资源简介

专题四 数列
思维导图
1.2 知识点识记
1、数列概念
（1）数列中“数”具有顺序性；
（2）数列中项与序号一一对应；
（3）
2、通项公式
定义：数列第n项与序号n之间的函数关系式，即表示；
根据数列通项公式,可以求解出数列的任意一项；
数列的通项公式不具有唯一性；
不是所有的数列都有通项公式。
3、等差数列与等比数列
等差数列 等比数列
定义 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数，则此数列为等差数列 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数，则此数列为等比数列
一般形式
通项公式
前n项和公式
中项
性质
4、数列的前n项和Sn与数列第n项an的关系：。
1.2.2 基础知识测试
1、数列的通项公式是an=4n-1,则a6等于（）
A. 21 B. 22
C. 23 D. 24
〖解析〗C。由通项公式可知：a6=4×6-1=23；故答案为C。
2、。
A. 1，4，9 B. 2，4，9
C. 2，6，11 D. 2，1，4
〖解析〗B。由通项公式可知：数列的前三项分别为2，22，32，即 2，4，9；故答案为B。
3、
A. B.
C. D.
〖解析〗B。由题意知数列每项是有系数-1的n-1次幂与2-n乘积组成；故答案为B。
4、已知等差数列{an}中，a1=1，d=3，那么当an=298时，项数n等于（ ）
A.98 B.99
C.100 D.101
〖解析〗C。等差数列通项公式知：an=a1+（n-1）d=1+（n-1）×3=298；解得n=100；故答案为C。
5、在等差数列{an}中，已知a2+a4=16,则a3=（）。
A. 4 B.8
C. 16 D.32
〖解析〗B。由题意知a3为a2，a4的等差中项，所以；故答案为B。
设{an}是等比数列,若a2=3,a4=6,则a6的值是 (　　)
9 B. 12
C. 16 D. 36
〖解析〗B。由题意知a4为a2，a6的等比中项，所以；故答案为B。
设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=12,则a7+a8+a9=（）。
20 B. 36
C. 15 D. 18
〖解析〗B。由等比数列的性质可知a1+a2+a3，a4+a5+a6，a7+a8+a9三者成等比数列，
即可得出答案为B。
已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则该数列的通项公式an＝ 。
〖解析〗。由数列通项公式求解方法可知：
；所以答案为。
。
〖解析〗。由函数定义可知：
；故答案为。
10、在等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16，则前8项的和等于 。
〖解析〗510或170。由等比数列的前n项和公式得到：
。
故答案为510或170。
1.2.3 职教高考考点直击
数列部分在职教高考中为常见考点，分值在10分左右，考频较高，常以选择题、解答题形式考查，与指数函数、对数函数等知识结合出现，题型难度适中。复习中加强等差、等比数列性质、通项公式、前n项和公式及应用的练习。
1.2.4 高考经典例题剖析
例1 （2018年山东春季高考）（）。
A. 0 B. -1
C. -2 D. -3
〖解析〗C。使用递推关系式求解： 故答案为C。
〖点评〗考查利用数列相邻项之间的关系代数式按照递推关系，依次求解各项的值。
变式1 。
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
〖解析〗C。 ； ；故答案为C。
例2（2019年山东春季高考）若等差数列{an}前7项和为70，则a1+a7等于（）。
5 B. 10
C. 15 D. 20
〖解析〗D。等差数列前n项和公式：；所以答案D。
〖点评〗考查等差数列前n项和公式的灵活运用。
例3若等差数列的{an}前7项和为70 ，则a3+a5等于（）。
A.5 B. 10
C. 15 D. 20
〖解析〗D。
；所以答案为D。
〖点评〗考查等差数列前n项和公式及性质的结合运用。
变式2 。
26 B. 100
C. 126 D. 155
〖解析〗C。
；；故答案为C。
第二项a2;
通项公式an。
〖解析〗解（1）由数列前n项和公式得出：。
数列通项公式为：当
综上所述，数列通项公式为。
〖点评〗综合考查数列通项公式的定义求解方法。
变式3 在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n为何值时，Sn取得最大值？并求出最大值。
〖解析〗
设等差数列的公差为d；所以求前n项和为最大值，即；所以当n≥14时，a14＜0；当n=12或13时，Sn取得最大值。
。
例5（2015年山东春季高考）在等比数列{an}中，已知a2=1，a4=3，则a6的值为（）。
A.-5 B. 5
C. -9 D. 9
〖解析〗D。在等比数列{an}中，a2，a4，a6构成等比数列，则a2a6=a42，所以a6=9；故答案为D。
〖点评〗综合考查等比数列中等比中项公式的应用。
变式3已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于(　　)
A.-10 B. -8
C. -6 D. -4
〖解析〗C。 由a1，a3，a4成等比数列，所以(a2＋d)2＝(a2－d)(a2＋2d)；即(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)；解得a2＝－6；故选C。
变式4
求数列{an}的通项公式；
若数列{bn}满足bn=an+n,求{bn}的前n项和Sn。
〖解析〗（1）解：设等比数列{an}的公比为q，则。故数列{an}的通项公式。
（2）有（1）知，
。
〖点评〗等比数列中五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知3求2”，通过方程组求解。注意整体代换思想的运用。
例6、(2019年山东春季高考)某城市2018年年底人口总数为50万，绿化面积为35万平方米，假定今后每年人口总数比上一年增加1.5万，每年新增绿化面积是上一年年底绿化面积的5%，并且每年均损失0.1万平方米的绿化面积(不考虑其他因素)。
(1)到哪一年年底，该城市人口总数达到60万(精确到1年)
(2)假如在人口总数达到60万并保持平稳、不增不减的情况下，到哪一年年底，该城市人均绿化面积达到0.9平方米(精确到1年)
〖解析〗解：(1)由题意知，自2018年起，每年的人口总数构成等差数列{an}，其中首项a1＝50，公差d＝1.5，通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝50＋(n－1)×1.5，
设第n项an＝60，即50＋(n－1)×1.5＝60，解得n＝7.7，
∵n∈N＋，∴n＝8，2 018＋8－1＝2 025.
答：到2025年年底，该城市人口总数达到60万。
(2)由题意知，自2018年起，每年的绿化面积数构成数列{bn}，其中b1是2018年年底的绿化面积数，b1＝35；b2是2019年年底的绿化面积数，b2＝35×(1＋5%)－0.1＝35×1.05－0.1；
b3是2020年年底的绿化面积数，
b3＝(35×1.05－0.1)×1.05－0.1＝35×1.052－0.1×1.05－0.1；
…
bk 是(2018+k-1)年年底的绿化面积数,
bk＝35×1.05k－1－0.1×1.05k－2－0.1×1.05k－3－…－0.1×1.05－0.1
设；
解得k≈10.3，由于k∈N+，所以k=11，2018+11-1=2028。
答：到2028年底，该城市人均绿化面积达到0.9平方米。
1.2.5 考点巩固练习
一、选择题
1、有下列说法：
①数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}；
②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列；
③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，是同一数列；
④数列0，1，0，1，是常数列．
其中说法正确的有（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
【答案】A
【分析】根据数列的定义即可判断。
【详解】①说法错误，构成数列的数是有顺序的，而集合中的元素是无序的；
②说法错误，两数列的数排列顺序不相同，不是相同的数列；
③说法错误，数列1，3，5，7是有穷数列，而数列1，3，5，7，是无穷数列；
④说法错误，由常数列的定义，可知0，1，0，1，不是常数列。
故选：A。
2、若lga，lgb，lgc 三个数成等差数列,则(　　)
A. B．
C． D．
〖解析〗C。由题意知；故答案为C。
3、若x,a,2x,b成等差数列,则a∶b=（）。
A． B．
C． D．
【答案】B。由题意得出：；故选：B。
4、《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（ ）
A．乙分8两，丙分8两，丁分8两 B．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱
C．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱 D．乙分9两，丙分8两，丁分7两
【答案】C。
【分析】根据题意，设五人所得的钱数等差数列，设公差为，根据，，得到，从而得到，得到答案。
【详解】由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列，
则，，
设公差为，所以，
即，解得，
可得；
；
，
所以乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱，
故选：C。
【点睛】本题考查等差数列的通项中基本量的计算，求等差数列中的某一项，属于简单题。
5、在等比数列{an}中,已知a1=1,q=2,则第5项至第10项的和为（　　）。
A．63 B．992
C．1023 D．1008
【答案】D。由等比数列前n项和公式知，
；；
故答案为D。
6、等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比等于(　　)。
A．-2 B．1
C．-2或1 D．2或-1
〖解析〗C。 当q=1时，S3=3a1成立；
当q≠1时，；
故答案为C。
7、记为数列的前项和，若，，且，则的值为（ ）
A．5050 B．2600
C．2550 D．2450
【答案】B
【分析】讨论为奇数或偶数时，对应的数列通项，根据奇偶数项分组求和，即可求的值。
【详解】当为奇数时，，数列是首项为1，公差为2的等差数列；
当为偶数时，，数列是首项为2，公差为0的等差数列，即常数列。
则。
故选：B。
8、在等比数列{an}中,a1+a2=10，a3+a4=40,则a5+a6等于（）。
A.160 B. ±160
C. 70 D. ±70
〖解析〗A。设等比数列{an}公比为q，则所以；故答案为A。
9、在等差数列{an}中，公差d≠0，Sn为数列{an}的前n项和，满足S1，S2，S4成等比数列，则 等于（）。
A．4 B．6
C．8 D．10
【答案】C。由题意得到
∵公差d≠0，∴。
故选C。
10、在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，Sn＝155，则n等于（ ）。
A．12 B．11
C．10 D．9
【答案】C。；
等差数列性质知，；
所以；
故选：C。
11、。
A. 100 B. 200
C. 300 D. 400
〖解析〗C。；所以S100=100+200=300，故答案为C。
12、已知是一个等比数列的前项，那么第项为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先根据成等比数列计算出和公比的值，然后再计算第项的值.
【详解】因为成等比数列，则，解得：或，
当时，不符合，舍去；
当时，前项为：，所以公比，则第项为：，
故选B。
二、填空题
13、在等比数列{an}中，若an＞0，a4a6＋2a5a7＋a6a8＝64，则a5，a7的等差中项等于 。
〖解析〗4。
所以；
所以。
14、已知是等差数列，是等比数列，且 ，. 则数列的前n项和为______________。
【答案】。
【分析】先由题中条件求出数列和数列的通项公式，再由分组求和法，结合等差数列以及等比数列的求和公式即可求出结果。
【详解】设的公差为，的公比为；
因为是等比数列，,所以，所以,
又因为是等差数列，，，所以，故，
令，记的前n项和为,
.
故答案为。
【点睛】本题主要考查数列的求和，需要先求数列的通项公式，再用分组求和法求解即可，常用的数列求和的方法有：分组求和，倒序相加，裂项相消，错位相减等，难度较小。
15、 。
〖解析〗15 。由题意知：；
；
解得n=15。
16、在-5与16之间加入n个数，使这n+2个数构成和为88的等差数列，则公差的值为__________。
【答案】。由等差数列求和公式得出：
。
17、已知三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于__________。
【答案】28。
【详解】依题意设原来的三个数依次为；
∵，
∴。
又第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列，
∴，
∴，或，
∴原来的三个数为4，8，16或16，8，4.
∵，
∴原来的三个数的和等于28。
故答案为：28。
三、解答题
18、(2017年山东春季高考)某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜．保险公司提供了交纳保险费的两种方案：
①一次性交纳50万元，可享受9折优惠；
②按照航行天数交纳：第一天交纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天。
请通过计算，帮助王亮同学判断哪种方案交纳的保费较低。
【详解】解：在方案①中，共需交纳保险费50×0.9＝45(万元)；
在方案②中，每天交纳保险费的金额数构成一个等比数列{an}，
其首项a1＝0.5，公比q＝2，
该数列前20项和；
所以方案（1）缴纳的保费低。
19、（1）已知等比数列满足，，求的值；
（2）已知等比数列为递增数列.若，且，求数列的公比.
【答案】（1）；（2）2。
【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出，可得；
（2）根据等比数列的通项公式求出或，再根据等比数列为递增数列，且，可得。
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由，得，
解得，∴，∴，∴。
（2）由，得，
易知，所以，即，
解得或。
因为等比数列为递增数列，且，所以，所以。专题四 数列
思维导图
1.2 知识点识记
1、数列概念
（1）数列中“数”具有顺序性；
（2）数列中项与序号一一对应；
（3）
2、通项公式
定义：数列第n项与序号n之间的函数关系式，即表示；
根据数列通项公式,可以求解出数列的任意一项；
数列的通项公式不具有唯一性；
不是所有的数列都有通项公式。
3、等差数列与等比数列
等差数列 等比数列
定义 从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数，则此数列为等差数列 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一常数，则此数列为等比数列
一般形式
通项公式
前n项和公式
中项
性质
4、数列的前n项和Sn与数列第n项an的关系：。
1.2.2 基础知识测试
1、数列的通项公式是an=4n-1,则a6等于（）
A. 21 B. 22
C. 23 D. 24
2、。
A. 1，4，9 B. 2，4，9
C. 2，6，11 D. 2，1，4
3、
A. B.
C. D.
4、已知等差数列{an}中，a1=1，d=3，那么当an=298时，项数n等于（ ）
A.98 B.99
C.100 D.101
5、在等差数列{an}中，已知a2+a4=16,则a3=（）。
A. 4 B.8
C. 16 D.32
设{an}是等比数列,若a2=3,a4=6,则a6的值是 (　　)
9 B. 12
C. 16 D. 36
设{an}是等比数列,且a1+a2+a3=4,a4+a5+a6=12,则a7+a8+a9=（）。
20 B. 36
C. 15 D. 18
已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则该数列的通项公式an＝ 。
。
10、在等比数列{an}中，a2＝4，a4＝16，则前8项的和等于 。
1.2.3 职教高考考点直击
数列部分在职教高考中为常见考点，分值在10分左右，考频较高，常以选择题、解答题形式考查，与指数函数、对数函数等知识结合出现，题型难度适中。复习中加强等差、等比数列性质、通项公式、前n项和公式及应用的练习。
1.2.4 高考经典例题剖析
例1 （2018年山东春季高考）（）。
A. 0 B. -1
C. -2 D. -3
变式1 。
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
例2（2019年山东春季高考）若等差数列{an}前7项和为70，则a1+a7等于（）。
5 B. 10
C. 15 D. 20
例3若等差数列的{an}前7项和为70 ，则a3+a5等于（）。
A.5 B. 10
C. 15 D. 20
变式2 。
26 B. 100
C. 126 D. 155
第二项a2;
通项公式an.
变式3 在等差数列{an}中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n为何值时，Sn取得最大值？并求出最大值.
例5（2015年山东春季高考）在等比数列{an}中，已知a2=1，a4=3，则a6的值为（）。
A.-5 B. 5
C. -9 D. 9
变式4已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于(　　)
A.-10 B. -8
C. -6 D. -4
变式5
求数列{an}的通项公式；
若数列{bn}满足bn=an+n,求{bn}的前n项和Sn.
例6、(2019年山东春季高考)某城市2018年年底人口总数为50万，绿化面积为35万平方米，假定今后每年人口总数比上一年增加1.5万，每年新增绿化面积是上一年年底绿化面积的5%，并且每年均损失0.1万平方米的绿化面积(不考虑其他因素)。
(1)到哪一年年底，该城市人口总数达到60万(精确到1年)
(2)假如在人口总数达到60万并保持平稳、不增不减的情况下，到哪一年年底，该城市人均绿化面积达到0.9平方米(精确到1年)
1.2.5 考点巩固练习
一、选择题
1、有下列说法：
①数列1，3，5，7可表示为{1，3，5，7}；
②数列1，3，5，7与数列7，5，3，1是同一数列；
③数列1，3，5，7与数列1，3，5，7，是同一数列；
④数列0，1，0，1，是常数列．
其中说法正确的有（ ）
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
2、若lga，lgb，lgc 三个数成等差数列,则(　　)
A. B．
C． D．
3、若x,a,2x,b成等差数列,则a∶b=（）。
A． B．
C． D．
4、《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》，是屮国古代数学名著，程大位著.书中有如下问题：“今有五人均银四十两，甲得十两四钱，戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干？”意思是：有5人分40两银子，甲分10两4钱，戊分5两6钱，且相邻两项差相等，则乙丙丁各分几两几钱？（注：1两等于10钱）（ ）
A．乙分8两，丙分8两，丁分8两
B．乙分8两2钱，丙分8两，丁分7两8钱
C．乙分9两2钱，丙分8两，丁分6两8钱
D．乙分9两，丙分8两，丁分7两
5、在等比数列{an}中,已知a1=1,q=2,则第5项至第10项的和为（　　）。
A．63 B．992
C．1023 D．1008
6、等比数列{an}的前3项和等于首项的3倍，则该等比数列的公比等于(　　)。
A．-2 B．1
C．-2或1 D．2或-1
7、记为数列的前项和，若，，且，则的值为（ ）
A．5050 B．2600
C．2550 D．2450
8、在等比数列{an}中,a1+a2=10，a3+a4=40,则a5+a6等于（）。
A.160 B. ±160
C. 70 D. ±70
9、在等差数列{an}中，公差d≠0，Sn为数列{an}的前n项和，满足S1，S2，S4成等比数列，则 等于（）。
A．4 B．6
C．8 D．10
10、在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝15，an＋an－1＋an－2＝78，Sn＝155，则n等于（ ）。
A．12 B．11
C．10 D．9
11、。
A. 100 B. 200
C. 300 D. 400
12、已知是一个等比数列的前项，那么第项为（）
A． B．
C． D．
二、填空题
13、在等比数列{an}中，若an＞0，a4a6＋2a5a7＋a6a8＝64，则a5，a7的等差中项等于 。
14、已知是等差数列，是等比数列，且 ，. 则数列的前n项和为______________。
15、 。
16、在-5与16之间加入n个数，使这n+2个数构成和为88的等差数列，则公差的值为__________。
17、已知三个数成等比数列，其积为512，若第一个数与第三个数各减去2之后新的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于__________。
三、解答题
18、(2017年山东春季高考)某职业学校的王亮同学到一家贸易公司实习，恰逢该公司要通过海运出口一批货物，王亮同学随公司负责人到保险公司洽谈货物运输期间的投保事宜．保险公司提供了交纳保险费的两种方案：
①一次性交纳50万元，可享受9折优惠；
②按照航行天数交纳：第一天交纳0.5元，从第二天起每天交纳的金额都是其前一天的2倍，共需交纳20天。
请通过计算，帮助王亮同学判断哪种方案交纳的保费较低。
19、（1）已知等比数列满足，，求的值；
（2）已知等比数列为递增数列.若，且，求数列的公比.

展开更多......

收起↑