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2024-2025学年云南省曲靖市罗平县高二下学期期末教学质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数的实部与虚部之和为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图和图所示，则样本容量和抽取的二年级学生中满意的人数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
5.记为等差数列的前项和，若的公差为，，则( )
A. B. C. D.
6.某智能机器人需执行包含个不同指令，，，，的程序，若每个指令只执行一次，指令，必须连续执行顺序可以互换，指令不能出现在最后一个位置，则符合条件的指令执行方式的种数为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的右焦点为，点在的右支上，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的方程有个不等的实根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期是 B. 的最小值是
C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点对称
10.已知抛物线的焦点为，点在上，则( )
A. B. 的准线方程为
C. 若，则 D. 以为直径的圆与轴相切
11.已知定义在上的函数，满足，，且，则( )
A. 的图象关于点对称 B. 是周期函数
C. 在上单调递增 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式展开式中的第项为 ．
13.已知数列为等比数列，，若的前项和为，则数列的前项和为 ．
14.现在共有个从左至右依次排开的洞，一只狐狸每天从中选择一个洞住，且相邻两天它会住在相邻的洞里，猎人每天可以去查看一个洞，则至少需要 天可以确保抓住狐狸．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，所对的边分别为，，，且，．
求；
求周长的最大值．
16.本小题分
已知函数．
求的极值；
若过点可作条直线与的图象相切，求的取值范围．
17.本小题分
如图四棱锥中，平面，．
证明：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知抛物线：的焦点关于直线：对称的点为．
求的方程；
设原点为，点，均在上若直线经过点，直线与直线：相交于点，点在上的投影为，设与轴的交点为，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19.本小题分
已知一款游戏以抽奖形式获得某种奖品，每次抽奖分为中奖和不中奖两种结果，现在利用伪随机算法进行若干次抽奖，假定中奖后就不再继续抽奖，设是第一次抽奖中奖的概率，此后若前次抽奖均未中奖，则进行第次抽奖时中奖的概率满足其中时一定中奖，设从第一次抽奖开始，第一次中奖时抽奖的次数为．
当时，求的分布列和期望；
当的期望为时，证明：．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：由题意可得
，即，
因为，故，故，，所以．
由余弦定理可得，即，
所以，又，所以，
所以的周长，当且仅当时取等号，
故周长的最大值为．

16.解：因为，所以．
令，得或，
则当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，取得极大值，且，当时，取得极小值，且，
所以的极大值为，极小值为．
设过点的直线与的图象切于点，切线斜率，
则该切线的方程为，
把代入方程并整理得，
由过点可作条直线与的图象相切，
则关于的方程有个不同实根，
设，
则，
令，得或，
所以，
所以或且，
所以的取值范围是．

17.解：如图，取的中点，连接，
因为，
所以四边形为平行四边形，则，
又，所以，
因为，所以，，
由平行四边形性质得，则，
由三线合一性质得，
故，则，所以，
因为平面平面，所以，
因为平面平面，所以平面．
由已知得，
因为平面平面，所以，
因为，所以由勾股定理得，即，
则为等腰直角三角形，设其斜边上的高为，
由等面积公式得，解得，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，
过作垂直于平面的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，，
，，
设平面的法向量为，则
取，解得，可得，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为．

18.解：由已知得，则线段的中点为，
由题意得该中点在直线：上，
所以，解得，
所以的方程为．
设直线的方程为，且，．
联立方程组，整理得．
可得，且，，则．
又直线的方程为，令，得点的纵坐标，
又点在上的射影为，所以点的纵坐标则由图可得：
，
所以为定值．

19.【详解】由题意可得，，
，，
故分布列为
．
证明：当时，；
当时，，
因此；
当时，，
设，则，
故时，随增大而减小，而，
故存在，使得；
当时，，
由于，，故，
因此，故．
综上，．

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