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专题三（三） 指数函数与对数函数 测试卷
【注意事项】
1、本试卷分为第Ι卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本题与答题卡一并交回。
2、本次考试允许使用函数型计算机，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01。
第Ι卷（选择题）
一、单选题（本大题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上。）
1、函数在区间，上的最小值是（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】B
【分析】利用指数函数的单调性，求出函数的最值即可。
【详解】函数在区间，上单调递减，，（1），
故函数在区间，上的最小值为，
故选：。
【点睛】本题主要考查指数函数的单调性与最值，属于基础题。
2、给出下列函数：
①；②；③；④；⑤.其中，指数函数的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据指数函数形式且判断即可得答案。
【详解】解：①中，的系数是2，故①不是指数函数；
②中，的指数是，不是自变量，故②不是指数函数；
③中，的系数是1，幂的指数是自变量，且只有一项，故③是指数函数；
④中，的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数。
⑤中，底数，不是指数函数。
故选：B。
【点睛】本题考查指数函数的概念，解题的关键在于指数函数的形式：且，是基础题。
3、函数①y＝logax；②y＝logbx；③y＝cx的图象如图所示，则下列关系式正确的是(　　)
A．0C．0〖解析〗D。由指数函数及对数函数图像性质可知：a,b均大于1，且
a＜b，即1＜a＜b；0＜c＜1；所以综合得到各函数底数关系
为：0＜c＜1＜a＜b；故答案为D。
4、函数（，且）的图象过定点，则点的坐标为（）。
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数恒过定点，再由函数图象平移变换即可得到定点的坐标。
【详解】解：因为的图象恒过点，则的图象恒过点，所以恒过定点。
故选。
【点睛】本题考查指数型函数过定点，属于基础题。
。
〖解析〗B。当01时，0<<1，函数y＝ax图象是单调递增，函数的图象是单调递减，此时只有选项B符合要求，选项A、C、D均不满足；故答案为B。
6、设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　)。
A．3 B．1
C．－1 D．－3
【答案】D
【详解】∵f（x）是定义在R上的奇函数，
当x≥0时，f（x）=2x+2x+b（b为常数），
∴f（0）=1+b=0，
解得b=-1；
∴f（1）=2+2-1=3。
∴f（-1）=-f（1）=-3。
故选D。
7、若函数的图像在第一、三、四象限内，则（ ）
A． B．，且
C．，且 D．
【答案】B
【分析】本题首先可以确定函数的图像所在象限，然后分为、两种情况进行讨论，通过图像的移动可确定，最后通过对向下移动是否超过一个单位进行讨论，即可得出结果。
【详解】因为函数的图像在第一、二象限内，
所以欲使其图像在第三、四象限内，必须将向下移动，
因为当时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、三、四象限，
所以只有当时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故，
因为图像向下移动小于一个单位时，图像经过第一、二、三象限，而向下移动一个单位时，图像恰好经过原点和第一、三象限，
所以欲使图像经过第一、三、四象限，则必须向下平移超过一个单位，
故，，
故选：B。
【点睛】本题考查根据函数图像所在象限确定参数的取值范围，考查指数函数图像的灵活应用，考查图像的平移，考查空间想象能力，是中档题。
8、设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，函数在上是增函数，再根据函数的图象关于直线对称，可得函数在上是减函数，故离直线越近的点，函数值越小，，，，∴，故选B。
9、函数的定义域是 R， 那么实数 k 的取值范围是（）。
A. B.
C. D.
〖解析〗D。由对数函数定义域为R可知：
，所以K的取值范围为；故答案为D。
10、函数的图像是（）。
〖解析〗C。函数由函数沿x轴负方向平移1个单位，然后取函数值的相反数得到；故答案为C。
11、函数在区间（1，+∞）上恒为正值，则实数a的取值范围（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】函数上恒为正值，分0＜a＜1和a＞1两种情况分别讨论，计算可得答案。
【详解】∵函数上恒为正值，
当0＜a＜1时，，在区间上恒成立，此不等式显然不恒成立；
当a＞1时，，在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
，解得1＜a≤2。
故选：B。
【点睛】在解对数型复合函数时，当a的范围没有明确时，必须分0＜a＜1和a＞1两种情况分别讨论，注意二次函数图象与性质的应用。
12、方程4x-3 2x+2=0的解集为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，用换元法分析：设t=2x，原方程可以变形为t2-3t+2=0，解可得：t=1或t=2，分别求出x的值，即可得答案。
【详解】根据题意，设t=2x，
则t2-3t+2=0，
解可得：t=1或t=2，
若t=1，即2x=1，则x=0，
若t=2，即2x=2，则x=1，
则方程4x-3 2x+2=0的解集为{0，1}；
故选：C。
【点睛】本题考查指数的运算，关键是掌握指数的运算性质，属于基础题。
13、若x＞1，则下列不等式中恒成立的是（）。
A. B.
C. D.
〖解析〗D。A中指数函数图像单调递减，在x正半轴上对应函数值小于1，所以错误；B中对数数函数图像单调递减，当自变量在定点（1,0）右侧时对应函数值小于0，所以错误；C中函数的值域为R，所以错误；故答案为D。
14、已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：由，在上单调递减，所以排除；
令，，C正确。
考点：指数函数的图像。
【方法点晴】本题主要考查指数函数的图像和单调性，难度一般。根据图像比较指数函数底数的大小应先根据单调性判断底数的范围即时在上为增函数，当时在上为减函数．再令，根据函数图像即可判断底数的大小．口诀:在第一象限，底数按逆时针增大。
15、
A. B.
C. D.
〖解析〗A。由对数函数图像可知，当a＞1时，图像在定义域内单调递增，自变量x＜1时，对应函数
值恒小于0，满足题设；当0＜a＜1时，底数大于等于其真数是，对应函数值越大，即，所以；综上所述，a的取值范围为。
16、若，，则下列各式中一定成立的是（）。
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令，，故不正确；，前者较小，故排除选项；选。
17、在2h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,能反映血液中药物含量Q随时间变化的图象是（）。
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题可得当时, 图象为直线段,当时,图形为单调递减的指数曲线判定即可。
【详解】解析:由题意,当时,图象为直线段,所以A错;药物含量不会是负值,所以D错;由于2h后即时,图象为指数型曲线,所以C错,B对。
故选：B。
【点睛】本题主要考查了根据实际意义判断函数图象的问题,属于基础题。
18、函数的图象如图所示，则可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】用排除法，由函数值如，排除B，排除A，D是一次函数也排除，只有C符合。
【详解】由图象过知B不正确，
由知A不正确，由图象为曲线知D不正确，
所以应选C。
故答案为：C
【点睛】本题考查由函数图象选择函数解析式，解题方法是排除法，由图象提供的信息，如函数的性质，特殊的函数值等，验证各函数式进行排除。
19、某厂 2006 年的产值是 a 万元，计划以后每一年的产值比上一年增加20%，则该厂 2010 年的产值（单位：万元）为（ ）。
A.a（1 + 20%）5 B. a（1 + 20%）4
C.a + 4a × 20% D.a + 5a × 20%
〖解析〗B。设新设备的价值为单位1，每年增值为20%，则第二年设备的价值为（1+20%），所以经过4年后此批设备的价值为 a（1 + 20%）4；故答案为B。
20、若（）。
A. B.
C. D.
〖解析〗C。。故答案为C。
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
21、设函数f(x)＝x2－2x－1，若f(a)＝2，则实数a＝________。
【答案】－1或3
【分析】由由f(a)＝2，得a2－2a－1＝2，解二次方程即可得到结果。
【详解】由f(a)＝2，得a2－2a－1＝2，
解得a＝－1或a＝3。
故答案为：－1或3
【点睛】本题考查根据函数值求自变量，考查对对应法则的理解及运算能力，属于基础题。
22、一个面积为1002的等腰梯形，上底长为x，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为___________。
【答案】y=（x>0）
【分析】根据题意画出图形，结合梯形的面积公式即可求解y与x的函数解析式。
【详解】
如图等腰梯形ABCD，过点A作，垂足为点E，由题意知，，则
等腰梯形ABCD的面积为，
即y与x的函数关系为。
故答案为：。
23、生活经验告诉我们，当水注进容器（设单位时间内进水量相同），水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象。
A． B． C． D．
（1）．（2）．（3）．（4）．
A：（______）； B：（______）；
C：（______）； D：（______）；
【答案】（4） （1） （3） （2）
【分析】关键要素是单位时间内进水量相同，然后研究水的高度与时间的关系，应结合容器的形状、自下而上直径的变化规律逐项分析。
【详解】解：容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与（4）对应；
容器为球形，水高度变化为快慢快，应与（1）对应；
，容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但容器细，容器粗，故水高度的变化为：容器快，与（3）对应，容器慢，与（2）对应。
故答案为：（4）（1）（3）（2）
【点睛】本题考查了利用图象来解释实际问题变化规律的思路方法，考查了函数思想、建模思想在解决实际问题中的应用，属于基础题。
24、已知二次函数满足，则该二次函数的解析式为________。
【答案】
【分析】设二次函数的解析式为,分别将代入求得即可
【详解】设二次函数的解析式为，由题意，
得，解得，
故
故答案为：
【点睛】本题考查已知函数形式求函数解析式,考查待定系数法求解析式,考查运算能力。
25、某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元。
【答案】2250
【分析】先设原价，再根据题意列等式求解即可.
【详解】设彩电的原价为a元，∴a(1＋40%)·80%－a＝270，∴0.12a＝270，解得a＝2 250。
∴每台彩电的原价为2 250元。
故答案为：2250。
三、解答题（本大题5小题，共40分）
26、已知函数，求的值。
【答案】；；；
【分析】直接代入解析式求值即可。
【详解】解： ；
；
；
。
【点睛】本题考查了求函数值，考查了代入思想，考查了数学运算能力。
27、某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数h（x），其中,x是新样式单车的月产量（单位：件），利润=总收益﹣总成本．
（1）试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）见解析（2）当月产量x=300件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元
【分析】（1）求出总成本，由利润=总收益-总成本可得自行车厂的利润元与月产量的函数式；（2）当时，利用配方法求二次函数的最大值25000，当时，由函数的单调性可得，由此得答案。
【详解】解：（1）依题设，总成本为20000+100x，
则；
（2）当0≤x≤400时，，
则当x=300时，ymax=25000；
当x＞400时，y=60000﹣100x是减函数，
则y＜60000﹣100×400=20000，
∴当月产量x=300件时，自行车厂的利润最大，最大利润为25000元。
【点睛】本题考查函数模型的选择及应用，考查简单的数学建模思想方法，训练了分段函数最值的求法，是中档题。
28、已知二次函数图象的对称轴为直线，且，。
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域。
【答案】（1）；（2）。
【分析】（1）利用二次函数的对称轴和所过的点，列方程组求解即可；
（2）确定在上的单调性，进而求出值域.
【详解】（1）设，
则由题意得解得，
；
（2），，
∴当时，；当时，，
在上的值域为。
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的值域，是基础题。
29、求函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值。
【答案】
【分析】设f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)，分t>2，t≤2≤t＋1，t＋1<2三种情况进行讨论，结合二次函数的单调性即可求出最小值。
【详解】f(x)＝x2－4x－4＝(x－2)2－8.设f(x)在[t，t＋1]上的最小值为g(t)。
当t>2时，f(x)在[t，t＋1]上是增函数，∴g(t)＝f(t)＝t2－4t－4；
当t≤2≤t＋1，即1≤t≤2时，g(t)＝f（2）＝－8；
当t＋1<2即t<1时，f(x)在[t，t＋1]上是减函数，∴g(t)＝f(t＋1)＝t2－2t－7。
综上，g(t)＝。
【点睛】本题考查了二次函数在含参区间上的最值问题.本题的关键是找到讨论依据。
30、某汽车租赁公司的月收益y（单位：元）与每辆车的月租金x（单位：元）间的关系为，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？
【答案】4050元，最大月收益307050元
【分析】将函数化为顶点式，由二次函数的性质即可得出结论。
【详解】解：，∴当时，.即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益是307050元。
【点睛】本题主要考查了二次函数模型解决实际问题，属于中等题。专题三（三） 指数函数与对数函数 测试卷
【注意事项】
1、本试卷分为第Ι卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间为120分钟。考试结束后，将本题与答题卡一并交回。
2、本次考试允许使用函数型计算机，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01。
第Ι卷（选择题）
一、单选题（本大题共20小题，每小题3分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上。）
1、函数在区间，上的最小值是（ ）
A． B．
C． D．2
2、给出下列函数：
①；②；③；④；⑤.其中，指数函数的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．4
3、函数①y＝logax；②y＝logbx；③y＝cx的图象如图所示，则下列关系式正确的是(　　)
A．0C．04、函数（，且）的图象过定点，则点的坐标为（）。
A． B．
C． D．
。
6、设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　)。
A．3 B．1
C．－1 D．－3
7、若函数的图像在第一、三、四象限内，则（ ）
A． B．，且
C．，且 D．
8、设函数定义在实数集上，它的图像关于直线对称，且当时，，则有（ ）
A． B．
C． D．
9、函数的定义域是 R， 那么实数 k 的取值范围是（）。
A. B.
C. D.
10、函数的图像是（）。
11、函数在区间（1，+∞）上恒为正值，则实数a的取值范围（　　）
A． B．
C． D．
12、方程4x-3 2x+2=0的解集为（　　）
A． B．
C． D．
13、若x＞1，则下列不等式中恒成立的是（）。
A. B.
C. D.
14、已知0＜m＜n＜1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为（ ）。
A． B．
C． D．
15、
A. B.
C. D.
16、若，，则下列各式中一定成立的是（）。
A． B．
C． D．
17、在2h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,能反映血液中药物含量Q随时间变化的图象是（）。
A． B．
C． D．
18、函数的图象如图所示，则可能是（ ）
A． B．
C． D．
19、某厂 2006 年的产值是 a 万元，计划以后每一年的产值比上一年增加20%，则该厂 2010 年的产值（单位：万元）为（ ）。
A.a（1 + 20%）5 B. a（1 + 20%）4
C.a + 4a × 20% D. a + 5a × 20%
20、若（）。
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
21、设函数f(x)＝x2－2x－1，若f(a)＝2，则实数a＝________。
22、一个面积为1002的等腰梯形，上底长为x，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为___________。
23、生活经验告诉我们，当水注进容器（设单位时间内进水量相同），水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象。
A． B． C． D．
（1）．（2）．（3）．（4）．
A：（______）； B：（______）；
C：（______）； D：（______）；
24、已知二次函数满足，则该二次函数的解析式为________。
25、某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元。
三、解答题（本大题5小题，共40分）
26、已知函数，求的值。
27、某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益（单位：元）满足分段函数h（x），其中,x是新样式单车的月产量（单位：件），利润=总收益﹣总成本．
（1）试将自行车厂的利润y元表示为月产量x的函数；
（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？
28、已知二次函数图象的对称轴为直线，且，。
（1）求的解析式；
（2）求在上的值域。
29、求函数f(x)＝x2－4x－4在闭区间[t，t＋1](t∈R)上的最小值。
30、某汽车租赁公司的月收益y（单位：元）与每辆车的月租金x（单位：元）间的关系为，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

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