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专题九 概率与统计初步
思维导图
知识点识记
排列与组合
排列数公式：
一般地，有如下公式：，（或）这个公式称为排列数公式。
n的阶乘：
在排列公式中，当n=m时，即全排列的排列数等于正整数n到1的乘积，这个乘积称为n的阶乘，用n！
表示，；
组合与组合数公式
；
；
；
；
；
。
二项式定理
（1）类似地，(a+b)n也可以按选用b的个数分类展开，可得
;
（2）通项公式
。
（3）性质
样本估计总体
方差：；
标准差：。
1.2.2 基础知识测试
1、从6名男运动员和5名女运动员中选出4名组成代表队，男女各2名的选法有　　　种。
〖解析〗150。由于要求男女各半,所以分两步完成:
第一步:从6名男运动员中选2人，有种选法；
第二步:从5名女运动员中选2人，有种选法；
由分步计数原理得，共有=15×10=150种。
2、下列事件中，　　　是必然事件，　　　是不可能事件,　　　是随机事件。
(1)买一张彩票中奖；
(2)种子播种到田里不发芽；
(3)同性电荷相互排斥；
(4)掷两颗骰子出现点数之和为20。
〖解析〗(3)是必然事件，(4)是不可能事件，(1)(2)是随机事件；答案为A。
3、3名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种。
〖解析〗34。
4、抛掷三枚质地均匀的硬币，恰有两枚正面向上的概率是 。
〖解析〗。分步计算：。
5、从装有4个红球、3个白球的盒中任意取出两个球，则取出的两球颜色相同的概率是 ；
〖解析〗。提示：。
6、下列现象不是随机现象的是(　　)
A.掷一枚硬币着地时正面朝上 B.明天下雨
C.三角形的内角和为180° D.买一张福利彩票中奖
〖解析〗C。三角形的内角和为180°为定理，即必然事件。
从1，2，3，4，5五个数中任取一个数，则这个数是奇数的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
〖解析〗C。提示：。
一个小组有3个男生，3个女生，从中选3名代表，3名代表中至少有1名女生的选法有　　　种。
A.9 B.19
C.27 D.81
〖解析〗B。本题可从相反面解答，3名代表中全部都是男生的选法有，本次选择方法共有；故至少有1名女生的选法为。
在(1－2x)8的二项展开式中，二项式系数最大的项的系数是________。
A.70 B.1120
C.-1120 D.560
〖解析〗B。由题意知，此二项式系数最大的项为其中间项，所以其系数为。
已知二项式的展开式的第6项是常数项，则n的值是（）
A.5 B.8
C.10 D.15
〖解析〗D。由题意知，
；
；故答案为D。
1.2.3 职教高考考点直击
概率与统计初步部分在职教高考中为常见考点，分值在12分左右，知识点较基础，考频较高，常以选择题、填空题或解答题形式考查，题型难度适中。复习中加强练习排列组合与概率结合及其实际应用、古典概率，加强统计相关概念的理解，此部分也是高考的提升成绩的关键环节。
1.2.4 高考经典例题剖析
例1 （2019年山东春季高考）现把甲、乙等6位同学排成一列，若甲同学不能排在前两位，且乙同学必须排在甲同学前面（相邻或不相邻均可），则不同排法的种数是（ ）。
A.360 B. 336
C.312 D. 240
〖解析〗B。按甲的位置，分四类：第1类，甲在第3位，乙有2种排法，另外4人有种排法，此时共有2×种不同的排法；
第2类，甲在第4位，乙有3种排法，另外4人有种排法，此时共有3×种不同的排法；
第3类，甲在第5位，乙有4种排法，另外4人有种排法，此时共有4×种不同的排法；
第4类，甲在第6位，乙有5种排法，另外4人有种排法，此时共有5×种不同的排法；
∴共有不同的排法（2+3+4+5）×=336种；故答案为B。
变式1 现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）。
A.12 B. 120
C.1440 D.17280
〖解析〗C。由题意知，不同安排方法的种数是；故答案为C。
例2（2017年山东春季高考）文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排成不同节目单的数量最多是（）。
A.72 B. 120
C. 144 D. 288
〖解析〗D。根据题意，分3种情况讨论：
①取出的4个节目都是歌舞类节目，有一种取法，将4个节目全排列，有种可能，即可以排出24个不同节目单；
②取出的4个节目有3个歌舞类节目，1个语言类节目，有种取法，将4个节目全排列，有种可能节目单；
③取出的4个节目有2个歌舞类节目，2个语言类节目，有种取法，将2个歌舞类节目全排列，排好后有3个空位，用插空法安排两个语言类节目，有种可能，则可以排出6×12＝72个不同节目单；
综上，一共可以排出24＋192＋72＝288个不同节目单；故答案为D。
例3 （2019年山东春季高考）箱子中放有6张黑色卡片和4张白色卡片，从中任取一张，恰好取到黑色卡片的概率是（）。
A. B.
C. D.
〖解析〗D。从箱子中6张黑色卡片和4张白色卡片中任取一张，共有不同的取法6＋4＝10(种)，∴样本空间中基本事件的总数为n＝10.从6张黑色卡片中任取一张，共有不同的取法为6(种)，则该事件中基本事件的总数为m＝6.∴恰好取到黑色卡片的概率。
变式2 （2014年山东春季高考）从5张不同的扑克牌中，每次任取一张，有放回的取两次，则两次取得同一张牌的概率是（）。
A. B.
C. D.
〖解析〗A。 从5张不同的扑克牌中，每次任取一张，有放回的取两次的基本事件总数是
n＝5×5＝25，其中两次取得同一张牌包含的基本事件个数m＝5，
∴两次取得同一张牌的概率是；故选A。
例4 （2019年山东春季高考）若有7名同学排成一排照相，恰好甲、乙两名同学相邻，并且丙、丁两名同学不相邻的概率是（）。
A. B.
C. D.
〖解析〗A。有7名同学排成一排照相，基本事件总数；恰好甲、乙两名同学相邻，并且丙、丁两名同学不相邻包含的基本事件个数 ；
∴恰好甲、乙两名同学相邻，并且丙、丁两名同学不相邻的概率是；故选A。
变式4 在6个不同元素进行全排列，若其中A,B两个元素必须排两端，且C,D两元素必须相邻，那么
排法钟数有（）。
A.12 B. 24
C. 360 D. 720
〖解析〗B。提示：。
例5 （2018年山东春季高考）某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是（）。
A. B.
C. D.
〖解析〗C。停车场8个车位随机停放3辆车，互不相邻的概率是；“至少有2辆汽车停放在相邻车位”是“3辆车互不相邻”的对立事件，所以至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是；故选C。
例6 （2018年山东春季高考）在(1＋x)n的二项展开式中，若所有项的系数之和为64，则第3项是（）。
A.15x3 B. 20x3
C. 15x2 D. 20x2
〖解析〗C。（1＋x）n的二项展开式中，若所有项的系数之和为2n=64，解得n=6；(1＋x)6的二项展开式中，；故选C。
变式5 （2020年山东春季高考）在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）。
A.56 B. -56
C. 70 D. -70
〖解析〗A。的二项展开式中，第4项的二次项系数为若所有项的系数之和为2n=64，解得n=6；(1＋x)6的二项展开式中，；故选A。
例7 （2013年山东春季高考）在(2x-1)5的二项展开式中x3的系数是（）。
A.-80 B. 80
C. -10 D. 10
〖解析〗B。(2x-1)5的二项展开式的通项公式；
；
∴(2x-1)5的二项展开式的x3的系数是；故选B。
例8 （2015年山东春季高考）(1－x)5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）。
A.0 B. -1
C. -32 D. 32
〖解析〗D。(1－x)5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是2n=25=32；故选D。
变式6 （2018年山东春季高考）在(x－2y)5的展开式中，所有项的系数之和等于（）。
A.32 B. -32
C. 1 D. -1
〖解析〗D。令x＝y＝1，则所有项的系数之和等于(1－2)5＝－1；故选D。
例9 （2013年山东春季高考）某射击运动员射击5次，命中的环数为9，8，6，8，9，则这5个数据的方差为 。
〖解析〗1.2。。
变式7 某射击运动员射击5次，命中的环数为9，8，6，8，9，则这5个数据的标准差为 。
〖解析〗1.1。；
∴s≈1.1。
例10(2015年山东春季高考)计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1～500，并将编号进行分段，若从第一个号码段中随即抽出的号码是2，则从第五个号码段中抽出的号码应是________．
〖解析〗42。由题意知，分段间隔；
∵从第一个号码段中随即抽出的号码是2，
∴从第五个号码段中抽出的号码应是2＋10×4＝42。
1.2.5 考点巩固提升
一、选择题
1、已知x，y∈N，且x＋y≤3，则满足条件的有序实数对（x，y）的数量有（ ）
A．3 B．4
C．5 D．10
【答案】D。由题可得，当x＝0时，y＝0，1，2，3；当x＝1时，y＝0，1，2；当x＝2时，y＝0，1；当x＝3时，y＝0。∴由分类加法计数原理可得满足条件的有序实数对有4＋3＋2＋1＝10对；故答案为D。
在3，5，7，13四个数中任取两个数:
(1)做乘法，可以得出多少个不同的积
(2)做除法，可以得出多少个不同的商
下列结论正确的是 (　　)
A.(1)(2)都是排列问题 B.(1)(2)都是组合问题
C.(1)是排列问题,(2)是组合问题 D.(1)是组合问题,(2)是排列问题
【答案】D。提示：两数的乘积满足交换律，而两数的除法运算不满足；故选D。
3、(2015年山东春季高考)某值日小组共5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种数为（ ）。
A．12 B．20
C．60 D．100
【答案】C。先安排3名同学负责教室内的地面卫生：；再2名同学负责教室外的走廊卫生：
；故共有种数；注：此题为组合问题，不需进行排列计算；故选：C。
4、一个小组有6个男生，5个女生，从中选2名代表，2名代表中恰有1名男生，1名女生的选法有　　　种。
A．10 B．11
C．12 D．30
【答案】D。即分别从6名男生和5名女生中各选1名代表的方案：；故选：D。
5、现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（）。
A． B．
C． D．
【答案】B。所有老师全部进入同一个教室连接，共有2个教室选择进入；故选B。
6、在10件产品中有7件正品，3件次品，从这10件中任取3件，至少有一种次品的概率（）。
A． B．
C． D．
【答案】B。从这10件中任取3件，至少有一种次品的情况包括：恰有1件次品概率：；恰有2件次品概率：；恰有3件次品概率：；
∴此事件总概率；故答案为B。
7、在二项式的展开式中，x3项的系数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C。的二项展开式的通项公式：
；
；
∴的二项展开式的x3的系数是；故选C。
8、袋中装有6只乒乓球，其中4只是白球，2只是黄球，先后从袋中无放回地取出两球，则取到的两球都是白球的概率是( )。
A． B．
C． D．
【答案】A。第1次取出白球的概率为；第2次取出白球的概率为；
∴取到的两球都是白球的概率是;
∴；故答案为A。
在二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）
A．180 B．90
C．45 D．360
【答案】A。由题意知：n=10，设第m+1项为常数项，则 ；
；
∴此展开式中的常数项是；答案为A。
在(a＋b)19的二项展开式中，二项式系数最大的项是(　　)
A．第12项 B．第9项和第10项
C．第11项 D．第10项和第11项
【答案】D。(a＋b)19的二项展开式共有20项，∴第10项和第11项的二项式系数相等且最大；答案为D。
二、填空题
11、某毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条留言。
【答案】1560。每位同学需要写除自己之外的39名同学条留言，即全班共需要40×39=1560。
12、在（x+1）4的展开式中，x2的系数为 。
【答案】6。根据二项式展开式的通项公式：知，m=2；∴x2的系数为。
13、的二项展开式中，所有项的二项式系数和是128，则展开式的第三项是 。
〖解析〗。 由题意知：2n=128，∴n=7；根据二项式展开式的通项公式：
。
14、（2018年春季高考）在一批棉花中随机抽取了500根棉花纤维的长度（精确到1mm）作为样本，并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，样本中棉花纤维长度大于225mm的频数是 。
〖解析〗235。 频数为（0.0044+0.0050）×组距×500=235。
简答题
15、从4名男生和6名女生中选三人，组成三人暑期实践活动小组。问：
(1)共有多少种不同的选法？
(2)其中男生甲和女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？
(3)至少有一个男生参加的概率是多少？
解：（1） ；
（2） ；
（3）可从至少有一个男生参加的对立事件思考，即本次活动都是女生参加，其概率为；
∴至少有一个男生参加的概率为。
甲、乙两种水稻试验品连续五年的平均单位面积产量见下表：
试根据这组数据估计哪一个品种的水稻产量较稳定。
〖解析〗；
∴；
；
∴；
∵0.2＜0.244，即s2甲＜s2乙；
∴根据这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。专题九 概率与统计初步
思维导图
知识点识记
排列与组合
排列数公式：
一般地，有如下公式：，（或）这个公式称为排列数公式。
n的阶乘：
在排列公式中，当n=m时，即全排列的排列数等于正整数n到1的乘积，这个乘积称为n的阶乘，用n！
表示，；
组合与组合数公式
；
；
；
；
；
。
二项式定理
（1）类似地，(a+b)n也可以按选用b的个数分类展开，可得
;
（2）通项公式
。
（3）性质
样本估计总体
方差：；
标准差：。
1.2.2 基础知识测试
1、从6名男运动员和5名女运动员中选出4名组成代表队，男女各2名的选法有　　　种。
2、下列事件中，　　　是必然事件，　　　是不可能事件,　　　是随机事件。
(1)买一张彩票中奖；
(2)种子播种到田里不发芽；
(3)同性电荷相互排斥；
(4)掷两颗骰子出现点数之和为20。
3、3名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有________种。
4、抛掷三枚质地均匀的硬币，恰有两枚正面向上的概率是 。
5、从装有4个红球、3个白球的盒中任意取出两个球，则取出的两球颜色相同的概率是 ；
6、下列现象不是随机现象的是(　　)
A.掷一枚硬币着地时正面朝上 B.明天下雨
C.三角形的内角和为180° D.买一张福利彩票中奖
从1，2，3，4，5五个数中任取一个数，则这个数是奇数的概率是 (　　)
A. B.
C. D.
一个小组有3个男生，3个女生，从中选3名代表，3名代表中至少有1名女生的选法有　　　种。
A.9 B.19
C.27 D.81
在(1－2x)8的二项展开式中，二项式系数最大的项的系数是________。
A.70 B.1120
C.-1120 D.560
已知二项式的展开式的第6项是常数项，则n的值是（）
A.5 B.8
C.10 D.15
1.2.3 职教高考考点直击
概率与统计初步部分在职教高考中为常见考点，分值在12分左右，知识点较基础，考频较高，常以选择题、填空题或解答题形式考查，题型难度适中。复习中加强练习排列组合与概率结合及其实际应用、古典概率，加强统计相关概念的理解，此部分也是高考的提升成绩的关键环节。
1.2.4 高考经典例题剖析
例1 （2019年山东春季高考）现把甲、乙等6位同学排成一列，若甲同学不能排在前两位，且乙同学必须排在甲同学前面（相邻或不相邻均可），则不同排法的种数是（ ）。
A.360 B. 336
C.312 D. 240
变式1 现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（）。
A.12 B. 120
C.1440 D.17280
例2（2017年山东春季高考）文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排成不同节目单的数量最多是（）。
A.72 B. 120
C. 144 D. 288
例3 （2019年山东春季高考）箱子中放有6张黑色卡片和4张白色卡片，从中任取一张，恰好取到黑色卡片的概率是（）。
A. B.
C. D.
变式2 （2014年山东春季高考）从5张不同的扑克牌中，每次任取一张，有放回的取两次，则两次取得同一张牌的概率是（）。
A. B.
C. D.
例4 （2019年山东春季高考）若有7名同学排成一排照相，恰好甲、乙两名同学相邻，并且丙、丁两名同学不相邻的概率是（）。
A. B.
C. D.
变式4 在6个不同元素进行全排列，若其中A,B两个元素必须排两端，且C,D两元素必须相邻，那么
排法钟数有（）。
A.12 B. 24
C. 360 D. 720
例5 （2018年山东春季高考）某停车场只有并排的8个停车位，恰好全部空闲，现有3辆汽车依次驶入，并且随机停放在不同车位，则至少有2辆汽车停放在相邻车位的概率是（）。
A. B.
C. D.
例6 （2018年山东春季高考）在(1＋x)n的二项展开式中，若所有项的系数之和为64，则第3项是（）。
A.15x3 B. 20x3
C. 15x2 D. 20x2
变式5 （2020年山东春季高考）在的二项展开式中，第4项的二项式系数是（）。
A.56 B. -56
C. 70 D. -70
例7 （2013年山东春季高考）在(2x-1)5的二项展开式中x3的系数是（）。
A.-80 B. 80
C. -10 D. 10
例8 （2015年山东春季高考）(1－x)5的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（）。
A.0 B. -1
C. -32 D. 32
变式6 （2018年山东春季高考）在(x－2y)5的展开式中，所有项的系数之和等于（）。
A.32 B. -32
C. 1 D. -1
例9 （2013年山东春季高考）某射击运动员射击5次，命中的环数为9，8，6，8，9，则这5个数据的方差为 。
变式7 某射击运动员射击5次，命中的环数为9，8，6，8，9，则这5个数据的标准差为 。
例10(2015年山东春季高考)计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1～500，并将编号进行分段，若从第一个号码段中随即抽出的号码是2，则从第五个号码段中抽出的号码应是________．
1.2.5 考点巩固提升
一、选择题
1、已知x，y∈N，且x＋y≤3，则满足条件的有序实数对（x，y）的数量有（ ）
A．3 B．4
C．5 D．10
在3，5，7，13四个数中任取两个数:
(1)做乘法，可以得出多少个不同的积
(2)做除法，可以得出多少个不同的商
下列结论正确的是 (　　)
A.(1)(2)都是排列问题 B.(1)(2)都是组合问题
C.(1)是排列问题,(2)是组合问题 D.(1)是组合问题,(2)是排列问题
3、(2015年山东春季高考)某值日小组共5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种数为（ ）。
A．12 B．20
C．60 D．100
4、一个小组有6个男生，5个女生，从中选2名代表，2名代表中恰有1名男生，1名女生的选法有　　　种。
A．10 B．11
C．12 D．30
5、现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（）。
A． B．
C． D．
6、在10件产品中有7件正品，3件次品，从这10件中任取3件，至少有一种次品的概率（）。
A． B．
C． D．
7、在二项式的展开式中，x3项的系数为（ ）
A． B．
C． D．
8、袋中装有6只乒乓球，其中4只是白球，2只是黄球，先后从袋中无放回地取出两球，则取到的两球都是白球的概率是( )。
A． B．
C． D．
在二项式的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）
A．180 B．90
C．45 D．360
在(a＋b)19的二项展开式中，二项式系数最大的项是(　　)
A．第12项 B．第9项和第10项
C．第11项 D．第10项和第11项
二、填空题
11、某毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了 条留言。
12、在（x+1）4的展开式中，x2的系数为 。
13、的二项展开式中，所有项的二项式系数和是128，则展开式的第三项是 。
14、（2018年春季高考）在一批棉花中随机抽取了500根棉花纤维的长度（精确到1mm）作为样本，并绘制了如图所示的频率分布直方图，由图可知，样本中棉花纤维长度大于225mm的频数是 。
简答题
15、从4名男生和6名女生中选三人，组成三人暑期实践活动小组。问：
(1)共有多少种不同的选法？
(2)其中男生甲和女生乙必须参加，共有多少种不同的选法？
(3)至少有一个男生参加的概率是多少？
甲、乙两种水稻试验品连续五年的平均单位面积产量见下表：
试根据这组数据估计哪一个品种的水稻产量较稳定。

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