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专题三（三） 指数函数及对数函数
思维导图
1.2 知识点识记
1、根式性质及推广
（1）
负数没有偶次方根。
指数推广
。
幂运算
（1）；
（2）；
（3）。（）
3、指数函数图像及性质
指数函数 解析式
图像
性质 定义域：R
值域：
图像过定点（1,0）
定义域R上为减函数， 当x＞0；0＜y＜1； 当x＜0；y＞1。 定义域R上为增函数， 当x＞0；y＞1； 当x＜0；0＜y＜1。
对数及对数函数
负数和0无对数；1的对数为0，即loga1=0；底的对数为1，即logaa=1；
；
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，则：
；
。
换底公式：。
对数函数 解析式
图像
性质 定义域：
值域：R
图像过定点（1,0）
定义域上为减函数， 当x＞1；y＜0； 当0＜x＜1；y＞0。 定义域上为增函数， 当x＞1；y＞0； 当0＜x＜1；y＜0。
1.2.2 基础知识测试
1、将化成对数式可表示为（ ）
〖解析〗D。对数与指数相互转化：；故答案为D。
2、设对数函数，则（ ）
A.在区间内为增函数 B.在区间内为减函数
C.在区间内为增函数 D.在区间内为增函数
〖解析〗对数函数知，底数a=3＞1，结合对数函数的图像：在定义域内为单调递增函数；故答案为D。
3、设指数函数（ ）
A.在区间内为增函数 B.在区间内为减函数
C.在区间内为增函数 D.在区间内为增函数
〖解析〗B。对.数函数知，底数，结合指数函数的图像：在定义域内为单调递减函数；故答案为B。
4、设函数，则（ ）
A.1 B.-1 C.2 D.0
〖解析〗结合对数函数的图像可知，恒过定点（1，0），即当x=1时，对应函数值y=0；故答案为D。
5、用分数指数幂表示下列各式：
（1） ； （2） 。
〖解析〗（1）；（2）。（1）；（2）。
用对数形式表示下列各式：
（1） ； （2） 。
〖解析〗（1）；（2）。
指数函数 。
〖解析〗。由指数函数定义并结合图像可知：底数满足条件；所以实数a的
取值范围为。
已知函数 ，其定义域为 。
〖解析〗。由对数函数定义可知，；
所以答案为。
函数的定义域为 。
〖解析〗。由函数定义可知：；结合指数函数图像过定点（0，1），即当
x≤0时，函数值y=2x≤1，所以其定义域为。
10、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为 。
〖解析〗。设新设备的价值为单位1，每年消耗为b%，则第二年设备的价值为（1-b%），所以经过n年后此批设备的价值为。
1.2.3 职教高考考点直击
函数部分在职教高考中为常见考点，分值较高，考频较高，选择题在4-5道左右，解答题1-2道，总分值在20分上下。其内容以函数定义域、奇偶性及单调性为主要考查点，常与不等式、解析几何、数列等知识结合考查，难度中等，复习中加强此部分学习将会在考试中起到事半功倍的效果。
1.2.4 高考经典例题剖析
例1 （2013年山东春季高考）若点（）。
A. B.
C. D.
〖解析〗A。∵点p与p’关于原点对称，∴，故答案为A。
〖点评〗考查关于原点对称的坐标之间的对应关系及指数与对数之间的互相转化的运算方法与技巧。
变式1 （）。
1 B. 2
C. -1 D. -2
〖解析〗C。 ；故答案为C。
例2设x＞0，y＞0，a＞0，a≠1，下列等式正确的是（）。
B.
C. D.
〖解析〗A。对数及指数运算法则：；；所以答案A。
〖点评〗考查对数及指数运算法则。
例3（2016年山东春季高考）若实数a＞0，下列等式成立的是（）。
A. B.
C. D.
〖解析〗D。A中，故A错误；B中；任何非零实数的0次幂均为1，故C错误；所以答案为D。
〖点评〗考查实数指数幂的运算法则。
变式2 下列等式中正确的个数是（）。
（1）；（2）；（3）；（4）。
1 B. 2
C. 3 D. 4
〖解析〗C。；，（2）错误；，（3）正确；，（3）正确。故答案为C。
则下列关系正确的是（）。
0＜a＜b＜1 B. 0＜a＜1＜b
C. 0＜b＜1＜a D. a＜0＜1＜b
〖解析〗B。由右图可知：指数函数y=ax在定义域上单调递减，所以0＜a＜1；对数函数y=logbx在定义域上单调递增，所以b＞1；故答案为B。
〖点评〗综合考查指数函数与对数函数性质和图像。
变式3 。
〖解析〗D。 由题意可知a＞1，即a-1＞0，所以直线斜率k＞0，且与y轴截距大于1，可排除选项B，C；又a＞1，即，所以指数函数图像在定义域内单调递减；故答案为D。
（2015年山东春季高考）已知函数。
(1)求实数a的值；
(2),
〖解析〗（1）讨论a的值。当0＜a＜1 时，函数f（x）在区间[-2,4]上减函数，即f（x）max=f（-2）=16，a-2=16,解得a=；
a＞1 时，函数f（x）在区间[-2,4]上增函数，即f（x）max=f（4）=16，a4=16,解得a=2；
综上所述，a=或a=2。
由题意可知：，
又有（1）中a=或a=2，所以a=2。
题设不等式可等价为，
即0＜1-2t≤2，解得；
所以实数t的取值范围为。
〖点评〗综合考查指数函数、对数函数、函数单调性和极值及与一元二次不等式的相结合及具体应用。
例5、(2016年山东春季高考)下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝（x＋a）2＋b的图象经过点（a，b）
B．函数y＝ax（a>0且a≠1）的图象经过点（1，0）
C．函数y＝logax（a>0且a≠1）的图象经过点（0，1）
D．函数y＝xα（α∈R）的图象经过点（1，1）
〖解析〗D。 由二次函数的性质和图象知，选项A中函数的图象经过点(－a，b)；由指数函数的性质和图象知，选项B中函数的图象经过点(0，1)；由对数函数的性质和图象知，选项C中函数的图象经过点(1，0)；由幂函数的性质和图象知，选项D中函数的图象经过点(1，1)，故选D。
〖点评〗函数图像可以直观的反映自变量与因变量的关系及变化趋势，复习时需要着重练习掌握。
变式4 （ ）。
A．a>1，b>0 B．0C．a>1，b<0 D．0〖解析〗B。由题意知，对数函数值y＜0且图像在定义域内单调递增，则其自变量a满足0例6、(2016年山东春季高考)已知某城市2015年年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为 1%(不考虑其他因素)。
(1)若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式．
(2)如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年(精确到1年)
〖解析〗(1) y关于x的函数关系式是y＝200×(1＋1%)x＝200×1.01x，x≥0。
(2)设至少需要经过x年该城市人口达到210万。
则200×1.01x＝210，1.01x＝1.05，xlg1.01＝lg1.05，解得x≈5，
答：至少需要经过5年，该城市人口总数达到210万。
〖点评〗指数函数的应用及与对数的相互转化运算为常考知识点。
1.2.5 考点巩固练习
一、选择题
1、如果0＜a＜b＜1，那么loga5与logb5的大小关系是(　　)。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．loga5＜logb5 B．loga5＝logb5
C．loga5＞logb5 D．无法确定
〖解析〗C。∵0＜a＜b＜1，∴log5a＜log5b＜0，∴loga5＜logb5；故答案为C。
2、函数y＝(2a－1)x在R上是增函数的充要条件是(　　)
A. B．
C． D．
〖解析〗C。指数函数在R上为增函数充要条件为2a－1＞1，即a＞1；故答案为C。
3、已知函数，则的图象为（）。
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据单调性排除C,D,再取特殊点确定选项。
【详解】是减函数，故排除选项C，D，又当时，，排除A，
故选：B。
【点睛】本题考查指数函数图象与性质，考查基本分析判断能力，属基础题。
4、函数y＝loga(2x－3)(a＞0且a≠1)的图象过定点P，则点P的坐标是(　　)。
A．(1，0) B．(0，1)
C．(2，0) D．(0，2)
〖解析〗C。函数图像过定点等价于函数自变量与因变量的取值与其他参数无关，即当2x-3=1时，(任意非零实数的零次幂均为1)x=2，对应函数值y=1；故答案为C。
5、在同一坐标系中，函数y=ax+a与y=ax的图象大致是（　　）。
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】一方面，函数y=ax横过点（0，1）且在a＞1时递增，在0＜a＜1时递减；另一方面再结合函数y=ax+a与y轴的交点为（0，a）作出判断。
【详解】解：∵函数y=ax横过点（0，1）且在a＞1时递增，在0＜a＜1时递减，而函数y=ax+a与y轴的交点为（0，a），
因此，A中、由y=ax的图象递增得知a＞1，由函数y=ax+a与y轴的交点（0，a）得知a＜1，矛盾；
C中、由y=ax的图象递减得知0＜a＜1，由函数y=ax+a与y轴的交点（0，a）得知a＞1，矛盾；
D中、由y=ax的图象递减得知0＜a＜1，函数y=ax+a递减得知a＜0，矛盾；
故选：B。
【点睛】本题考查对数函数的图象与性质，着重考查一次函数y=ax+a与指数函数y=ax之间的对应关系，考查数形结合的分析能力，属于基础题。
6、某电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由375元降到192元，若每次降价的百分率相同，这种产品每次降价的百分率是(　　)。
A．18% B．20%
C．19% D．17%
〖解析〗B。设每次降价的百分率为x，则375×(1－x)3＝192，(1－x)3＝0.512，1－x＝0.8，x＝20%；答案为B。
7、若函数定义域为 ，则的取值范围是（）。
A． B．且
C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得x2﹣ax+1＞0恒成立，故有 ，由此解得a的范围。
【详解】由题意可得：要使f（x）的定义域为R，则对任意的实数x都有x2﹣ax+1＞0恒成立，故有解得0＜a＜1，或1＜a＜2，即a的范围为（0，1）∪（1，2）。
故选：B。
【点睛】本题考查了对数函数的定义域和性质的综合应用，也考查了二次函数的性质，属于中档题。
8、若函数y = g(x)的图象与的图象关于直线y = x对称，则g(x) = （）。
A. B.
C. D.
〖解析〗B。函数y = g(x)的图象与的图象关于直线y = x对称，则满足函数自变量与因变量位置互换，即；故答案为B。
9、已知，则函数（，且）与函数（，且）的图像可能是（）。
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据得到，得到，确定函数与函数互为反函数，进而可得出结果。
【详解】∵，∴，∴。
∴.又∵，
∴函数与函数互为反函数，且函数图像关于直线对称。
故选B。
【点睛】本题主要考查函数图像的识别，熟记对数函数与指数函数的图像即可，属于常考题型。
10、下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（ ）。
①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；
④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善。
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】认真观察图形就可以判断。
【详解】由图知，“生活费收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故①正确；
“生活费收入指数”在2014～2015年最陡；故②正确；
“生活价格指数”在2015～2016年最平缓，故③不正确；
“生活价格指数”略呈下降，而“生活费收入指数”呈上升趋势，故④正确。
故选：C。
11、（2019年山东春考）已知指数函数，对数函数的图像，如右图所示，则下列关系成立的是（）。
A. B. .
C. D.
〖解析〗B。由图像可知指数函数图像单调递减则0＜a＜1；对数函数图像单调递增，则b＞1；综合得出可知；故答案为B。
已知函数。
A. B.
C. D.
〖解析〗D。图像如右图所示，故答案为D。
二、填空题
11、 。
〖解析〗。，即。
12、函数在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则实数的值是_____。
【答案】或
【分析】根据指数函数的单调性分类讨论，列方程求解a。
【详解】若，则函数在区间[1,2]上单调递减，
根据题意有，解得或0（舍去），所以；
若，则函数在区间[1,2]上单调递增，
根据题意有，解得或0（舍去），所以。
综上所述，或。
故答案为：或。
13、 。
〖解析〗 。由题意可联立方程组：。
14、函数f(x)=2·ax-1+1的图象恒过定点__________。
【答案】(1，3)
【分析】令，求得，代入解析式求得函数值，即可求得恒过定点的坐标。
【详解】令x-1=0，得x=1，又f（1）=2×1+1=3，
所以f(x)的图象恒过定点(1，3)。
故答案为：。
【点睛】本题考查指数型函数恒过定点的问题，属简单题。
三、解答题
15、一种产品原来的年产量是a件，今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加，写出年产量y（单位：件）关于经过的年数x的函数解析式。
【答案】
【分析】由题意可知函数模型为指数型，由此可得函数解析式。
【详解】解：由题意，今后年内，年产量随时间变化的增长率为，
又原来的年产量是a件，
∴。
【点睛】本题主要考查函数模型的建立，属于基础题。
16、(2015年山东春季高考)已知函数(a＞0且a≠1)在区间[－2，4]上的最大值是16。
(1)求实数a的值；
(2)若函数的定义域是R，求满足不等式的实数t的取值范围。
〖解析〗（1）讨论a的值。当0＜a＜1 时，函数f（x）在区间[-2,4]上减函数，即f（x）max=f（-2）=16，a-2=16,解得a=；
a＞1 时，函数f（x）在区间[-2,4]上增函数，即f（x）max=f（4）=16，a4=16,解得a=2；
综上所述，a=或a=2。
由题意可知：，
又有（1）中a=或a=2，所以a=2。
题设不等式可等价为，
即0＜1-2t≤2，解得；
所以实数t的取值范围为。专题三（三） 指数函数及对数函数
思维导图
1.2 知识点识记
1、根式性质及推广
（1）
负数没有偶次方根。
指数推广
。
幂运算
（1）；
（2）；
（3）。（）
3、指数函数图像及性质
指数函数 解析式
图像
性质 定义域：R
值域：
图像过定点（1,0）
定义域R上为减函数， 当x＞0；0＜y＜1； 当x＜0；y＞1。 定义域R上为增函数， 当x＞0；y＞1； 当x＜0；0＜y＜1。
对数及对数函数
负数和0无对数；1的对数为0，即loga1=0；底的对数为1，即logaa=1；
；
若a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，则：
；
。
换底公式：。
对数函数 解析式
图像
性质 定义域：
值域：R
图像过定点（1,0）
定义域上为减函数， 当x＞1；y＜0； 当0＜x＜1；y＞0。 定义域上为增函数， 当x＞1；y＞0； 当0＜x＜1；y＜0。
1.2.2 基础知识测试
1、将化成对数式可表示为（ ）
2、设对数函数，则（ ）
A.在区间内为增函数 B.在区间内为减函数
C.在区间内为增函数 D.在区间内为增函数
3、设指数函数（ ）
A.在区间内为增函数 B.在区间内为减函数
C.在区间内为增函数 D.在区间内为增函数
4、设函数，则（ ）。
A.1 B.-1 C.2 D.0
5、用分数指数幂表示下列各式：
（1） ； （2） 。
用对数形式表示下列各式：
（1） ； （2） 。
指数函数 。
已知函数 ，其定义域为 。
函数的定义域为 。
10、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b%，则n年后这批设备的价值为 。
1.2.3 职教高考考点直击
函数部分在职教高考中为常见考点，分值较高，考频较高，选择题在4-5道左右，解答题1-2道，总分值在20分上下。其内容以函数定义域、奇偶性及单调性为主要考查点，常与不等式、解析几何、数列等知识结合考查，难度中等，复习中加强此部分学习将会在考试中起到事半功倍的效果。
1.2.4 高考经典例题剖析
例1 （2013年山东春季高考）若点（）。
A. B.
C. D.
变式1 （）。
1 B. 2
C. -1 D. -2
例2设x＞0，y＞0，a＞0，a≠1，下列等式正确的是（）。
B.
C. D.
例3（2016年山东春季高考）若实数a＞0，下列等式成立的是（）。
A. B.
C. D.
变式2 下列等式中正确的个数是（）。
（1）；（2）；（3）；（4）。
1 B. 2
C. 3 D. 4
则下列关系正确的是（）。
0＜a＜b＜1 B. 0＜a＜1＜b
0＜b＜1＜a D. a＜0＜1＜b
变式3 。
（2015年山东春季高考）已知函数。
(1)求实数a的值；
(2),
例5、(2016年山东春季高考)下列说法正确的是(　　)
A．函数y＝（x＋a）2＋b的图象经过点（a，b）
B．函数y＝ax（a>0且a≠1）的图象经过点（1，0）
C．函数y＝logax（a>0且a≠1）的图象经过点（0，1）
D．函数y＝xα（α∈R）的图象经过点（1，1）
变式4 （ ）。
A．a>1，b>0 B．0C．a>1，b<0 D．0例6、(2016年山东春季高考)已知某城市2015年年底的人口总数为200万，假设此后该城市人口的年增长率为 1%(不考虑其他因素)。
(1)若经过x年该城市人口总数为y万，试写出y关于x的函数关系式．
(2)如果该城市人口总数达到210万，那么至少需要经过多少年(精确到1年)
1.2.5 考点巩固练习
一、选择题
1、如果0＜a＜b＜1，那么loga5与logb5的大小关系是(　　)。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．loga5＜logb5 B．loga5＝logb5
C．loga5＞logb5 D．无法确定
2、函数y＝(2a－1)x在R上是增函数的充要条件是(　　)
A. B．
C． D．
3、已知函数，则的图象为（）。
A． B．
C． D．
4、函数y＝loga(2x－3)(a＞0且a≠1)的图象过定点P，则点P的坐标是(　　)。
A．(1，0) B．(0，1)
C．(2，0) D．(0，2)
5、在同一坐标系中，函数y=ax+a与y=ax的图象大致是（　　）。
A． B．
C． D．
6、某电子产品自投放市场以来，经过三次降价，单价由375元降到192元，若每次降价的百分率相同，这种产品每次降价的百分率是(　　)。
A．18% B．20%
C．19% D．17%
7、若函数定义域为 ，则的取值范围是（）。
A． B．且
C． D．
8、若函数y = g(x)的图象与的图象关于直线y = x对称，则g(x) = （）。
A. B.
C. D.
9、已知，则函数（，且）与函数（，且）的图像可能是（）。
A． B．
C． D．
10、下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是（ ）。
①这几年生活水平逐年得到提高；
②生活费收入指数增长最快的一年是2014年；
③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年；
④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善。
A．1 B．2
C．3 D．4
11、（2019年山东春考）已知指数函数，对数函数的图像，如右图所示，则下列关系成立的是（）。
A. B. .
C. D.
已知函数。
A. B.
C. D.
二、填空题
11、 。
12、函数在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则实数的值是_____。
13、 。
14、函数f(x)=2·ax-1+1的图象恒过定点__________。
三、解答题
15、一种产品原来的年产量是a件，今后m年内，计划使产量平均每年比上一年增加，写出年产量y（单位：件）关于经过的年数x的函数解析式。
16、(2015年山东春季高考)已知函数(a＞0且a≠1)在区间[－2，4]上的最大值是16。
(1)求实数a的值；
(2)若函数的定义域是R，求满足不等式的实数t的取值范围。

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