位数为
11.我们熟知的五面体有三棱柱、三棱台、四棱锥等．九章算术中将有三条棱互相平行且不全相等，有一个面为矩形的五面体称之为“刍甍”，对于“刍甍”下列判断正确的是( )
A. 三棱台体不是“刍甍” B. “刍甍”有且仅有两个面为三角形
C. 存在有两个面为平行四边形的“刍甍” D. “刍甍”存在两个互相平行的面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，若，其面积为，则 ．
13.定义平面非零向量之间的一种运算“”，记其中是非零向量，的夹角若，均为单位向量，且，则 ．
14.已知复数，满足，，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，分别是角、、的对边，且
求角的大小；
若，，求的面积．
16.本小题分
某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数得分取正整数，满分为作为样本样本容量进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为、．
求样本容量和频率分布直方图中的、的值；
估计本次竞赛学生成绩的众数、中位数、平均数．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，，且的面积为若，边上的两条中线，相交于点，如图所示．

求的余弦值；
求的值．
18.本小题分
如图，已知正方形的边长为，点为正方形内一点．
如图：
求的值；
求的值．
如图，若点、满足，．点是线段的中点，点是平面上动点，且满足，其中，求的最小值．
19.本小题分
“费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点已知中，角，，的对边分别为，，，，，点是的“费马点”．
求角
若，求的周长
若，，求实数的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】因为，所以由正弦定理可得
，
因为，所以，
所以，又因为，所以；
由知，所以由余弦定理
可得，
因为，所以，
所以．

16.【详解】由题意可知，样本容量为，，
；
由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的众数为，
设中位数为，，则，
由题意可得，解得，
即本次竞赛学生成绩的中位数为．
由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的平均数为．

17.【详解】已知，由正弦定理，得，由，得，
由的面积，得，
相除得，又，故，
由，，得，，由余弦定理得，即，，
在中，，，，满足，
所以为直角三角形，．
在中，，，
所以．
在中，为边上的中线，所以，
由，分别为边，上的中线可知为的重心，
可得，，
所以．

18.正方形的边长为，则，，
；
．
以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
由，，则，，
所以点，，，，，，
点是线段的中点，则点，
设点，，，，
由，即
所以 ，解得，即，
， ，
，
当时，的最小值为．
19.解：因为，
由正弦定理得．
即：，
所以，
所以，即，所以，得．
设，，，
因为，
所以，
由得：，
即， 由余弦定理得，即，，
解得所以的周长为
不妨设，，且，
由余弦定理得，
，
，
，
，
，即．
又，
，
，，
，解得或舍去．
当且仅当时，等号成立．
实数的最小值为．
第1页，共1页

展开更多......

收起↑