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专题六（二） 解三角形
思维导图
知识点识记
1、正弦函数及余弦函数
定义域 R
值域 [-1,1]
周期性 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性
图像
2、函数最值
。
3、正弦定理
定义：在任何一个三角形中，各边长和它所对的角的正弦的比值相等。即：.
余弦定理
定义：三角形任何一边长的平方等于其他两边长的平方和减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的2倍；即。
1.2.2 基础知识测试
1、已知tanα，tanβ是方程x2－4x＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)＝( )
A. -2 B. -3
C. -4 D. 4
〖解析〗C。由韦达定理可知：；又因为
；故答案为C。
2、已知△ABC的面积为，且是 (　　)。
A.30° B.60°
C.60°或120° D.30°或150°
〖解析〗C。；解得∠A=60°或∠A=120°，答案为C。
3、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，则△ABC的周长为 (　　)
A.7.5 B.7
C.6 D.5
〖解析〗D。∵，∴由余弦定理可得；
整理可得，解得；
则△ABC的周长为；故答案为D。
4、已知△ABC的三边长分别为a=10，b=5，c=9，则此三角形为 (　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.无法判断三角形形状
〖解析〗A。且a＞b＞c，即此三角形为锐角三角形，故答案为A。
5、在△ABC中， 。
〖解析〗。△ABC中，
；即；故答案为A。
。
〖解析〗。由题意知 ；
；
∴；故答案为。
在锐角△ABC中， 。
〖解析〗30°。由题意知 ；
又∵△ABC为锐角三角形；∴∠B=30°。
。
〖解析〗120°。；
∴；解得∠A=120°。
1.2.3 职教高考考点直击
三角知识部分在职教高考中为常见考点，分值在20分左右，考频较高，常以选择题、填空题或解答题形式考查，题型难度适中。复习中加强练习任意角的三角函数值、同角三角函数的基本关系、和角公式、倍角公式、诱导公式部分知识点，正弦函数及余弦函数的图像及性质部分常以解答题的形式出现，也是高考的本部分知识的重难点。
1.2.4 高考经典例题剖析
例1 已知（）。
A. B.
C. D.
〖解析〗B。因为角A,B,C成等差数列，所以∠B=60°；余弦定理可知：；故答案为B。
变式1 已知（）。
A. B.
C. D.
〖解析〗D。 ；
；故答案为D。
例2（2014年山东春季高考） 已知在三角形ABC中，，则三角形ABC的面积是 。
〖解析〗。由正弦定理可知，；
根据三角形面积公式得出：；所以答案。
〖点评〗考查正弦定理与三角形面积公式的结合运用。
变式2 设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,，则 ∠B等于（）。
A. B.
C. D.
〖解析〗A。；
由已知得；
即；
∴∠B为锐角，且∠B=30°；故答案为A。
例3 （2018年山东春季高考）如图所示，在△ABC中，BC=7，2AB=3AC,点P在BC上，且∠BAP=∠PAC=30°，求线段AP的长。
〖解析〗。
；
；
；
由正弦定理得出：。
〖点评〗考查同名三角函数间的关系及正余弦定理的结合应用。
变式3 如图所示，为了计算一河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离．(假设在同一平面内)。
〖解析〗设BD＝x，在△ABD中，
∵AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，
由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD×BD×cos∠BDA，
即1402＝1002＋x2－2×100x cos60°，
即x2－100x－9 600＝0，
解之得x1＝160，x2＝－60(舍去)，
∴BD＝160，又AD⊥CD，∠BCD＝135°，
∴∠CDB＝30°，在△BCD中，有正弦定理得出：
;
故两景点B，C间的距离为m。
1.2.5 考点巩固提升
一、选择题
1、（2015年春季高考）已知向量下等于（ ）
A． B．
C．1 D．0
【答案】A。①终边相同的；故答案为A。
2、若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C。由正弦定理可知：；故选C。
3、在等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A。；、；故选：A。
4、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B。由b2＝ac，又c＝2a，得，
由余弦定理，；故选：B。
5、若（）
A． B．
C． D．与a相关
【答案】B。由题意知：；
；
；
；
故选：B。
二、填空题
6、在△ABC中，，则的值为______。
【答案】。因为在△ABC中，；
由正弦定理得，设；
由余弦定理得；故答案为：。
7、在△ABC中，，则 。
【答案】。 ；
根据正弦定理：。
8、三角形的两边长分别为5和3，他们夹角的余弦是方程的两根，则其另一边长为 。
〖解析〗。由韦达定理知：方程的两根分别为；由余弦定理求解得另一边长为。
9、在△ABC中，，，，则_____。
【答案】5。由余弦定理得，代入得出；
整理得；
解得或（舍）；
故，故答案为:5。
三、简答题
10、（2016年山东春季高考）如图所示，要测量河两岸P,Q两点间的距离，在点P的同侧岸边选取两点A,B，（A，B，C，D在同一平面内），并测得AP=20m，BP=10m,∠APB=60°，∠PAQ=105°，∠PBQ=135°，,求：P,Q两点间的距离。
【详解】
解：如图所示，连接AB，在△ABP中，由余弦定理得：
∵；
∴；
∵；
∴∠ABP=90°，∠BAP=30°；解得∠QAB=75°，∠QBA=45°；
在△ABQ中，∠AQB=60°；
由正弦定理；
在△APQ中，由余弦定理得：
；
所以。专题六（二） 解三角形
思维导图
知识点识记
1、正弦函数及余弦函数
定义域 R
值域 [-1,1]
周期性 2π
奇偶性 奇函数 偶函数
单调性
图像
2、函数最值
。
3、正弦定理
定义：在任何一个三角形中，各边长和它所对的角的正弦的比值相等。即：.
余弦定理
定义：三角形任何一边长的平方等于其他两边长的平方和减去这两边的长与它们的夹角的余弦乘积的2倍；即。
1.2.2 基础知识测试
1、已知tanα，tanβ是方程x2－4x＋2＝0的两个根，则tan(α＋β)＝( )
A. -2 B. -3
C. -4 D. 4
2、已知△ABC的面积为，且是 (　　)。
A.30° B.60°
C.60°或120° D.30°或150°
3、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为，，，若，，则△ABC的周长为 (　　)
A.7.5 B.7
C.6 D.5
4、已知△ABC的三边长分别为a=10，b=5，c=9，则此三角形为 (　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.无法判断三角形形状
5、在△ABC中， 。
。
在锐角△ABC中， 。
。
1.2.3 职教高考考点直击
三角知识部分在职教高考中为常见考点，分值在20分左右，考频较高，常以选择题、填空题或解答题形式考查，题型难度适中。复习中加强练习任意角的三角函数值、同角三角函数的基本关系、和角公式、倍角公式、诱导公式部分知识点，正弦函数及余弦函数的图像及性质部分常以解答题的形式出现，也是高考的本部分知识的重难点。
1.2.4 高考经典例题剖析
例1 已知（）。
A. B.
C. D.
变式1 已知（）。
A. B.
C. D.
例2（2014年山东春季高考） 已知在三角形ABC中，，则三角形ABC的面积是 。
变式2 设△ABC的内角A,B,C所对边分别为a,b,c,，则 ∠B等于（）。
A. B.
C. D.
例3 （2018年山东春季高考）如图所示，在△ABC中，BC=7，2AB=3AC,点P在BC上，且∠BAP=∠PAC=30°，求线段AP的长。
变式3 如图所示，为了计算一河岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝100 m，AB＝140 m，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离．(假设在同一平面内)。
1.2.5 考点巩固提升
一、选择题
1、（2015年春季高考）已知向量下等于（ ）
A． B．
C．1 D．0
2、若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为(　　)
A． B．
C． D．
3、在等式是（ ）
A． B．
C． D．
4、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B＝（ ）
A． B．
C． D．
5、若（）
A． B．
C． D．与a相关
二、填空题
6、在△ABC中，，则的值为______。
7、在△ABC中，，则 。
8、三角形的两边长分别为5和3，他们夹角的余弦是方程的两根，则其另一边长为 。
9、在△ABC中，，，，则_____。
三、简答题
10、（2016年山东春季高考）如图所示，要测量河两岸P,Q两点间的距离，在点P的同侧岸边选取两点A,B，（A，B，C，D在同一平面内），并测得AP=20m，BP=10m,∠APB=60°，∠PAQ=105°，∠PBQ=135°，,求：P,Q两点间的距离。

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