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2024-2025学年安徽省合肥六中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.用斜二测画法画一个边长为的正三角形的直观图，则直观图的面积是( )
A. B. C. D.
3.一组数据按从小到大排列为：，，，，，，这组数据的第百分位数等于他们的平均数，则为( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.在中，内角，，的对边分别为，，，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D.
6.从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为( )
A. B. C. D.
7.，分别为的外心和重心，，若，则的面积的最大值( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 对于复数，，若，则
B. 若，互为共轭复数，则为实数
C. 若是关于的二次方程的根，则
D. 复数满足，则的最小值是
10.一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字到，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数不大于”，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是( )
A. B. 事件与互斥 C. ，，两两独立 D.
11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为线段上动点包括端点，则下列说法中正确的是( )
A. 存在点使得平面
B. 直线与平面所成角正弦值为
C. 的最小值为
D. 若点在正方体表面上运动包含边界，且，则点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，高为，该圆台的表面积是______．
13.甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得分的运动员为胜方，如果出现：平的情况，先多得分者为胜方在：平后，双方实行轮换发球，每人每次只发个球若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方：平后，甲先发球，则甲以：赢下此局的概率为______．
14.在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在正三棱柱中，，为棱的中点．
证明：平面；
求异面直线与所成角的余弦值．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，满足．
求角；
若，为上一点且，求，．
17.本小题分
新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义合肥六中为了解高一年级名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩满分分按照，，，，，分成组，制成如图所示的频率分布直方图．
求名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图．
学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值结果精确到．
已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于，求落在的学生成绩的方差的最大值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，．
证明：；
求点到平面的距离；
求二面角的余弦值．
19.本小题分
品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价．
现设，分别以，，表示第一次排序时被排为，，的三种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号．
用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的，，排序结果，并求出相应的值；
，，
，，
甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求；
甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求．
参考答案
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15.解：证明：如图，连接交于点，
因为正直三棱柱，
所以四边形是矩形，
点为的中点，又为中点，
所以是的中位线，
所以，又平面，平面，
所以平面；
取的中点，连接，，
因为，且，
所以四边形是平行四边形，
故AD，
所以异面直线与所成角为或其补角，
令，则，，
在直角中，
，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
16.由余弦定理得，
根据，可得，
即，结合，可得，
所以，结合，可得；
若，则由余弦定理得，可得，
根据基本不等式可得，
所以，即，当且仅当时，取等号，
所以的面积，
设点到的距离为，则，即，解得，
所以边上的点满足，
结合题意，可知为边上的高，且是点到距离的最大值，
所以不等式的等号成立，可得．
17.由频率分布直方图可得成绩在区间内的频率为：
，
故成绩在区间内的频数为：，
补全图形如图所示：
由频率直方图可得成绩在的频率为，的频率为，
若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科母，则，
且，故的值为；
设成绩在的平均数为，方差为，则，
，
又，所以当时，有最大值为．
18.证明：因为底面，底面，
所以，
因为四边形为正方形，所以，
因为，所以平面，
因为平面，
所以．
在中，，是的中点，则，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
因为，，
所以平面，因为平面，
所以．
连接交于点，如图所示：
则，又底面，平面，得，
而，则平面，
所以点到平面的距离为，
因为是的中点，
所以，
，，，，
所以，，
所以，
因为，四边形为正方形，
所以，，，
因为，所以，
则，
设点到平面的距离为，
则，
所以，
解得．
由可得平面，因为平面，平面，
所以，，
则为二面角的平面角，
，．
因为∽，
所以，
解得，
因为，即，所以．
故二面角的余弦值为．
19.解：第二次排序时所有可能的，，排序及相应的值列表如下：
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
令表示事件““，表示事件““，表示事件““．
由知道．
甲参加第一轮测试值记为，参加第二轮测试值记为，设事件“，“，“，“，“，“，
可得，
两轮测试结果相互独立，
，
，
，
，，互斥，
．
设事件“甲在第年测试中被授予特级品酒师称号”，，，
可得．
，
，相互独立，
．
第1页，共1页

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