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2024-2025学年浙江省杭州市西湖区杭师大附中高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.把化成度的结果为( )
A. B. C. D.
2.已知函数的最小正周期为，其中，则( )
A. B. C. D.
3.已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为
A. B. C. D.
4.若为第二象限角，且，则( )
A. B. C. D.
5.若为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.已知是夹角为的两个单位向量，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.位于处的雷达接收到在其正东方向相距海里的处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于处雷达北偏东且与处雷达相距海里的处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为( )
A. B. C. D.
8.在棱长为的正方体中，，，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则线段长度的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设是的共轭复数，下列说法正确的是( )
A. B. 若，则
C. 若，则 D. 是实数
10.已知是两个互相垂直的单位向量，，则下列结论中正确的有( )
A. B.
C. D. 与的夹角为
11.的内角的对边分别为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则有两解
C. 若，且，则为等边三角形
D. 若，则可以是钝角三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，则的值为 ．
13.将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与轴最近的对称轴的方程是 ．
14.在四面体中，，则四面体的外接球的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆交于点，点．

求的值；
求的值．
16.本小题分
如图，长方体中，，点为的中点．
求证：直线平面；
求异面直线与所成角的余弦值．
17.本小题分
在中，，为边上的中点，为边上一点，且．
当时，若，求的值；
当时，求的值．
18.本小题分
如图，在中，，为边上一点且．
若，
求；
求的面积；
求的取值范围．
19.本小题分
对于向量集，记向量如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”．
设向量，若是向量集的“长向量”，求实数的取值范围；
设向量，，则向量集是否存在“长向量”？给出你的结论并说明理由；
已知均是向量集的“长向量”，其中，设在平面直角坐标系中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.．
14.
15.【详解】由已知，角的终边与单位圆交于，且的横坐标为，
所以，又是第一象限角，所以，即，
所以，
因为的终边与单位圆交于点，点的纵坐标为，
所以，又是第二象限角，所以，
所以，
所以；
由知，，所以．

16.【详解】设，连接，
因，且为长方体，
则四边形为正方形，故为线段中点，
因点为的中点，则为的中位线，则，
又平面，平面，则平面．
连接，由可知，则直线与所成角是或其补角，
因，点为的中点，
则，，
在中，，
在中，，
在中，，
在中由余弦定理得，，
故直线与所成角的余弦值为．

17.【详解】由题意得，以为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则，
，、，又为边上的中点，，
当时，为边上的中点，，即、、，
又，，即，解得
．
设，则，又，，，
、，又，，即，解得
，解得．

18.【详解】，，又，．
在中，已知，，，根据正弦定理可得，
即．
在中，已知，，，根据余弦定理可得
，将数值代入可得，
即，解得或．
由图可知，在中，，则，，．
根据三角形面积公式可得，的面积．
由可知，，，又，
则在中，，即；
在中，由正弦定理可得，即．
在中，因为，所以，即．
因此，．
，，，即．
故的取值范围为．

19.【详解】由题意可得：，，，
则，解得：．
存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下：
由题意可得，若存在“长向量”，只需使，
因为，，，，，，
所以，故只需使
，
即，即，
当或时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，．
由题意，得，，即，
即，同理，
三式相加并化简，得：，
即，，所以，
设，由，解得
即
设，则依题意得：
得，
故，
，
所以，
因为
所以，
当且仅当时等号成立，
所以．

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