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2024-2025学年浙江省杭州市西湖区杭师大附中高二下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
2.已知函数的图像如图所示，则其导函数的图像可能是( )
A. B.
C. D.
3.某学校为高三学生安排语文、数学、外语、物理四场讲座，其中数学不能安排在第一场和最后一场，则不同的安排方法有种
A. B. C. D.
4.等比数列的前项积为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，则点到点的距离与点到轴距离之和的最小值是( )
A. B. C. D.
7.若事件互斥，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 若随机变量，则
B. 若随机变量，当不变时，越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖
C. 回归分析中，样本决定系数越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好
D. 在独立性检验中，当为的临界值时，推断零假设不成立
10.在的展开式中，下列说法正确的是( )
A. 常数项是 B. 第四项和第六项的系数相等
C. 各项的二项式系数之和为 D. 各项的系数之和为
11.在棱长为的正方体中为的中点，是的中点，是侧面内的一动点不包含四个顶点，则下列结论正确的是：( )
A. 点到平面的距离为
B. 三棱锥体积是定值，定值为
C. 存在点，使得平面
D. 存在点，使得且
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的导函数满足关系式，则 ．
13.某中学举办女子排球赛，高二年级班与班进行比赛，每局比赛班获胜概率为，每场比赛结果相互独立若比赛采用三局两胜制先赢两局者获胜，则班获胜的概率是 ．
14.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与交于，两点，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
公差不为的等差数列的前项和为，且满足，、、成等比数列．
求的前项和；
记，求数列的前项和．
16.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，为的中点．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
随着“特种兵旅行”在网络的爆火，某市文旅局准备在本市的景区推出旅游一卡通也称旅游年卡为了更科学的制定一卡通的有关条例，市文旅局随机调查了年到本市景区旅游的名游客的年旅游消费支出，其旅游消费支出单位：百元近似服从正态分布，其中．
若年到本市景区旅游游客为万人，试估计年有多少游客单位：万在本市的年旅游消费支出不低于元；
现将游客来源分为“当地游客”和“外地游客”若从这名游客中随机抽取人，抽到外地游客的概率为规定游客的消费支出不低于元为三星客户，否则为一星客户请根据已知条件完成下面的列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为“客户星级”与“游客来源”有关联？
游客来源 客户星级 合计
三星客户 一星客户
当地游客
外地游客
合计
参考数据：若随机变量，则；
参考公式：，其中．
18.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
若是的极小值点，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知双曲线：的离心率为，为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于，两点，当轴时，．
求的方程；
过作直线的垂线，垂足为．
证明：直线过定点；
求面积的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设等差数列的公差为，则，
，，，
由题意可得，即，解得，
所以，，
所以，．
解：，
所以，．

16.四边形为矩形，，为中点，
，又，，；
平面，平面，；
，平面，平面．
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，；
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
由知：平面，平面的一个法向量为，
，
即平面与平面夹角的余弦值为．

17.因为，
所以旅游费用支出不低于元的概率为，
所以，
估计年有万的游客在本市的年旅游费用支出不低于元；
假设：“客户星级”与“客户来源”独立，没有关联，
游客来源 客户星级 合计
三星客户 一星客户
当地游客
外地游客
合计
，
根据小概率值的独立性检验，不成立，
即“客户星级”与“客户来源”有关联，此推断犯错误的概率不大于．

18.当时，函数，
则，
令，易知函数在上是减函数，且，
所以当时，有，即，当时，有，即，
所以在上单调递增，在上单调递减；
由已知得：，且，
令，则，
当时，，则在上是减函数，又，
所以当时，有，即，当时，有，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，
即在时取到极大值，不符合题意，故舍去；
当时，则，令得，，
故在上单调递减，
又，且，
所以当时，有，从而，即在上单调递增，
当时，有，从而，即在上单调递减，
即在时取到极大值，仍不符合题意，故舍去；
当时，则，令，解得，
令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即在时取到极小值，也是最小值，所以，
从而有，所以在上单调递增，
又不符合题意，故舍去；
当时，则，令得，，
故在上单调递增，
又，且，
所以当时，有，从而，即在上单调递增，
当时，有，从而，即在上单调递减，
即在时取到极小值，符合题意，故；
综上所述可得实数的取值范围是

19.由题设且，则，
由轴时，，不妨令，代入双曲线得，
所以，则所求方程为；
设，则，由斜率不为，设，
联立双曲线并整理得，则，
所以，
由，直线，
根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上，
令，则，
因为，所以，
而，则，
所以过定点；

由，
由，，可得，
令，则，
由，故，当时取等号，
综上，的最小值为．

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