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2024-2025学年浙江省杭州市西湖区浙附玉泉、丁兰高一下学期期中考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为的正方形，则原平面图形的周长为( )
A. B. C. D.
4.已知向量为非零向量，则“”是“存在非零实数，，使得”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.如图所示，在矩形中，，，点在边上运动包含端点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.某圆锥的底面半径为，其内切球半径为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
7.如图所示，，，，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为( )
A. B.
C. D.
8.在锐角三角形中，角，，的对边分别为，，若，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则
C.
D. 若是关于的方程的根，则
10.在中，内角所对的边分别为，已知，，则( )
A. B. 的周长的最大值为
C. 当最大时，的面积为 D. 的最大值为
11.如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是( )
A. 正三棱柱的外接球表面积为
B. 若是棱中点，则三棱锥的体积为
C. 周长的最小值为
D. 棱上总存在点，使得直线平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.空间四边形分别为的中点，若异面直线和成的角，则 ．
13.如图，在平行四边形中，和分别是边和的中点，若，其中，则 ．
14.水平桌面上放置了个半径为的小球，它们两两相切，并均与桌面相切若用一个半球形容器容器厚度忽略不计罩住三个小球，则半球形容器的半径的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设为虚数单位，，复数且___________请从下面三个条件中任选一个，补充在题目的横线上，并作答．
；；在复平面内复数对应的点在第一象限的角平分线上．
求实数的值；
若是纯虚数，求实数的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
16.本小题分
已知
求在上的投影向量的坐标．
若与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，已知在正三棱柱中，为棱的中点，．
求正三棱柱的表面积；
求证：直线平面．
18.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，过内一点的直线与直线交于，记与夹角为．
已知，
求角
为的重心，，求；
请用向量方法探究与的边和角之间的等量关系．
19.本小题分
据报道，年月日，正值全民国家安全教育日，田湾核电号机组穹顶球冠吊装成功如图，标志着国内最重核电机组薄壳钢衬里穹顶吊装工作安全完成，有力推动了我国产业结构和能源结构的调整，助力“双碳”目标顺利实现报道中提到的球冠是一个空间几何概念，它是指球面被一个平面所截得的一部分不包含截面，垂直于截面的直径被截得的部分是球冠的高球冠面积等于截得它的球面上大圆过球心的截面圆周长与球冠的高的乘积和球冠相对应的几何体叫球缺，它是指球体被一个平面所截得的一部分，截面是球缺的底当球缺的高小于球半径时，我们把球缺与以球缺的底为底以球心为顶点的圆锥所构成的体，称作“球锥”如图当一个四面体各顶点都在“球锥”表面上时，称这个四面体内接此“球锥”如图，设一个“球锥”所在球的半径为，其中球冠高为．
类比球体积公式的推导过程可参考图，写出“球锥”的体积公式；
在该“球锥”中，当球缺的体积与圆锥的体积相等时，求的值；
已知一个棱长为的正四面体内接此“球锥”，并且有一个顶点与球心重合，若满足条件的有且只有一个，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.【详解】若选：由，得，解得．
若选：由，解得．
若选：由得．
，由，解得．

16.【详解】依题意，，故在上的投影向量为
依题意，，，
由与的夹角为钝角，得，且与不共线，
则且，解得，且，
所以实数的取值范围是

17.【详解】．
取和交点，连，
，分别为，中点，故．
平面，平面．
平面．

18.【详解】因为，
由正弦定理可得，
即，所以，
又，所以，所以，所以，
又，所以．
由题意，因为为的重心，所以，
所以，
在中，由正弦定理知，所以，
显然为等腰三角形，则平分，
所以
；
直线与的边相交于点，如图所示，
因为，所以，
即，
又因为，
，
，
所以，
即．

19.【详解】把“球锥”切割成无数个小锥体，由题意得球冠面积为，所有小锥体的底面积之和即球冠面积，结合锥体体积公式得“球锥”的体积为．
设圆锥半径为，则，
当球缺的体积与圆锥的体积相等时，，
即，
消去，得，
整理得，因为，所以．
设正四面体内接“球锥”，顶点与球心重合，棱长为，
则外接圆半径为，正四面体的高为，显然不满足条件．
注意到，当顶点在圆锥底面圆周上时，
，得，
当时，作平行于圆锥底面的平面截正四面体，所得棱长小于的正四面体均可内接该“球锥”．
因此，若要存在棱长唯一的正四面体内接该“球锥”，则，且顶点在球冠上即，且．
又因为，所以．

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