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专题三 二次函数与应用（二） 测试卷
【注意事项】
1、本试卷分为第Ι卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本题与答题卡一并交回。
2、本次考试允许使用函数型计算机，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01。
第Ι卷（选择题）
一、单选题（本大题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上。）
1．已知，则的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令，可得，代入可求得的表达式，由此可得出函数的表达式。
【详解】令，可得，代入，
可得，因此，。
故选：A。
2．已知，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接代入化简求解即可。
【详解】解：因为，
所以。
故选：B
【点睛】此题考查由已知函数的解析式求复合函数的解析式，属于基础题。
3．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】函数在时取得最大值,在或时得，结合二次函数图象性质可得的取值范围。
【详解】二次函数的图象是开口向下的抛物线。最大值为，且在时取得，而当或时，。结合函数图象可知的取值范围是。
故选：C。
【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，考查数形结合思想的应用，属于中档题。
4．已知，若，，则等于（ ）
A．2018 B．
C．0 D．10020
【答案】C
【分析】根据二次函数的对称性得出，最后由函数得出的值。
【详解】由知，关于抛物线的对称轴对称，故，。
故选：C。
【点睛】本题主要考查了求具体函数的函数值，涉及了二次函数对称性的应用，属于基础题。
5．已知函数f(x＋1)＝x2＋2x，则f(x)的解析式为（ ）。
A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝x2＋2x－1
C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x2＋2x＋1
【答案】C
【分析】根据解析式f(x＋1)＝x2＋2x，配方即可得到函数f(x)的解析式。
【详解】f(x＋1)＝x2＋2x= （x+1）2-1
所以f(x)＝x2－1
所以选C
【点睛】本题考查了复合函数解析式的求法，属于基础题。
6．若函数的定义域和值域都是，则a的值为（ ）
A．3或 B．3
C． D．不确定
【答案】B
【分析】讨论二次项系数的取值，判断函数的定义域、值域是否符合题意即可求解。
【详解】当时，是二次函数，当其定义域是时，值域不是，不符合题意；当 时，解得或，
若，则，是常数函数，值域为，不符合题意；
若，则，其图象是一条直线，值域为，符合题意。
故选：B。
【点睛】本题考查一次函数、二次函数、常函数的定义域、值域，属于基础题。
7．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款是
A．413.7元 B．513.7元
C．546.6元 D．548.7元
【答案】C
【详解】依题意可得，因为，所以购买A商品没有优惠，则A商品的价格为168元。当购买价值500元的物品时实际付款为，所以购买B商品享受了9折优惠，则B商品的原价为元。若一次性购买两件商品则付款总额为168+470=638元，则应付款元，故选C。
8．函数，在单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据二次项系数是否为零分类讨论，按照一次函数和二次函数的性质即可求出。
【详解】当时，，函数在单调递减，不符合题意；
当时，要函数在单调递增，只需，解得。
故选：D。
【点睛】本题主要考查一次函数和一元二次函数的性质应用，属于基础题。
9．函数f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3，3]的值域是（ ）
A．(－∞，5] B．[5，＋∞)
C．[－20，5] D．[4，5]
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质分析其在区间上的单调性即可求解出值域。
【详解】解析：∵f(x)＝－(x＋2)2＋5 在（-3，-2）上单调递增，在（-2，3）上单调递减
∴当x＝－2时，函数在[-3,3]上有最大值，且最大值为 ；
当x＝3时，函数在[-3,3]上有最小值，且最小值为，
选项ABD错误，选项 C正确
故选：C。
10．已知函数为偶函数，则m的值是（　　）
A． B．
C． D．1
【答案】C
【详解】函数为偶函数，
则满足，即，
解得，即。
故选C。
11．已知函数，若，，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】求出函数在时的值域，再根据题意求出m的取值范围。
【详解】函数的图象开口向下，对称轴方程为，函数在区间上单调递增，，，即函数的值域为。
由方程有解知，，因此，且，解得.故选：C。
【点睛】本题考查了二次函数在闭区间上的最值，考查了函数在闭区间上的零点问题，考查了数学运算能力。
12．给出下列结论：
①奇函数的图象一定经过原点；
②偶函数的图象一定关于轴对称；
③奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
④既是奇函数又是偶函数的函数不存在．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】B
【分析】直接根据奇偶函数的定义和性质判断各结论是否正确。
【详解】①当奇函数在处有定义时必过原点，也可以在时没有定义,故①错误；
②由偶函数的性质知偶函数的图象一定关于轴对称，故②正确；
③奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，故③错误；
④，就是既为奇函数又为偶函数的函数，故④错误。
故正确命题的个数是1。
故选：B。
【点睛】本题考查了函数奇偶性的理解与应用，属于基础题。
13．若为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时有（ ）
A．f(x)≤2 B．f(x)≥2
C．f(x)≤-2 D．f(x)≥-2
【答案】B
【分析】当x≤0时，-x≥0，故而f(-x)≥2，根据即可得结果。
【详解】当x≤0时，-x≥0，故而f(-x)≥2，由为偶函数知。
所以当x≤0时，f(x)≥2.故选B。
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性的应用，当时，得到是解题的关键，属于基础题。
14．下列说法正确的是（ ）
A．偶函数的图象一定与轴相交 B．若奇函数在处有定义，则
C．奇函数的图象一定过原点 D．图象过原点的奇函数必是单调函数
【答案】B
【分析】根据奇函数、偶函数的图象性质解决此题，即偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，而当奇函数在x＝0时有定义时，有f（0）＝0．据此逐个判断选项。
【详解】A项，若定义域不包含0，则图像与 轴不相交，故A错误
B项，若奇函数f（x）在x＝0时有定义，则f（ 0）＝ f（0），所以f（0）＝0，故B正确；
C项，若定义域不包含0，则图象不过原点，故C错误；
D项，图象过原点的奇函数不一定是单调函数，故D错误；
故选B。
【点睛】本题重点考查了奇偶函数的图象的性质，属于基础题，难度不大。
15．某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2 000套 B．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
【答案】D
【分析】列出利润的表达式再求解的解即可。
【详解】因利润z＝12x－(6x＋30 000),所以z＝6x－30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套。
故选：D
【点睛】本题主要考查了实际应用中的利润问题，属于基础题。
16．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量与大气压强成正比例函数关系．当时，，则与的函数关系式为
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设，将代人解析式中，计算出值，即可得到答案。
【详解】由题意设，将代人解析式可得，故，考虑到含氧量不可能为负，可知。
【点睛】本题考查正比例函数的解析式 ，属于基础题。
17．某地固定电话市话收费规定：前三分钟元（不满三分钟按三分钟计算），以后每加一分钟增收元（不满一分钟按一分钟计算），那么某人打市话用时550秒，应支付电话费
A．元 B．元
C．元 D．元
【答案】B
【分析】设所用时间为分钟，应支付电话费为元，根据题意求出当时，与的函数关系式，代值计算即可得答案．
【详解】设所用时间为分钟，应支付电话费为元，
则（是不小于的最小整数，），令，故，则。
故答案选B
【点睛】本题考查实际问题中求函数的解析式以及函数值，属于基础题。
18．一辆匀速行驶的汽车行驶的路程为，则这辆汽车行驶的路程与时间之间的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据汽车匀速运动，确定车速，直接得出结果。
【详解】由题意可知，汽车行驶的速度，
故。
故选：D。
【点睛】本题主要考查函数模型的应用，属于基础题型。
19．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据出租车的计价方法可知函数图象为分段函数,观察图象逐一判定是否符合规则即可判定。
【详解】出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是)。
对应的值都是5，
以后每价为元，
不足按计价，
时，
时，，故选B。
【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于中档题.与实际应用相结合的题型也
是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答。
20．已知图像开口向上的二次函数对任意都满足，若在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据判断出函数的对称轴，根据二次函数的单调性列不等式，解不等式求得 的取值范围。
【详解】由题意得函数的对称轴是直线，得图像开口向上.由在区间上单调递减可知，又，解得。
故选B。
【点睛】本小题主要考查二次函数的对称轴和单调性，考查不等式的解法，属于基础题。
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
21．设函数f(x)＝x2－2x－1，若f(a)＝2，则实数a＝________
【答案】－1或3
【分析】由由f(a)＝2，得a2－2a－1＝2，解二次方程即可得到结果。
【详解】由f(a)＝2，得a2－2a－1＝2，
解得a＝－1或a＝3。
故答案为：－1或3
【点睛】本题考查根据函数值求自变量，考查对对应法则的理解及运算能力，属于基础题。
22．一个面积为1002的等腰梯形，上底长为x，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为___________。
【答案】y=（x>0）
【分析】根据题意画出图形，结合梯形的面积公式即可求解y与x的函数解析式。
【详解】
如图等腰梯形ABCD，过点A作，垂足为点E，由题意知，，则
等腰梯形ABCD的面积为，
即y与x的函数关系为。
故答案为：。
23．生活经验告诉我们，当水注进容器（设单位时间内进水量相同），水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象。
A． B． C． D．
（1）．（2）．（3）．（4）．
A：（______）； B：（______）；
C：（______）； D：（______）；
【答案】（4） （1） （3） （2）
【分析】关键要素是单位时间内进水量相同，然后研究水的高度与时间的关系，应结合容器的形状、自下而上直径的变化规律逐项分析。
【详解】解：容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与（4）对应；
容器为球形，水高度变化为快慢快，应与（1）对应；
，容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但容器细，容器粗，故水高度的变化为：容器快，与（3）对应，容器慢，与（2）对应。
故答案为：（4）（1）（3）（2）
【点睛】本题考查了利用图象来解释实际问题变化规律的思路方法，考查了函数思想、建模思想在解决实际问题中的应用，属于基础题。
24．已知二次函数满足，则该二次函数的解析式为________。
【答案】
【分析】设二次函数的解析式为,分别将代入求得即可
【详解】设二次函数的解析式为，由题意，
得，解得，
故
故答案为：
【点睛】本题考查已知函数形式求函数解析式,考查待定系数法求解析式,考查运算能力。
25．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元。
【答案】2250
【分析】先设原价，再根据题意列等式求解即可.
【详解】设彩电的原价为a元，∴a(1＋40%)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2 250。
∴每台彩电的原价为2 250元。
故答案为：2250。
三、解答题（本大题5小题，共40分）
26．已知函数，求的值。
【答案】；；；
【分析】直接代入解析式求值即可。
【详解】解： ；
；
；
。
【点睛】本题考查了求函数值，考查了代入思想，考查了数学运算能力。
27．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数h（x），其中,x是新样式单车的月产量（单位：件），利润=总收益﹣总成本．
（1）试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）见解析（2）当月产量x=300件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元
【分析】（1）求出总成本，由利润=总收益-总成本可得自行车厂的利润元与月产量的函数式；（2）当时，利用配方法求二次函数的最大值25000，当时，由函数的单调性可得，由此得答案。
【详解】解：（1）依题设，总成本为20000+100x，
则；
（2）当0≤x≤400时，，
则当x=300时，ymax=25000；
当x＞400时，y=60000﹣100x是减函数，
则y＜60000﹣100×400=20000，
∴当月产量x=300件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元。
【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，考查简单的数学建模思想方法，训练了分段函数最值的求法，是中档题。
28．已知二次函数图象的对称轴为直线，且，。
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域。
【答案】（1）；（2）。
【分析】（1）利用二次函数的对称轴和所过的点，列方程组求解即可；
（2）确定在上的单调性，进而求出值域.
【详解】（1）设，
则由题意得解得，
；
（2），，
∴当时，；当时，，
在上的值域为。
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的值域，是基础题。
29．求函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值。
【答案】
【分析】设f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)，分t>2，t≤2≤t＋1，t＋1<2三种情况进行讨论，结合二次函数的单调性即可求出最小值。
【详解】f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.设f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)。
当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f（2）＝－8；
当t＋1<2即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7。
综上，g(t)＝。
【点睛】本题考查了二次函数在含参区间上的最值问题.本题的关键是找到讨论依据。
30．某汽车租赁公司的月收益y（单位：元）与每辆车的月租金x（单位：元）间的关系为，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【答案】4050元，最大月收益307050元
【分析】将函数化为顶点式，由二次函数的性质即可得出结论。
【详解】解：，∴当时，.即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元。
【点睛】本题主要考查了二次函数模型解决实际问题，属于中等题。专题三 二次函数与应用（二） 测试卷
【注意事项】
1、本试卷分为第Ι卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本题与答题卡一并交回。
2、本次考试允许使用函数型计算机，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01。
第Ι卷（选择题）
一、单选题（本大题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上。）
1．已知，则的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，则等于（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知，若，，则等于（ ）
A．2018 B．
C．0 D．10020
5．已知函数f(x＋1)＝x2＋2x，则f(x)的解析式为（ ）。
A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝x2＋2x－1
C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x2＋2x＋1
6．若函数的定义域和值域都是，则a的值为（ ）
A．3或 B．3
C． D．不确定
7．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：
(1)如果不超过200元，则不给予优惠；
(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠；
(3)如果超过500元，其500元内的按第(2)条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人单独购买A，B商品分别付款168元和423元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款是
A．413.7元 B．513.7元
C．546.6元 D．548.7元
8．函数，在单调递增，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．函数f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3，3]的值域是（ ）
A．(－∞，5] B．[5，＋∞)
C．[－20，5] D．[4，5]
10．已知函数为偶函数，则m的值是（　　）
A． B．
C． D．1
11．已知函数，若，，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
12．给出下列结论：
①奇函数的图象一定经过原点；
②偶函数的图象一定关于轴对称；
③奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相反；
④既是奇函数又是偶函数的函数不存在．
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
13．若为偶函数，且当x≥0时，f(x)≥2，则当x≤0时有（ ）
A．f(x)≤2 B．f(x)≥2
C．f(x)≤-2 D．f(x)≥-2
14．下列说法正确的是（ ）
A．偶函数的图象一定与轴相交 B．若奇函数在处有定义，则
C．奇函数的图象一定过原点 D．图象过原点的奇函数必是单调函数
15．某厂日生产文具盒的总成本y（元）与日产量x（套）之间的关系为y＝6x＋30 000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒（ ）
A．2 000套 B．3 000套
C．4 000套 D．5 000套
16．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量也随之下降，且含氧量与大气压强成正比例函数关系．当时，，则与的函数关系式为
A． B．
C． D．
17．某地固定电话市话收费规定：前三分钟元（不满三分钟按三分钟计算），以后每加一分钟增收元（不满一分钟按一分钟计算），那么某人打市话用时550秒，应支付电话费
A．元 B．元
C．元 D．元
18．一辆匀速行驶的汽车行驶的路程为，则这辆汽车行驶的路程与时间之间的函数解析式是（ ）
A． B．
C． D．
19．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为(　　)
A． B．
C． D．
20．已知图像开口向上的二次函数对任意都满足，若在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
21．设函数f(x)＝x2－2x－1，若f(a)＝2，则实数a＝________
一个面积为1002的等腰梯形，上底长为x，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为___________。
23．生活经验告诉我们，当水注进容器（设单位时间内进水量相同），水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象。
A． B． C． D．
（1）．（2）．（3）．（4）．
A：（______）； B：（______）；
C：（______）； D：（______）；
24．已知二次函数满足，则该二次函数的解析式为________。
25．某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元。
三、解答题（本大题5小题，共40分）
26．已知函数，求的值。
27．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数h（x），其中,x是新样式单车的月产量（单位：件），利润=总收益﹣总成本．
（1）试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
28．已知二次函数图象的对称轴为直线，且，。
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域。
29．求函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值。
30．某汽车租赁公司的月收益y（单位：元）与每辆车的月租金x（单位：元）间的关系为，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

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