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2024-2025学年湖南省长沙市望城区第一中学高二上学期期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等腰直角三角形中，若，，则的值等于( )
A. B. C. D.
2.下列说法错误的是( )
A. 平均数反映数据的集中趋势，方差反映数据分散程度的大小
B. 一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据
C. 平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势
D. 众数是一组数据中出现次数最多的数
3.一个球的表面积是，则它的体积是( )
A. B. C. D.
4. ．
A. B. C. D.
5.已知，，从点射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是( )
A. B. C. D.
6.函数图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为，若，则( )
A. B. C. D.
7.中，点在上，平分若，，，，则
A. B. C. D.
8.设、分别为双曲线的左右焦点，为坐标原点，过左焦点作直线与圆切于点，与双曲线右支交于点，且，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某科技攻关青年团队共有人，其年龄单位：岁分布如下表所示，则这个人年龄的( )
年龄
人数
A. 中位数是 B. 众数是
C. 第百分位数是 D. 平均数为
10.若向量与的夹角为锐角，则实数的值可能为 ．
A. B. C. D.
11.已知数列的前项和为，下列说法正确的是( )
A. 若，则是等差数列
B. 若，则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，则成等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，分别是双曲线的左、右焦点，是该双曲线上的点，若，则 ．
13.若数列的通项公式是，则该数列的前项之和为 ．
14.若函数存在增区间，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求满足下列条件的实数、的值：
；
．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，已知，若线段的中垂线与抛物线：总是相切．
求抛物线的方程；
若过点的直线交抛物线于，两点，过，分别作抛物线的切线相交于点．分别与轴交于点，．
证明：当变化时，的外接圆过定点，并求出定点的坐标；
求的外接圆面积的最小值．
17.本小题分
某商品在近天内每件的销售价格元和时间的关系如图所示．
请确定销售价格元和时间天的函数解析式；
该商品的日销售量件与时间天的关系是：，求该商品的日销售金额元与时间天的函数解析式；
求该商品的日销售金额元的最大值，并指出日销售金额最大的一天是天中的哪一天？
18.本小题分
已知圆，直线
求证：直线过定点；
求直线被圆所截得的弦长最短时的值；
已知点，在直线上为圆心，存在定点异于点，满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标及该常数．
19.本小题分
某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品单位：件按标准分为，，，四个等级加工业务约定：对于级品、级品、级品，厂家每件分别收取加工费元，元，元；对于级品，厂家每件要赔偿原料损失费元该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务甲分厂加工成本费为元件，乙分厂加工成本费为元件厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
频数
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
频数
分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为级品的概率；
分别求甲、乙两分厂加工出来的件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或或
13.
14.
15.解：由已知可得，解得．
解：由已知可得，解得或．

16.，，可得的中点为，
当时，的中点为原点，
当时，直线的斜率为，线段的中垂线的斜率为，
可得中垂线的方程为，代入抛物线方程，
可得，
由直线和抛物线相切可得，解得，
则抛物线的方程为；
证明：可设过点的直线的方程为，即，
代入抛物线的方程，可得，
设，，则，，
由，两边对求导可得，即，
可得处的切线方程为，化为，
同理可得处的切线方程为，
由可得，，即，
又，分别与轴交于点，，
设过，，的外接圆的方程为，，
即有
结合，，可得，，，
可得的外接圆方程为，
可得，
由可得或
则当变化时，的外接圆过定点和；
的外接圆的半径
，
可得当时，的最小值为，
则的外接圆面积的最小值为

17.当，，设，将，代入得，解之得，当，，同理可得，
综上所述：销售价格元和时间天的函数解析式为．
由题意得，，由得
即：．
由
当，，由二次函数的图象和性质知，或时，取最大值元
当，，由二次函数的图象和性质知时，取最大值元
综上所述，在第天，日销售金额有最大值元

18.Ⅰ依题意得，
令且，得
直线过定点
Ⅱ当时，所截得弦长最短，由题知，
，得，由得
Ⅲ法一：由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，
则设，，得，且
整理得，
上式对任意恒成立，且
解得，说以舍去，与重合，
综上可知，在直线上存在定点，使得为常数

19.由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；
甲分厂加工件产品的总利润为元，
所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；
乙分厂加工件产品的总利润为
元，
所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．

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