资源简介

2024-2025学年浙江省杭州市第十一中学高二下学期期中考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D. 不存在
2.若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
3.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是( )
A. 为的极小值点
B. 为的极大值
C. 在区间上，是增函数
D. 在区间上，是减函数
4.某高中对高三年级的名学生进行了一次数学成绩测试，得到各同学的数学成绩满分分近似服从正态分布，则得分在区间内的学生大约有参考数据：若，则，( )
A. 人 B. 人 C. 人 D. 人
5.从集合中任取一个数，不放回地连取两次，第一次取到的数作为十位数，第二次取到的数作为个位数字，则所得的两位数能是偶数的概率是( )
A. B. C. D.
6.如图是一块高尔顿板示意图：在一木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留着适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为、、、、，用表示小球落入格子的号码，则下列不正确的是( )
A.
B.
C.
D.
7.已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为，，渐近线方程为，过且斜率为的直线与在第一象限的交点为，的角平分线与线段交于点，若，则的值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.等差数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
10.的展开式中，下列结论正确的是( )
A. 展开式共项 B. 所有项的二项式系数之和为
C. 项系数为 D. 所有项的系数之和为
11.已知函数，则( )
A. ， B. 在上单调递增
C. 的极大值为 D. 的极小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校为促进拔尖人才培养开设了数学、物理、化学、生物、信息学五个学科竞赛课程，现有甲、乙、丙、丁四位同学要报名竞赛课程，由于精力和时间限制，每人只能选择其中一个学科的竞赛课程，则恰有两位同学选择数学竞赛课程的报名方法数为 ．
13.某学校组织乒乓球比赛，采取局胜制．甲、乙两同学进行淘汰赛，假设每局比赛中甲获胜的概率均为，且各局比赛的结果相互独立．则在甲获胜的条件下，甲第一局获胜的概率是 ．
14.若函数有个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
数列满足．
证明：数列是等比数列；
若，证明：数列的前项和．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，侧面底面，，点为线段的中点．
求证：平面；
若，求二面角的余弦值．
17.本小题分
同学们，你们知道排球比赛的规则和积分制吗其规则是：每局分，达到分时，比赛双方必须相差分，才能分出胜负；每场比赛采用“局胜制”即有一支球队先胜局即获胜，比赛结束；比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以或取胜的球队积分，负队积分；以取胜的球队积分，负队积分甲、乙两队近期将要进行比赛，为预测它们的积分情况，收集了两队以往局比赛成绩：

甲
乙
假设用频率估计概率，且甲，乙每局的比赛相互独立．
估计甲队每局获胜的概率；
如果甲、乙两队比赛场，求甲队的积分的概率分布列和数学期望；
如果甲、乙两队约定比赛场，请比较两队积分相等的概率与的大小
18.本小题分
抛物线，点为焦点，点，点是抛物线上任意不重合的两点当线段为通径时，其长度．
求抛物线及其准线的方程．
若直线过点，且向量，求弦长．
若以线段为直径的圆过点，求面积的最小值．
19.本小题分
已知函数，．
求函数在点处的切线方程；
当时，，求实数的取值范围；
已知，证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由可得，解得，则．
且，故是以为首项，为公比的等比数列，即得证．
由，故，
，
故
，即得证．

16.连接，交于点，连接，
因为侧面是平行四边形，
所以为的中点，又因为点为线段的中点，
所以，
因为面，面，
所以面．
连接，，因为，，
所以为等边三角形，，
因为点为线段的中点，
所以，
因为侧面底面，平面平面，平面，
所以底面，
过点在底面内作，如图以为坐标原点，分布以，，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
又因为平面的法向量为，
则，
经观察，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．

17.由表可知：场比赛甲赢了场，则甲每局获胜的频率为，
用频率估计概率，所以甲队每局获胜的概率为．
随机变量的所有可能取值为，，，，
可得：，，
，，
所以的分布列为
所以数学期望．
记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件，
设第场甲、乙两队积分分别为，，则，，，
因两队积分相等，所以，即，则，
而，，
，
所以
，
因为，所以两队积分相等的概率小于

18.因为通径长为．
所以抛物线，准线方程为．
由题意知点为中点，且直线的斜率存在且不为，设直线的斜率为，
则直线，
联立可得，
设点，
．
于是．
因为，显然直线的斜率不可能为零，设直线
由可得，则，
设，则，
因为以线段为直径的圆过点，所以，即，
即，，
将代入得则有，
所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
而或，所以，
当时，的面积．

19.因为，
则函数在点处的切线斜率为，
又，
所以函数在点处的切线方程；
设，，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
则函数，所以，
当时，，即，
当时，取，观察的其中的一个零点为，
由于，
而，得，
即，不合题意，
综上所述，实数的取值范围是；
当时，由得，
则，所以，即，则，
令，得，所以，即，
又，
令，则，且不恒为零，
所以在上单调递增，即，则，
所以，
即
．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑