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专题三（二） 二次函数及应用
思维导图
1.2 知识点识记
1、一般式：。
2、图像：图像为一条抛物线，对称轴为直线 ；顶点坐标为 ；当a＞0，抛物线 开口向上 ，当a＜0，抛物线 开口向下 ；c值是抛物线与y轴 截距 （与y轴交点的纵坐标）。
3、单调性：
当a＞0，在区间为减函数；在区间为增函数；
当a＜0，在区间为增函数；在区间为减函数。
最大值与最小值
当a＞0，时，；
当a＜0，时，；
对称性：设二次函数的对称轴x=h，则对任意实数x，其满足 f(x+h)=f(x-h),即自变量到对称轴距离相等，其对应函数值就相等。
1.2.2 基础知识测试
1、二次函数是偶函数的充要条件是 b=0 。
〖解析〗二次函数是偶函数，等价于其对称轴；故答案为b=0。
已知二次函数y＝－3x2－6x＋9，其顶点式为,交点式为 ，对称轴为 x=-1 。当x＝ x=-1 时，y有最大值，ymax＝ 12 。当y＝0时，x1＝ -3 ，x2＝ 1 。当y>0时，x的取值范围 （-3,1）。当y<0时，x的取值范围是 。
〖解析〗二次函数y＝－3x2－6x＋9=-3(x2+2x)+9=-3(x2+2x+1)+9+3=-3(x+1)2+12。
已知二次函数的图像右图所示，则
a ＜ 0, b ＞ 0, c ＞ 0, △ ＞ 0；
单调递增区间为 ，单调递减区间为 。
〖解析〗（1）由图像可知，∵抛物线开口向下，∴a＜0；
∵抛物线对称轴在y轴右侧，且a＜0，∴；
∵抛物线与y轴相交于其正半轴，∴c＞0；
∵函数图像与x轴有两个交点，∴根的判别式△＞0。
（2）由图像可知，函数对称轴处取得最大值，所以单调递增区间为 ，单调递减区间为 。
4、函数y=-3(x-2)2+3图像的顶点坐标为（）。
A. （2,3） B. （-2,3） C. （2,-3） D. （-2,-3）
〖解析〗二次函数的顶点式y=a(x-h)2+k中，（h，k）即为图像的顶点坐标；故答案为A。
5、已知函数 ，则m=（）。
A. 2 B. -2 C. 10 D. -10
〖解析〗由函数单调区间可知，函数在x=-1处为增区间与减区间的分界点 ，即其对称轴
；故答案为C。
6、函数的图像具有性质为（）
A. 开口向上，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1,0）
B. 开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1,0）
C. 开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1,0）
D. 开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1,0）
〖解析〗C。函数，所以函数的开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1,0）；故答案为C。
7、已知二次函数的顶点坐标为（2，-1），且图像经过（1，5），则该函数解析式为 。
〖解析〗根据已知条件设出二次函数的顶点式，将顶点坐标（2，-1）及位于轨迹上点（1,5）代入解析式，即可求解得：a=6，h=2，k=-1；所以二次函数的解析式为。
已知二次函数 的图像可能为下列选项（）。
〖解析〗B。由题意可知，二次函数的开口向上，且其对称轴，应位于y轴的左侧，
所以答案为B。
9、已知函数的图像经过原点，则当，x的取值范围为 。
〖解析〗根据函数的图像经过原点可知，m-1=0，即m=1；根据题意可得到不等式为，解得-2＜x＜0；故答案为（-2，0）。
10、设 。
〖解析〗根据偶函数定义知，定义域关于原点对称，即1+a=-1，解得a=-2；且二次函数的对称轴，所以原函数为，解得自变量-1＜x＜1；所以函数的解集为（-1,1）。
1.2.3 职教高考考点直击
函数部分在职教高考中为常见考点，分值较高，考频较高，选择题在4-5道左右，解答题1-2道，总分值在20分上下。其内容以函数定义域、奇偶性及单调性为主要考查点，常与不等式、解析几何、数列等知识结合考查，难度中等，复习中加强此部分学习将会在考试中起到事半功倍的效果。
1.2.4 高考经典例题剖析
例1 （2015年山东春季高考）已知函数式，
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
〖解析〗∵∴，故答案为A。
〖点评〗考查奇函数定义求证的方法与技巧。
变式1 （）。
A. B.
C. D.
〖解析〗 当x＜0时，-x＞0，则f(-x)=(-x)2+(-2x)=x2-2x；又f(x)为偶函数，所以当x＞0时，f(x)=f(-x)==x2-2x；故答案为B。
例2 （2013年山东春季高考）二次函数的对称轴是（）。
A. x=-1 B. x=1 C. x=-2 D. x= 2
〖解析〗由题意知二次函数图像为抛物线，且与x轴的交点为（1,0）和（3,0），所以其对称轴；所以答案D。
〖点评〗中点M坐标公式：。
变式2 二次函数的最小值是（）。
A. -1 B. 1 C. 2 D. -2
〖解析〗由题意知二次函数图像为抛物线开口向上，所以函数存在最小值，且与x轴的交点为（1,0）和（3,0），所以其对称轴为，即函数在对称轴x=2处取得最小值ymin=-1；故答案为A。
例3 （2015年山东春季高考）
函数的最大值是1 B. 函数图像的对称轴是直线x=1
C. 函数的单调递增区间是 D. 函数图像过点（2,0）
〖解析〗函数对称轴，所以B正确；图像开口向下，且在对称轴处取得最小值ymin=1，所以A正确；将点（2,0）代入方程且等式成立，所以D正确；故答案为C。
〖点评〗二次函数性质和图像：奇偶性、对称轴、最大值、最小值、单调性为常考知识点。
变式3 。
A. B. C. D.
〖解析〗 由题意可知；
，；其对称轴为，且图像开口向上，所以其单调递增区间为，故答案为A。
例4、（2019年山东春季高考）已知二次函数的图像顶点在直线上，且求该函数解析式。
〖解析〗 ；又因为函数的顶点在直线上，即联立方程组，即二次函数图像的顶点为（2，3），设其顶点式为：，将代入得a=-4，所以二次函数解析式为。
〖点评〗二次函数解析式：一般式、交点式、顶点式三种形式，需要根据具体条件选择合适的形式，求解待定系数。
例5、已知函数。
B. C. D.
〖解析〗 由题意可知需讨论函数的二次项系数问题：当a-1=0，即a=1时，函数解析式为，图像不关于y轴对称；当a-1≠0，即a≠1时，函数图像为抛物线，其对称轴为，且开口向下；所以的单调增区间为，故答案为C。
变式4 已知二次函数经过点（1，0）（0，3），且区间[1,5]上是增函数，且其。
求函数的解析式；
求不等式的解集。
〖解析〗（1）依据题意可知；又因为函数图像经过（1，0）（0，3），代入函数解析式得：，所以解析式；
（2），解得x＜0或x＞2，故不等式解集为。
〖点评〗主要考查二次函数解析式的求解方法及结合不等式知识的综合计算。
1.2.5 考点巩固练习
一、选择题
1、二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在第三象限内，与x轴的两个交点分别位于原点两侧，则a，b，c的取值范围是(　　)
a＜0 , b＜0，c＜0 B.a＞0 , b＞0，c＜0 C.a＜0 , b＜0，c＞0 D.a＞0 , b＜0，c＜0
〖解析〗B。由二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点在第三象限内，与x轴的两个交点分别位于原点两侧，可判断其图象开口向上，a>0；且对称轴；∴b>0；根据顶点、对称轴以及其中的一个交点在x轴的负半轴上，可知其图象与y轴的交点在y轴的负半轴，故c<0，故答案为B。
2、二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝2，图象与y＝1的两交点坐标是(x1，1)，(x2，1)，则x1＋x2等于(　　)
（）
4 B. 6 C. 10 D. 12
〖解析〗A。二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝2，图象与y＝1的两交点坐标是(x1，1)，(x2，1),根据中点距离公式：，即x1＋x2=4；故答案为A。
3、下列函数图像中，对称轴是直线x=1的是（）。
（1）y=2x2+4x-3 （2）y=2x2-4x+3 （3）y=-3x2-6x-3 （4）y=-3x2+6x-3
A. (1)和(2) B. (2)和(3) C.(1)和(3) D.(2)和(4)
〖解析〗D。二次函数对称轴为：，所以（1）函数的对称轴为；（2）函数的对称轴为；（3）函数的对称轴为；（4）函数的对称轴为；故答案为D。
4、下列选项可表示为二次函数f(x)＝-x2＋4x＋c图像的是（ ）
〖解析〗C。函数解析式可知，a=-1＜0，所以图像开口向下；对称轴；故答案为C。
5、设x，y满足y=-x+1，则x2+y2的最小值为（）。
A. 1 B . C. D. 2
〖解析〗C。∵y=-x+1，∴x2+y2=x2+（-x+1）2=x2+x2-2x+1=2x2-2x+1；即原式可等价为关于x的一元二次方程，且其开口向上，∴最小值为；故答案为C。
6、函数（ ）
A. B.
C. D.
〖解析〗D。，
；答案为D。
7、在RT△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3，BC=4，M为线段AC上动点，设点M到BC距离为x，△ABC的面积为y，则y关于x的函数是（）
A. B. C. D.
〖解析〗B。结合三角形面积公式可得：；故答案为B。
8、（）。
A. B. C. D. 无法确定
〖解析〗B。考查函数根判别式的应用：由题意知，故答案为B。
9、已知二次函数顶点为A，对称轴为L1,对数函数图像与x轴交于点B，与直线L1交于点C，则△ABC面积为（）。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
〖解析〗A。由题意知点A的坐标为（2，-1）；对数函数恒过定点（1，0），即B的坐标为（1，0）；两解析式表示同一函数需要满足：定义域、值域和对应法则三条件均一致。A选项满足这三个条件，所以A正确；B中f(x)函数定义域为R，g(x)的定义域为，即C点的坐标为（2，1）；所以
；故答案为A。
10、已知二次函数（）。
f(1)＜f(2)＜f(4) B. f(1)＜f(4)＜f(2)
C. f(2)＜f(1)＜f(4) D.f(2)＜f(4)＜f(1)
〖解析〗C。有题意知f(x)的对称轴为，且函数图像为开口向上的抛物线，即在对称轴处取得最小值，满足距离对称轴距离越远，其对应点的纵坐标越大，所以f(2)＜f(1)＜f(4)；故答案为C。
二、填空题
11、 。
〖解析〗-12。因为顶点为（1,1），所以联立方程组得：，即mn=-12；故答案为-12。
12、 。
〖解析〗 1 。由题意知，：。
13、 。
〖解析〗 。由题意可联立方程组： 。
。
〖解析〗。所以不等式解集为。
三、解答题
15、（2018年山东春考）
〖解析〗
（1）由函数解析式可知，函数表示的图像为抛物线，且开口向上，图像在上单调递减，要求其对称轴在递减区间的右侧，即；故实数m的取值范围为。
（2）由题意知恒成立，
推出不等式组：
所以。专题三（二） 二次函数及应用
思维导图
1.2 知识点识记
1、一般式：。
2、图像：图像为一条抛物线，对称轴为直线 ；顶点坐标为 ；
当a＞0，抛物线 ，
当a＜0，抛物线 ；
c值是抛物线与y轴 （与y轴交点的纵坐标）。
3、单调性：
当a＞0，在区间 为减函数；在区间 为增函数；
当a＜0，在区间 为增函数；在区间 为减函数。
最大值与最小值
当a＞0， 时， ；
当a＜0， 时， ；
对称性：设二次函数的对称轴x=h，则对任意实数x，其满足 ,即自变量到对称轴 ，其对应函数值就 。
1.2.2 基础知识测试
1、二次函数是偶函数的充要条件是 。
已知二次函数y＝－3x2－6x＋9，其顶点式为 ,交点式为 ，对称轴为 。
当x＝ 时，y有最大值，ymax＝ 。
当y＝0时，x1＝ ，x2＝ 。
当y>0时，x的取值范围 。
当y<0时，x的取值范围是 。
已知二次函数的图像右图所示，则
a 0, b 0, c 0, △ 0；
单调递增区间为 ，单调递减区间为 。
4、函数y=-3(x-2)2+3图像的顶点坐标为（）。
A. （2,3） B. （-2,3）
C. （2,-3） D. （-2,-3）
5、已知函数 ，则m=（）。
A. 2 B. -2 C. 10 D. -10
6、函数的图像具有性质为（ ）
A. 开口向上，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1,0）
B. 开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（1,0）
C. 开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为（-1,0）
D. 开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1,0）
7、已知二次函数的顶点坐标为（2，-1），且图像经过（1，5），则该函数解析式为 。
已知二次函数 的图像可能为下列选项（ ）。
9、已知函数的图像经过原点，则当，x的取值范围为 。
10、设 。
1.2.3 职教高考考点直击
函数部分在职教高考中为常见考点，分值较高，考频较高，选择题在4-5道左右，解答题1-2道，总分值在20分上下。其内容以函数定义域、奇偶性及单调性为主要考查点，常与不等式、解析几何、数列等知识结合考查，难度中等，复习中加强此部分学习将会在考试中起到事半功倍的效果。
1.2.4 高考经典例题剖析
例1 （2015年山东春季高考）已知函数式，
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
变式1 （ ）。
A. B.
C. D.
例2 （2013年山东春季高考）二次函数的对称轴是（ ）。
A. x=-1 B. x=1 C. x=-2 D. x= 2
变式2 二次函数的最小值是（ ）。
A. -1 B. 1 C. 2 D. -2
例3 （2015年山东春季高考）
函数的最大值是1 B. 函数图像的对称轴是直线x=1
函数的单调递增区间是 D. 函数图像过点（2,0）
变式3 。
B. C. D.
例4、（2019年山东春季高考）已知二次函数的图像顶点在直线上，且求该函数解析式。
例5、已知函数。
B. C. D.
变式4 已知二次函数经过点（1，0）（0，3），且区间[1,5]上是增函数，且其。
求函数的解析式；
求不等式的解集。
1.2.5 考点巩固练习
一、选择题
1、二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在第三象限内，与x轴的两个交点分别位于原点两侧，则a，b，c的取值范围是(　　)
a＜0 , b＜0，c＜0 B.a＞0 , b＞0，c＜0
C.a＜0 , b＜0，c＞0 D.a＞0 , b＜0，c＜0
2、二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝2，图象与y＝1的两交点坐标是(x1，1)，(x2，1)，则x1＋x2等于(　　)
4 B. 6
C. 10 D. 12
3、下列函数图像中，对称轴是直线x=1的是（）。
（1）y=2x2+4x-3 （2）y=2x2-4x+3 （3）y=-3x2-6x-3 （4）y=-3x2+6x-3
A. (1)和(2) B. (2)和(3)
C.(1)和(3) D.(2)和(4)
4、下列选项可表示为二次函数f(x)＝-x2＋4x＋c图像的是（ ）
5、设x，y满足y=-x+1，则x2+y2的最小值为（）。
A. 1 B .
C. D. 2
6、函数（ ）
A. B.
C. D.
7、在RT△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3，BC=4，M为线段AC上动点，设点M到BC距离为x，△ABC的面积为y，则y关于x的函数是（）
A. B.
C. D.
8、（ ）。
A. B.
C. D. 无法确定
9、已知二次函数顶点为A，对称轴为L1,对数函数图像与x轴交于点B，与直线L1交于点C，则△ABC面积为（ ）。
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
10、已知二次函数（ ）。
f(1)＜f(2)＜f(4) B. f(1)＜f(4)＜f(2)
C. f(2)＜f(1)＜f(4) D. f(2)＜f(4)＜f(1)
二、填空题
11、 。
12、 。
13、 。
。
三、解答题
15、（2018年山东春考）

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