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专题五 平面向量
思维导图
1.2 知识点识记
1、概念
（1）向量：既有大小又有方向的量；表示方法：有向线段（或a）；三要素：起点、方向、长度（模记作）；
注：零向量：长度为0的向量，记作0或；单位向量：长度为1的向量；
相等向量：长度相等，方向相同的向量，记作a=b；
相反向量：长度相等，方向相反的向量，记作-a；
平行向量：方向相同或相反的非零向量；注：向量a与向量b共线a与b方向相同或相反，或有一个为零向量；
2、向量加法
三角形法则：已知向量则向量；
（2）对于零向量与任一向量a，有a+0=0+a=a；
（3）交换律与结合律
a+b=b+a；
（a+b）+c=a+（b+c）。
平行四边形法则：
；
注：平行四边形法则不适用于共线向量求和。
向量减法
a+b=a+（- b）；
；
数乘向量
；
（5）两非零向量平行（共线）充要条件为有且只有一个实数即
向量的直角坐标运算
定义： 的
坐标；记作；注：平面内的向量与有序实数对（点的坐标）一一对应。
运算：；
；
；
④；
⑤；
⑥；
⑦。
距离公式：;
中点公式：。
向量内积
；注：由定义知向量的内积为一个实数。
相关性质
；
。
运算律
；
；
。
1.2.2 基础知识测试
1、
A. （2,0） B. （3,-1）
C. （3,0） D. （3,1）
〖解析〗B。由向量线性运算性质可知：
；故答案为B。
2、。
A. -6 B. -1
C. 1 D. 6
〖解析〗A。；故答案
为A。
3、
A. -2 B. -1
C. 2 D. 1
〖解析〗C。；故答案为C。
4、
A.5 B.
C.10 D.
〖解析〗A。；故答案为A。
5、。
A. B.
C. D.
〖解析〗B。由向量内积公式知：
；
故答案为B。
。
〖解析〗。由题意知。
。
〖解析〗。。
。
〖解析〗。；
。
。
〖解析〗矩形。
。
10、 。
〖解析〗。
。
1.2.3 职教高考考点直击
平面向量部分在职教高考中为常见考点，分值在10分左右，考频较高，常以选择题、填空题形式考查，题型难度适中。复习中加强练习向量加减法、数乘、数量积运算，向量的直角坐标运算、向量间平行、垂直及向量与三角函数结合等知识点为主要考查点。
1.2.4 高考经典例题剖析
例1 （2014年山东春季高考）（）。
A. B.
C. D.
〖解析〗B。 ；；故答案为B。
〖点评〗考查利用向量线性运算中数乘向量运算及指数与对数函数的互化问题。
变式1 设a，b是两非零且不共线向量，若ka＋b与12a＋kb共线，则实数k等于(）。
A. B.
C. D. 6
〖解析〗C。 ； ；故答案为C。
例2（2015年山东春季高考） （）。
A. B.
C. D.
〖解析〗D。；
；
；所以答案D。
〖点评〗考查向量模运算结合对数函数知识的灵活运用。
变式2 若x轴上一点A与点B(3，12)的距离等于13，则点A的坐标是（　）。
（-2,0）或 （5,0） B. （8,9）或（10,0）
C. （-2,0）或 （8,0） D. （0,0）或（1,0）
〖解析〗C。；；故答案为C。
例3在△ABC中，已知点G为△ABC的重心，点O为平面内任意一点．试用。
〖解析〗
；
;
。
〖点评〗考查等差数列前n项和公式及性质的结合运用。
变式3 （　）。
A.（-2,1） B.（2,1）
C. （-1,-2） D.（1,2）
〖解析〗C。；；
；故答案为C。
A. 4 B.
C. 6 D.
〖解析〗C。解在菱形ABCD中，∵∠DAB=60°，∴∠DAC=∠CAB=30°,∠ABC=120°;
又因为菱形ABCD边长为2，所以△ABC中正弦定理得：
;
∴。
故答案为C。
〖点评〗综合考查正弦定理结合向量内积解题方法。
变式4
〖解析〗；
；
。
例5（2014年山东春季高考）
求实数m的值；
若x∈[0,π/2）且f(x)=1,求x的值。
〖解析〗解（1），；
；
。
；
。
〖点评〗综合考查向量和三角函数结合求解的应用。
1.2.5 考点巩固提升
一、选择题
1、（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B。根据向量加法运算法则可求得。
如图所示，向量，的坐标分别是（ ）
-3，2 B．-3，4
C．2，-2 D．2，2
【答案】C。由数轴上向量的坐标的定义可知,,所以向量，的坐标分别是2，-2。故选：C。
3、已知为单位向量，且，，则（ ）
A．3 B．5
C．10 D．14
【答案】D。转化为平面向量的数量积可求出结果。因为为单位向量，所以，
。
故选：D。
4、a∥b的充要条件是 (　　)
A.存在唯一实数λ,使a=λb B.存在正实数λ,使a=λb
C.存在负实数λ,使a=λb D.存在实数λ,使a=λb
【答案】D。根据向量平行判断定理可知，a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb；故答案为D。
5、设数轴上两点A、B的坐标分别为x1,x2,且x2=-5,||=2,则x1=（　　）。
A．-3 B．-7
C．-3或-7 D．3或 7
【答案】C。；故答案为C。
6、已知a= e1+2e2，b=2e1-e2，则向量a+2b与2a-b（ ）。
A.一定共线 B.一定不共线
C.仅当e1与e2共线时共线 D.仅当e1=e2时共线
〖解析〗C。 由题意可知：a+2b= e1+2e2+2（2e1-e2）=e1+2e2+4e1-2e2=5e1；
2a-b=2（ e1+2e2）-（2e1-e2）=2e1+4e2-2e1-e2=3e2；
∴仅当e1与e2共线时共线；
故答案为C。
7、设D，E，F分别为的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】C。利用向量的线性运算和中点的向量表示进行计算，即得结果。如图：
＋＝＋＋＋＝＋
＝＋＝.
故选：C。
8、（2020年山东春季高考）已知点A（4，3），B（-4，2），点P在函数y=x2-4x-3的图像的对称轴上，若，则在点P的坐标是（）。
A.（2，-6）或 （2，1） B. （-2，-6）或 （-2，1）
C. （2，6）或 （2，-1） D. （-2，6）或 （-2，-1）
〖解析〗C。
；
；
。故答案为C。
9、（2016年山东春季高考）在平行四边形OABC，点A（1，-2），C（3，1），则向量坐标是（）。
A．（4，-1） B．（4，1）
C．（1，-4） D．（1，4）
【答案】A。由题意得到：
故选A。
10、已知，，，则向量与的夹角为（ ）。
A． B．
C． D．
【答案】D。根据数量积的定义计算。设向量与的夹角为，则
；
∵，∴；
故选：D。
11、已知向量满足，，则
A．4 B．3
C．2 D．0
【答案】B。根据向量模的性质以及向量乘法得结果。
因为
所以选B。
【点睛】向量加减乘： 。
二、填空题
12、如图,已知一点O到平行四边形三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c,则,用a、b、c表示= 。
〖解析〗。。
13、已知是直线l上的一个单位向量，则直线l上的向量，的坐标分别是___________。
【答案】，由直线上线向量的坐标的定义可得答案。由直线上线向量的坐标的定义知，
，的坐标分别是，；
故答案为：，。
14、 。
〖解析〗60° 。由题意知：；
；
解得=60°。
15、四边形中，，且，是单位向量，则四边形是_________。
【答案】菱形。由知四边形是平行四边形，又，可知四边形是菱形。由可知四边形是平行四边形，
又，是单位向量，所以，所以四边形是菱形；
故答案为：菱形。
三、解答题
18、已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，分别求a·b，|a|，|b|，的值。
【详解】解：（1）；
（2） ；
（3）；
又∵∈[0，π]；
∴=。
已知，且与平行，求实数k的值。
【答案】。求出与的坐标，由向量平行的坐标表示求解。
，
.
∴由，得，。
【点睛】本题考查平面向量共线的坐标表示，属于基础题。专题五 平面向量
思维导图
1.2 知识点识记
1、概念
（1）向量：既有大小又有方向的量；表示方法：有向线段（或a）；三要素：起点、方向、长度（模记作）；
注：零向量：长度为0的向量，记作0或；单位向量：长度为1的向量；
相等向量：长度相等，方向相同的向量，记作a=b；
相反向量：长度相等，方向相反的向量，记作-a；
平行向量：方向相同或相反的非零向量；注：向量a与向量b共线a与b方向相同或相反，或有一个为零向量；
2、向量加法
三角形法则：已知向量则向量；
（2）对于零向量与任一向量a，有a+0=0+a=a；
（3）交换律与结合律
a+b=b+a；
（a+b）+c=a+（b+c）。
平行四边形法则：
；
注：平行四边形法则不适用于共线向量求和。
向量减法
a+b=a+（- b）；
；
数乘向量
；
（5）两非零向量平行（共线）充要条件为有且只有一个实数即
向量的直角坐标运算
定义： 的
坐标；记作；
注：平面内的向量与有序实数对（点的坐标）一一对应。
运算：；
；
；
④；
⑤；
⑥；
⑦。
距离公式：;
中点公式： 。
向量内积
；注：由定义知向量的内积为一个实数。
相关性质
；
。
运算律
；
；
。
1.2.2 基础知识测试
1、
A. （2,0） B. （3,-1）
C. （3,0） D. （3,1）
2、。
A. -6 B. -1
C. 1 D. 6
3、
A. -2 B. -1
C. 2 D. 1
4、
A.5 B.
C.10 D.
5、。
A. B.
C. D.
。
。
。
。
10、 。
1.2.3 职教高考考点直击
平面向量部分在职教高考中为常见考点，分值在10分左右，考频较高，常以选择题、填空题形式考查，题型难度适中。复习中加强练习向量加减法、数乘、数量积运算，向量的直角坐标运算、向量间平行、垂直及向量与三角函数结合等知识点为主要考查点。
1.2.4 高考经典例题剖析
例1 （2014年山东春季高考）（）。
A. B.
C. D.
变式1 设a，b是两非零且不共线向量，若ka＋b与12a＋kb共线，则实数k等于(）。
A. B.
C. D. 6
例2（2015年山东春季高考） （）。
A. B.
C. D.
变式2 若x轴上一点A与点B(3，12)的距离等于13，则点A的坐标是（　）。
（-2,0）或 （5,0） B. （8,9）或（10,0）
C. （-2,0）或 （8,0） D. （0,0）或（1,0）
例3在△ABC中，已知点G为△ABC的重心，点O为平面内任意一点．试用。
变式3 （　）。
A.（-2,1） B.（2,1）
C. （-1,-2） D.（1,2）
A. 4 B.
C. 6 D.
变式4
例5（2014年山东春季高考）
求实数m的值；
若x∈[0,π/2）且f(x)=1,求x的值。
1.2.5 考点巩固提升
一、选择题
1、（ ）
A． B．
C． D．
如图所示，向量，的坐标分别是（ ）
-3，2 B．-3，4
C．2，-2 D．2，2
3、已知为单位向量，且，，则（ ）
A．3 B．5
C．10 D．14
4、a∥b的充要条件是 (　　)
A.存在唯一实数λ,使a=λb B.存在正实数λ,使a=λb
C.存在负实数λ,使a=λb D.存在实数λ,使a=λb
5、设数轴上两点A、B的坐标分别为x1,x2,且x2=-5,||=2,则x1=（　　）。
A．-3 B．-7
C．-3或-7 D．3或 7
6、已知a= e1+2e2，b=2e1-e2，则向量a+2b与2a-b（ ）。
A.一定共线 B.一定不共线
C.仅当e1与e2共线时共线 D.仅当e1=e2时共线
7、设D，E，F分别为的三边BC，CA，AB的中点，则＋等于（ ）。
A． B．
C． D．
8、（2020年山东春季高考）已知点A（4，3），B（-4，2），点P在函数y=x2-4x-3的图像的对称轴上，若，则在点P的坐标是（）。
A.（2，-6）或 （2，1） B. （-2，-6）或 （-2，1）
C. （2，6）或 （2，-1） D. （-2，6）或 （-2，-1）
9、（2016年山东春季高考）在平行四边形OABC，点A（1，-2），C（3，1），则向量坐标是（）。
A．（4，-1） B．（4，1）
C．（1，-4） D．（1，4）
10、已知，，，则向量与的夹角为（ ）。
A． B．
C． D．
11、已知向量满足，，则
A．4 B．3
C．2 D．0
二、填空题
12、如图,已知一点O到平行四边形三个顶点A、B、C的向量分别为a、b、c,则,用a、b、c表示= 。
13、已知是直线l上的一个单位向量，则直线l上的向量，的坐标分别是___________。
14、 。
15、四边形中，，且，是单位向量，则四边形是_________。
三、解答题
18、已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，分别求a·b，|a|，|b|，的值。
19、已知，且与平行，求实数k的值。

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