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2024-2025学年广东省广州市南沙东涌中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数列，，，，的通项公式可能是( )
A. B. C. D.
2.在等差数列中，，则公差( )
A. B. C. D.
3.若与的等差中项是与的等比中项，则( )
A. B. C. D.
4.已知等差数列的公差，，且，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
5.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.已知曲线在点处的切线与直线垂直，则点的横坐标为( )
A. B. C. D.
8.是定义在上的可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是等差数列的前项和，，且，则( )
A. 公差 B.
C. D. 时，最小
10.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 在处的切线方程为
B.
C. 函数只存在一个极小值，无极大值
D. 有唯一零点
11.某学校为迎接校园艺术节的到来，决定举行文艺晚会，节目单中有共个节目，则下列结论正确的是( )
A. 若节目与节目相邻，则共有种不同的安排方法
B. 若节目与节目不相邻，则共有种不同的安排方法
C. 若节目在节目之前表演可以不相邻，则共有种不同的安排方法
D. 若决定在已经排好的节目单中临时添加个节目，现有节目次序不变，则共有种不同的安排方法
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调减区间为 ．
13.三名学生分别从计算机、英语两学科中选修一门课程，不同的选法有__ 种
14.已知奇函数的导函数为，，若，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，．
若是等比数列且公比，求；
若是等差数列且，求的最小值．
16.本小题分
在数列中，，点在直线上
求的通项公式；
记的前项和为，且，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数在时取得极大值．
求实数，的值；
求函数在区间上的最值．
18.本小题分
已知数列的前项和为，数列是公比为的等比数列，且．
求数列、的通项公式；
令，求数列的前项和．
19.本小题分
已知函数
若，讨论函数的单调性；
设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：设首项为，由题意得，且是等比数列，公比，
故，解得，
则；
设首项为，公差为，且是等差数列，，
故，解得，
故，
，
对于函数，
由二次函数性质得，当时，函数取得最小值，
因为为正整数，当时，，当时，，
则当时，取得最小值，此时．

16.解：由题意可知，，所以数列是公差的等差数列
又，所以，故
，则
故

17.解： ，由题意得 ，解得 ．
此时 ， ，
当 时， ，所以 在 单调递增，
当 时， ，所以 在 单调递减，
当 时， ，所以 在 单调递增，
所以 在 时取得极大值．
所以 ．
由可知， 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增．
又因为 ， ， ， ，
所以函数 在区间 上的最大值为，最小值为．

18.解：因为，所以当时，，
当时，，
当时，，所以，
又因为，数列是公比为的等比数列，
所以．
故，．
由可知，，
，
，
由得：
，
，
．

19.解：，．
当时，，
在上单调递增；
当时，由，得或，由，得，
在和上单调递增，在上单调递减；
当时，由，得或，由，得，
在和上单调递增，在上单调递减．
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减
若至少存在一个，使得，
则，在上有解，
当时，，
即有解，令，
，
，
在上单调递减，
，
，即．
实数的取值范围为．

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