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2.1直线的倾斜角与斜率题型总结
【题型1 求直线的倾斜角】
【例1】若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【变式1.1】已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【变式1.2】已知直线l经过两点，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【变式1.3】设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【题型2 求直线的斜率】
【例2】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【变式2.1】已知直线经过点，，则的斜率为（ ）
A． B．2 C． D．
【变式2.2】经过两点的直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．1
【变式2.3】斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距，均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】
【例3】如图，直线、、的斜率分别为、、，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3.1】已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式3.2】如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3.3】已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】
【例4】已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【变式4.1】若经过，两点的直线斜率为1，则实数（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【变式4.2】已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（ ）
A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1
【变式4.3】 经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型5 直线与线段的相交关系求斜率范围】
【例5】已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式5.1】已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5.2】已知直线过点，且与以和为端点的线段相交.
(1)求直线的斜率k的取值范围；(2)求直线的倾斜角的取值范围.
【变式5.3】已知坐标平面内三点，，.
(1)求直线AC的倾斜角；
(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.
【题型6 两条直线平行的判定及应用】
【例6】已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A．3 B． C．1或 D．或3
【变式6.1】已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（ ）
A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合
【变式6.2】设为实数，已知直线，，若，则（ ）
A．6 B． C．6或 D．或3
【变式6.3】已知，则直线与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【题型7 两条直线垂直的判定及应用】
【例7】已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【变式7.1】已知直线与垂直，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【变式7.2】 “”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式7.3】下列哪条直线与直线垂直（ ）
A． B． C． D．
【题型8 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】
【例8】已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式8.1】已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式8.2】在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .

【变式8.3】如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.

2.1直线的倾斜角与斜率题型总结答案
【题型1 求直线的倾斜角】
【例1】若一条直线经过两点和，则该直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出直线的斜率，进而求出直线的倾斜角.
【解答过程】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，
故，解得.
故该直线的倾斜角为.
故选：D.
【变式1.1】已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】求出直线的斜率，即得直线的倾斜角.
【解答过程】由，可得直线的斜率为，
故直线的倾斜角为.
故选：B.
【变式1.2】已知直线l经过两点，则直线l的倾斜角为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用经过两点的斜率公式与，即可求得结果.
【解答过程】直线l经过两点，所以，
又倾斜角的取值范围为，所以.
故选：D.
【变式1.3】设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出直线的斜率范围，从而得到，得到答案.
【解答过程】直线的斜率为，
故，
又，故.
故选：D.
【题型2 求直线的斜率】
【例2】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据即可求解出斜率．
【解答过程】直线的斜率为，
故选：C．
【变式2.1】已知直线经过点，，则的斜率为（ ）
A． B．2 C． D．
【解题思路】利用斜率公式求解.
【解答过程】解：直线的斜率．
故选：C.
【变式2.2】经过两点的直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．1
【解题思路】由斜率计算公式即可求解；
【解答过程】由，
可得，
故选：C.
【变式2.3】斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致.如图，一座斜拉桥共有10对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距，均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案.
【解答过程】解：，
故，，
则，
故选：D.
【题型3 斜率与倾斜角的变化关系】
【例3】如图，直线、、的斜率分别为、、，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可.
【解答过程】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知，
所以，即.
故选：A.
【变式3.1】已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解.
【解答过程】设的倾斜角为，则，且，
如图，由正切函数的性质知.
故选：C.
【变式3.2】如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】应用斜率与倾斜角的关系即可判断．
【解答过程】由，结合的函数图象，
直线对应的倾斜角为钝角，则，
直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角，
则，故．
故选：B.
【变式3.3】已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据正切函数单调性得到斜率的取值范围.
【解答过程】函数在上单调递增，
又，，
故的取值范围是.
故选：C.
【题型4 已知直线的倾斜角或斜率求参数】
【例4】已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】利用两点的斜率公式及直线的斜率定义即可求解.
【解答过程】由题，直线的斜率为，又，
.
故选：B.
【变式4.1】若经过，两点的直线斜率为1，则实数（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【解题思路】根据斜率公式结合已知斜率可求实数.
【解答过程】过，两点的直线斜率为，
所以，解得，．
故选：B．
【变式4.2】已知点，直线的倾斜角为，若，则的值为（ ）
A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1
【解题思路】根据条件得到直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系计算可得结果.
【解答过程】由得，或．
当时，，解得；
当时，，解得．
综上，的值为3或．
故选：C.
【变式4.3】 经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意列出相应的不等式，即可得答案.
【解答过程】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角，
可知 ，且 ，
解得 ，即实数m的范围是，
故选：C.
【题型5 直线与线段的相交关系求斜率范围】
【例5】已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可.
【解答过程】由题设，，如下图示，所以．
故选：D.
【变式5.1】已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案.
【解答过程】由题意作图如下：
设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，
由图可知，
由，，，则，，
所以.
故选：B.
【变式5.2】已知直线过点，且与以和为端点的线段相交.
(1)求直线的斜率k的取值范围；
(2)求直线的倾斜角的取值范围.
【解题思路】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围；
（2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围．
【解答过程】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图：
，
直线过点，且与以和为端点的线段相交.
所以直线的斜率的取值范围.
（2）由（1）可知，，
直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
由此可得此时直线的倾斜角的取值范围，
由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角，
综上，直线的倾斜角的取值范围.
【变式5.3】已知坐标平面内三点，，.
(1)求直线AC的倾斜角；
(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围.
【解题思路】（1）由两点式斜率公式求出斜率，然后根据斜率与倾斜角的关系求解即可
（2）数形结合，利用两点式斜率公式，根据斜率与倾斜角变化的规律分析求解即可.
【解答过程】（1）由，得，
因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是，所以直线AC的倾斜角为.
（2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，

此时由增大到，又，，
所以的取值范围为，
即直线CD的倾斜角的取值范围为.
【题型6 两条直线平行的判定及应用】
【例6】已知直线与直线平行，则的值为（ ）
A．3 B． C．1或 D．或3
【解题思路】根据两条直线平行列出方程，再代入验证即可.
【解答过程】因为直线与直线平行，
所以,解得，或；
当时，两条直线为：两条直线重合，舍去；
当时，两条直线为：两条直线平行；
故选：B.
【变式6.1】已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（ ）
A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合
【解题思路】由斜率的定义及坐标公式分别求出两条直线的斜率即可判断位置关系.
【解答过程】依题意，直线的斜率，直线的斜率，
即，所以或重合.
故选：A.
【变式6.2】设为实数，已知直线，，若，则（ ）
A．6 B． C．6或 D．或3
【解题思路】根据直线一般形式下的平行条件计算即可.
【解答过程】因为，所以，解得或．
当时，，满足与平行；
当时，，可判断此时与重合，舍去；
所以.
故选：A．
【变式6.3】已知，则直线与的位置关系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【解题思路】根据直线的斜率来进行判断.
【解答过程】，
由图可知不共线，所以．
故选：B.
【题型7 两条直线垂直的判定及应用】
【例7】已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【解题思路】分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系.
【解答过程】由题意，
所以，
所以.
故选：A.
【变式7.1】已知直线与垂直，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【解题思路】利用一般式方程下两直线垂直的公式代入求解即可得到结果.
【解答过程】因为直线与垂直，
所以，解得．
故选：C．
【变式7.2】“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】先根据直线一般方程垂直系数关系求参，再结合充分必要条件定义判断即可.
【解答过程】因为“直线与直线互相垂直”可得,
所以，故或.
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.
故选：A.
【变式7.3】下列哪条直线与直线垂直（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】先求得出直线的斜率，利用两直线垂直的斜率公式对各个选项进行验证即可求解.
【解答过程】直线的斜率为2,
若直线m与直线垂直，则，，
对于A,的斜率为2,不与直线垂直;
对于B,的斜率为2,不与直线垂直;
对于C,的斜率为-1，不与直线垂直；
对于D,的斜率为 ,与直线垂直.
故选:D.
【题型8 直线平行、垂直的判定在几何中的应用】
【例8】已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标；
【解答过程】设C点标为，直线AH斜率，
∴，而点B的横坐标为6，则，
直线BH的斜率，
∴直线AC斜率，
∴，
∴点C的坐标为．
故选：D.
【变式8.1】已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围.
【解答过程】当三角形为直角三角形时，或，
此时的斜率或0.
当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时；
当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时，
综上，，
故选：C.
【变式8.2】在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .

【解题思路】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证.
【解答过程】由点和点，知直线的斜率为，
由点和点，知直线的斜率为，
因为，所以，即；
由点和点，知直线的斜率为，
由点和点，知直线的斜率为，
则直线与的斜率之积为，
所以.
【变式8.3】如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.

【解题思路】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状.
【解答过程】由已知可得边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，
边所在直线的斜率.
因为，，所以，.
因此四边形是平行四边形.
（3）直线的斜率，直线的斜率，，故.
（4）的倾斜角为90°，则轴.直线的斜率，则轴，故.
19．（24-25高二上·浙江·期中）已知，，．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围．
【解题思路】（1）由斜率公式直接求解；
（2）由倾斜角与斜率的关系即可求解.
【解答过程】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率，
直线AC的斜率，
故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为3．
（2）当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角，
直线AD的斜率由增大到，
所以直线AD的斜率的变化范围是.

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