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专题二 方程与不等式
思维导图
1.2 一元二次方程
1.2.1 相关知识点
1、定义：一般地，把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程。一般形式：依次称为二次项系数、一次项系数、常数项。能使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解；求方程的过程称为解方程。
2、一元二次方程的解题思路：
（1）配方法：具体步骤如下
，（一元二次方程一般形式----二次三项式）
，（将二次项系数化简为1）
，（将常数项移动到等号右边）
，（配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方）
，（整理结果为方程左边为完全平方式）
当时，方程有两个相同或不同的实数解，即：；
当时，方程无实数解。
公式法
一元二次方程的求根公式为：；（由配方法解得）
因式分解法（十字相乘法）
一元二次方程根的判别式：。
无实数根 一个实数根 （两个相等实数根） 两个不相等实数根
韦达定理
设方程的两个根为，则：。
1.2.2 基础知识测试
1、已知关于有两个相等的实数根，则m的值为（C）
A. 2 B. 10 C. 2或10 D. -2或-10
〖解析〗一元二次方程有2个相等的实数根，即，；，解得m1=2，m2=10。
2、已知关于的解是非负数，那么满足的条件是（C）
A. B. C. D.
〖解析〗将方程移项化简得，解得。
3、把配方成的形式，则m、n的值分别为（B）
A. 1，-2 B. -1,2 C. 2，-1 D. -2,1
〖解析〗具体配方过程为，所以m=-1，n=2。
若方程的两个根分别是2,4，则的值为（A）
A. -2 B. -1 C. 2 D. 无法确定
〖解析〗由韦达定理可知，，所以。
解下列方程（1）的解为。
（2）的解为。
1.2.3 职教高考考点直击
一元二次方程在职教高考中为常见考点，考频较高，常以选择题出现，其中韦达定理常结合圆锥曲线、不等式等知识点出现在解答题中。本部分考点理解较易，但其延伸意义及综合运用难度较高，高考中失分率相对较高。考生需加强韦达定理的应用学习。
1.2.4 经典例题剖析
例1 把二次三项式的形式。
〖解析〗，
，
。
〖点评〗对二次三项式配方，二次项和一次项都提取公因式3，并注意保持恒等变形。
变式1 把二次三项式，请求出各参数的值。
〖解析〗 本题考查二次三项式配方的方法，需要将二次三项式配方后的代数式去除括号展开，将与二次项系数、一次项系数、常数项依次对应即可。具体步骤如下：
所以。
〖点评〗注意在二次三项式配方过程中保持代数式的恒等变形。
例2
〖解析〗原式可配方变形为：
解得。所以。
〖点评〗二次三项式的配方过程常结合平方和、平方差公式应用于考题中。
例3 已知方程的一个根是3，则它的另一个根是 ，实数k的值为 （A）
A. -2，-1 B. 1,2 C. -1,2 D. 2,3
〖解析〗设为方程的两个根，则，解得；故答案为A。
〖点评〗韦达定理应用：。
变式2 已知方程的一个根是为m,求满足条件的m的值？
〖解析〗设方程另一个根为，则根据韦达定理可知：，解得；或。
〖点评〗解答此题时，需要注意当m在等于0时，方程依然成立。
变式3 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的负实数根，试求m的取值范围。
〖解析〗依据题意可设为方程的两个根，则解得
综上所述，m的取值范围为。
1.3 不等式
1.3.1 主要性质
1、实数大小的基本性质
设是两个任意实数，则他们具有如下基本性质：
不等式的性质：
对称性：
传递性：；
运算法则：；
；；
移项法则：。
不等式解集与区间
定义：一般地，在含有未知数的不等式（组）中，能使不等式（组）成立的未知数值的全体所组成的集合，称为不等式（组）的解集。
特别地，如果各个不等式的解集的交集是空集，则此不等式（组）的解集为空集。
不等式解法
含绝对值不等式：；
。
一元二次不等式
当，形式；当m＞0时，可化简为含绝对值不等式形式，方法如（1）；当m≤0时，其解集可总结如下表所示：
表2-1一元二次不等式的解集
R
R R
表2-2一元二次方程根的正负性
根的情况 两个正根 两个负根 两根异号 一个零根
存在条件 C=0
1.3.2 基础知识测试
1、已知为实数，则下列命题正确的是（D）
A. B.
C. D.
〖解析〗不等式两边同时乘上一个实数或代数式时，需要确定其正负性。当c=0时，选项A不成立；当时，选项A不成立；选项C结论应为；因此答案为D。
2、已知
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
〖解析〗原不等式可化简为；与题设中给定的解集（-1,0）等价，即
解得，答案为C。
3、不等式的解集是（D）
B. C. D.
〖解析〗原不等式可化简为；即；所以的解集（-1,2）等价，答案为D。
4、不等式的解集为（A）
B. C. D.
〖解析〗原不等式可分解因式为；解得，根据不等式口诀：不等式小于0取两根之间区域，不等式大于0取两个两边区域可知，答案为A。
5、方程有实数根，则实数m的取值范围为（B）
A. B. C. D. R
〖解析〗原方程有实数解可将其等价为成立；即即可满足题设要求，故答案为B。
6、不等式组的解集为 。
〖解析〗对于不等式组解集为各不等式解集的交集，原式可化简为，即不等式组解集为。
7、已知，则m,n的大小关系为 m＞n 。
〖解析〗对于比较两实数大小的比较，可以采用作差法解答，，，所以m＞n。
8、解不等式。
〖解析〗将原式移项通分得
，
可等价为，因为方程的两根为-1,3（右图），所以原不等式解集为（-1,3）。
1.3.3 职教高考考点直击
不等式部分在职教高考中为常以选择题形式考查，在解答题中也常有涉及，主要考查不等式性质，其中一元二次不等式、韦达定理经常与函数部分结合出现，难度中等，掌握其主要解题方法，可在考试中得分率较高。
1.3.4 高考经典例题剖析
例1、（2017年山东春季高考）若均为实数，且，则下列不等式成立的是（A）
A. B.
C. D.
〖解析〗故答案A正确；c为实数，当c=0或c＜0时，B选项均错误；，相当于在原不等式两边同时乘了两个负数，所以运算后的两数的大小不确定，对于本题来讲；，故C错误；选项D运算方法同选项C，结果为，D错误；故答案为D。
〖点评〗考查不等式运算性质及法则，另可通过带数法进行解答。
变式4均为实数，，则下列不等式成立的是（A）
A. B.
C. D.
〖解析〗故答案A正确；c为实数，当c=0或c＜0时，B选项均错误；当两实数为异号时，的大小无法判断，故选项C错误；当时，运算无意义，D错误。
例2、（2019年山东春季高考）下列选项正确的是（A）
A. B.
C. D.
〖解析〗即为；故答案为A。
〖点评〗考查两个实数的求和及乘积的运算性质，其中乘积遵从“同号为正，异号为负”。
变式5 比较代数式的大小
〖解析〗两代数作差得
所以。
〖点评〗考查两个实数大小的比较，其中作差法为常用方法，过程中变形常用配方、因式分解、有理化等方法将代数式化成为乘积或完全平方式形式。
例3、（2018年山东春季高考）函数的定义域是（D）
A. B.
C. D.
〖解析〗由题意可知，使函数有意义，则，解得，故答案为D。
〖点评〗求函数定义域与解不等式密切相关，解题关键为列出满足条件的不等式组，并取各不等式的解集的交集。
变式6 已知集合
A. B.
C. D.
〖解析〗集合A是关于不等式的解集，即不等式可等价为
；注：此处需要将3-x转化为-(x-3)形式；
解得方程的两根为-2,3，根据不等式性质得出，化简得x的取值范围为[-1,3),故答案为C。
变式7 解不等式。
〖解析〗不等式有解则需根式有意义，原式可等价为，即不等式组解集为。
〖点评〗解无理不等式组主要是将其变形为有理不等式组。
例4 已知二次函数的图形经过原点，求使的x的取值范围。
〖解析〗由题意知，将原点（0,0）代入二次函数中，解得m=1；即二次函数可化简为，其图像为开口向上的抛物线，与x轴两交点为（0，0）、（-2,0），使即，所以不等式解集为。
变式8 已知关于x的不等式的解集为R，求实数的取值范围。
〖解析〗讨论：当二次项系数时，即，原不等式变为恒成立，所以符合要求；当二次项系数时，，解得，故此题解集为。（注：当时，二次函数代表的抛物线开口向上，其取值集合不可能为R）
1.2.5 考点巩固练习
1、（ ）
4 B.2 C.-2 D.-4
〖解析〗A。由题意变形为，将两代数式相加得出：，所以在此区间内的数为2，故答案为B。
下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
〖解析〗D。运用代数法，，A错误；，B项错误；，C项错误；故答案为D。
3、不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
〖解析〗A。不等式两边同时乘以或除以一个负数时，需要改变不等号的方向。
4、不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
〖解析〗C。原不等式因式分解为，解得两根为-3,2，根据不等式小于0取值范围为两根之间的其解集为，故答案为C。
5、下列不等式中解集为空集的是（ ）
A. B. C. D.
〖解析〗C。
，A项错误；选项B其解集为，故B正确；，即，C项错误；D项，故答案为C。
6、已知关于x的一元二次方程的两个根分别为-1,3，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
〖解析〗B。由题意知一元二次方程为开口向下的抛物线，且与x轴交点为-1,3，即在两根之间为不等式大于0（y轴正半轴）部分，所以原不等式解集为；答案为B。
7、已知关于x的不等式的解集为实数R，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
〖解析〗A。由题意知方程为开口向上的抛物线，所以原不等式解集为，
所以的取值范围为，故答案为A。
8、不等式的解集是 （）。
A. B. C. D.
〖解析〗C。原不等式可等价为且，即，故原不等式
解集为，答案为C。
9、已知是一元二次方程的两实数根，则代数式的值为（）。
A.7 B.1 C.5 D.-6
〖解析〗A。根据韦达定理得出：
，故答案为A。
若关于x的一元二次不等式 。
〖解析〗5。原一元二次不等式只有一个解集2，说明原一元二次方程与X轴只有一个交点，即
。
若不等式 。
〖解析〗5。由题意知，不等式解集的取值范围与原不等式相反，则说明不等式中的一个因式中未知数系数为负数，即m＜0，且原方程的两根为，，所以m的解集为。
方程 。
〖解析〗讨论：当k=0时，x=0，方程有实根；当k≠0时，，
，解得，综上所述，k的取值范围为。
求关于x的不等式的解集。
〖解析〗此类不等式组可等价为，解集为
。
已知
〖解析〗由作差法得出：
所以t≥s。
15、设关于x的一元二次不等式的解集为R，求实数a的取值范围。
〖解析〗因为题意已经说明为一元二次不等式，所以不需要讨论二次项系数问题，原不等式解集为R，所以二次函数图像需满足条件为开口向下，且与x轴没有交点。则有
，所以实数a的取值范围为。专题二 方程与不等式
思维导图
1.2 一元二次方程
1.2.1 相关知识点
1、定义：一般地，把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程称为一元二次方程。一般形式：依次称为二次项系数、一次项系数、常数项。能使方程左右两边相等的未知数的值称为方程的解；求方程的过程称为解方程。
2、一元二次方程的解题思路：
（1）配方法：具体步骤如下
，（一元二次方程一般形式----二次三项式）
，（将二次项系数化简为1）
，（将常数项移动到等号右边）
，（配方：方程两边同时加一次项系数一半的平方）
，（整理结果为方程左边为完全平方式）
当时，方程有两个相同或不同的实数解，即：；
当时，方程无实数解。
公式法
一元二次方程的求根公式为：；（由配方法解得）
因式分解法（十字相乘法）
一元二次方程根的判别式：。
无实数根 一个实数根 （两个相等实数根） 两个不相等实数根
韦达定理
设方程的两个根为，则：。
1.2.2 基础知识测试
1、已知关于有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A. 2 B. 10 C. 2或10 D. -2或-10
2、已知关于的解是非负数，那么满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
3、把配方成的形式，则m、n的值分别为（ ）
A. 1，-2 B. -1,2 C. 2，-1 D. -2,1
若方程的两个根分别是2,4，则的值为（ ）
A. -2 B. -1 C. 2 D. 无法确定
解下列方程（1）的解为 。
（2）的解为 。
1.2.3 职教高考考点直击
一元二次方程在职教高考中为常见考点，考频较高，常以选择题出现，其中韦达定理常结合圆锥曲线、不等式等知识点出现在解答题中。本部分考点理解较易，但其延伸意义及综合运用难度较高，高考中失分率相对较高。考生需加强韦达定理的应用学习。
1.2.4 经典例题剖析
例1 把二次三项式的形式。
变式1 把二次三项式，请求出各参数的值。
例2
例3 已知方程的一个根是3，则它的另一个根是 ，实数k的值为 （ ）
A. -2，-1 B. 1,2 C. -1,2 D. 2,3
变式2 已知方程的一个根是为m,求满足条件的m的值？
变式3 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的负实数根，试求m的取值范围。
1.3 不等式
1.3.1 主要性质
1、实数大小的基本性质
设是两个任意实数，则他们具有如下基本性质：
不等式的性质：
对称性：
传递性：；
运算法则：；
；；
移项法则：。
不等式解集与区间
定义：一般地，在含有未知数的不等式（组）中，能使不等式（组）成立的未知数值的全体所组成的集合，称为不等式（组）的解集。
特别地，如果各个不等式的解集的交集是空集，则此不等式（组）的解集为空集。
不等式解法
含绝对值不等式：；
。
一元二次不等式
当，形式；当m＞0时，可化简为含绝对值不等式形式，方法如（1）；当m≤0时，其解集可总结如下表所示：
表2-1一元二次不等式的解集
R
R R
表2-2一元二次方程根的正负性
根的情况 两个正根 两个负根 两根异号 一个零根
存在条件 C=0
1.3.2 基础知识测试
1、已知为实数，则下列命题正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2、已知
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6
3、不等式的解集是（ ）
B. C. D.
4、不等式的解集为（ ）
B. C. D.
5、方程有实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A. B. C. D. R
6、不等式组的解集为 。
7、已知，则m,n的大小关系为 。
8、解不等式。
1.3.3 职教高考考点直击
不等式部分在职教高考中为常以选择题形式考查，在解答题中也常有涉及，主要考查不等式性质，其中一元二次不等式、韦达定理经常与函数部分结合出现，难度中等，掌握其主要解题方法，可在考试中得分率较高。
1.3.4 高考经典例题剖析
例1、（2017年山东春季高考）若均为实数，且，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
变式4均为实数，，则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
例2、（2019年山东春季高考）下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. D.
变式5 比较代数式的大小
例3、（2018年山东春季高考）函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
变式6 已知集合
A. B.
C. D.
变式7 解不等式。
例4 已知二次函数的图形经过原点，求使的x的取值范围。
变式8 已知关于x的不等式的解集为R，求实数的取值范围。
1.2.5 考点巩固练习
1、（ ）
4 B.2 C.-2 D.-4
下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
3、不等式的解集为（ ）
A. B.
C. D.
4、不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
5、下列不等式中解集为空集的是（ ）
A. B. C. D.
6、已知关于x的一元二次方程的两个根分别为-1,3，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
7、已知关于x的不等式的解集为实数R，则的取值范围为（）
A. B. C. D.
8、不等式的解集是 （）。
A. B. C. D.
9、已知是一元二次方程的两实数根，则代数式的值为（）。
7 B.1 C.5 D.-6
10、若关于x的一元二次不等式 。
11、若不等式 。
方程 。
求关于x的不等式的解集。
14、已知
15、设关于x的一元二次不等式的解集为R，求实数a的取值范围。

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