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1 探索勾股定理
【北师·数学八年级上册】
第1课时 勾股定理（1）
知识回顾
三角形
定义
角
边
直角
三角形
定义
角
边
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的平面图形。
三角形的内角和是 180°。
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
有一个角是 90°的三角形是直角三角形。
直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余的三角形是直角三角形。
？
新课导入
6 m
8 m
如图，从电线杆离地面 8 m 处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部 6 m，那么需要多长的钢索？
？
我们带着这个问题开始探究吧！
新知探索
（1）在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长度的平方之间有怎样的关系。与同伴进行交流。
（2）如图，直角三角形三边长度的平方分别是多少，它们满足上面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？与同伴进行交流。
A
B
C
A
B
C
（每个小正方形的边长均为 1）
A
B
C
A
B
C
左图 A 的面积
B 的面积
C 的面积
面积关系 边的关系 9
9
18
9 + 9 = 18
a
c
b
a2+b2=c2
（每个小正方形的边长均为 1）
A
B
C
A
B
C
右图 A 的面积
B 的面积
C 的面积
面积关系 边的关系 4
4
8
4 + 4 = 8
a
c
b
a2+b2=c2
（每个小正方形的边长均为 1）
A
B
C
B
C
（每个小正方形的边长均为 1）
对于右图中的直角三角形，是否还满足这样的关系？你又是如何计算的呢？
A
左图 A 的面积
B 的面积
C 的面积
面积关系 边的关系 16
9
25
16 + 9 = 25
A
B
C
B
A
C
a
c
b
a2+b2=c2
（每个小正方形的边长均为 1）
右图 A 的面积
B 的面积
C 的面积
面积关系 边的关系 1
9
10
1 + 9 = 10
A
B
C
B
C
a
c
b
a2+b2=c2
（每个小正方形的边长均为 1）
A
（3）如果直角三角形的两条直角边的长度分别为 1.6 和 2.4 ，那么上面所猜想的数量关系还成立吗？说说你的理由。
2.4
1.6
（每个小正方形的边长均为 1）
勾股定理
直角三角形两直角边长度的平方和等于斜边的平方。 如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两条直角边和斜边的长度，那么 a2 + b2 = c2。
图示
A
C
B
a
b
c
A
C
B
a
b
c
符号语言
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则 a2 + b2 = c2。
定理变式
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则 a2 = c2 - b2，b2 = c2-a2。
在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。我国古代把直角三角形中较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。
勾
股
此结论被称为“勾股定理”。
古希腊数学家毕达哥拉斯，在公元前5世纪给出了这个定理的证明，所以在国外这个定理也称为毕达哥拉斯定理，相传他证出这个定理后非常高兴，宰了一百头牛进行庆祝，于是也有人把它称为“百牛定理”。
6 m
8 m
？
现在你会求钢索的长度吗？
解：根据勾股定理，
得 82 + 62 = 100，
所以钢索的长度为 10 m。
随堂练习
【课本P3 随堂练习 第1题】
1. 求图中字母所代表的正方形的面积。
（1）
225
400
A
A = 225 + 400 = 625
（2）
225
B
81
B = 225 - 81 = 144
2.小明家买了一部 55 in 的电视机。小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有 121.5 cm 长和 68.5 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？
随堂练习
【课本P3 随堂练习 第2题】
1 英寸(in) = 2.54 厘米(cm)
55 (in) = 55×2.54 =139.7 (cm)
121.52 + 68.52 ≈ 139.72
售货员没有搞错。
电视尺寸对照表
题型一 直接利用勾股定理求线段长
如图，在 △ABC 中，AD⊥BC 于点 D，且 AC + AD = 32，BD = 5，CD = 16，求 AB 的长。
A
B
D
C
Rt△ACD
Rt△ABD
CD = 16，
AD = x，
AC = 32-x
BD = 5
求AD
求AB
题型一 直接利用勾股定理求线段长
解：因为 AD⊥BC，
所以∠ADC =∠ADB ＝ 90°。
由 AC + AD = 32，设 AD = x，则 AC = 32-x。
在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得 AD2 +CD2 = AC2，
即 x2 + 162 = (32-x)2，解得 x = 12，所以 AD = 12。
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AD2 + BD2 = AB2，
即 122 + 52 = 169 = AB2，所以 AB = 13。
练 习
如图，将长为 16 cm 的橡皮筋放置在数轴上，两端固定在点 A 和点 B 处，然后把中点 C 沿垂直于 AB 的方向拉升 6 cm 至点 D 处，则橡皮筋被拉长了______cm。
【解析】由题易知 AC = AB = ×16 = 8 (cm)，
CD = 6 cm。 在 Rt△ACD 中，由勾股定理，
得 AD2 = AC2 + CD2 = 82 + 62 = 100，
则 AD = 10 cm。 同理可得 BD = 10 cm。
所以 AD + BD-AB = 10+10-16 = 4 (cm)。
故橡皮筋被拉长了 4 cm。
1
2
1
2
4
题型二 先构造直角三角形再利用勾股定理解决问题
如图，在 △ABC 中，AB = 15，AC = 13，BC = 14，求△ABC 的面积。
思路分析
过点 A 作 AD⊥BC
AD2=AB2-BD2
AD2=AC2-CD2
求 AD
求 S△ABC
解：如图，过点 A 作 AD⊥BC 于点 D，
则∠ADB = ∠ADC = 90°。
设 BD = x，则 CD = BC-BD = 14-x。
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得
AD2 = AB2 - BD2 = 152-x2。
在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得
AD2 = AC2-CD2 = 132-(14-x)2。
所以152-x2 = 132-(14-x)2，
解得 x = 9，即 BD = 9。
所以 AD2 = AB2-BD2 = 152-92 = 144。
所以 AD = 12。
所以 S△ABC = BC·AD = ×14×12 = 84。
1
2
1
2
题型三 利用勾股定理解决折叠问题
如图，有一张直角三角形纸片，其中∠ACB = 90°，AB = 5，AC = 3。 现将△ABC 折叠，使点 C 落在 AB 边上的点 D 处，
折痕为 AE，则 CE 的长为（ ）
A. 1 B. 2 C.1.5 D. 2.5
C
解析：由折叠知 AD = AC = 3，
CE = DE，∠ADE = ∠ACE = 90°，
所以 BD = AB-AD = 2，
∠BDE = 180°-∠ADE = 90°。
在Rt△ABC 中，BC2 =AB2-AC2 = 52-32 = 16，
所以 BC = 4，所以 BE = 4-DE。
在Rt△BDE 中，BE2 = DE2 + BD2，
即 (4-DE)2 =DE2 + 22，解得 DE = 1.5，即 CE = 1.5。
练 习
如图，在 Rt△ABC中，AB = 9，BC = 6，∠B = 90°，将△ABC折叠，使点 A 与 BC 的中点 D 重合，折痕为 MN，则线段 BN 的长为（ ）
A. B. C.4 D.5
5
3
5
2
C
【解析】设 BN = x，则 DN = AN = AB-BN = 9-x。
因为 D 是 BC 的中点，BC = 6，所以 BD = 3。
在Rt△BDN 中，BN2 + BD2 = DN2，
即 x2 + 32 = (9- x)2，解得 x = 4。
所以线段 BN 的长为 4。
课堂小结
认识勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 如果用 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2。
利用勾股定理进行计算
课后作业
从课后习题中选取
完成练习册本课时的习题

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