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2.1《认识实数》（1）——北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2022八上·成都期中）下列四个数中，无理数是（　　）
A． B．π C．0.12 D．0
【答案】B
【知识点】无理数的概念
2．（2025八上·七星关期末）下列数中是无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．0.1223
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是无理数，此选项符合题意；
B、0是有理数，此选项不合题意．
C、是有理数，此选项不合题意．
D、0.1223是有理数，此选项不合题意．
故答案为：A．
【分析】根据无理数的定义"无限不循环小数为无理数"并结合各选项即可判断求解.
3．（2023·玉环模拟）面积为15的正方形的边长为m，则m的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：根据题意知，m2=15，得到m=，
∵，
∴m在3和4之间，
故答案为：C
【分析】根据有理数比较大小的方法可得9＜15＜16，同时开方可以得到的范围。
4．（2025·宝安模拟）在实数，0，，，中无理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数有，共1个，
故答案为：A．
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
5．（2017七上·乐清期中）写出一个小于4的无理数　 　.
【答案】 (答案不唯一）
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】小于4的无理数很多，比如 、 、 、
【分析】开放性的命题，答案不唯一，无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有开方开不尽的数和 π 等，写的时候还要注意比4小的限制即可。
6．（2020·长春模拟）写出一个负无理数　 　
【答案】
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：写出一个负无理数
故答案为：
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
7．（2024七上·宁波期中） 写出两个无理数， 使它们的和为有理数， 它们可以是　 　.
【答案】和 (答案不唯一)
【知识点】无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】和都是无理数，且，
∴它们可以是和，
故答案为：和（答案不唯一）．
【分析】本题考查了无理数的概念，无理数，也称为无限不循环小数，包含开方开不尽的数，例如，，再根据和为有理数，求解即可．
8．（【细解】初中数学鲁教版七年级上册第四章实数1无理数）下列哪些是有理数？哪些是无理数？
-5，3.7，-π， ， ，0.121 121 112……， ，
【答案】解：有理数：-5，3.7， ， ， ；无理数：-π，0.12112112……，
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵整数和分数为有理数，∴-5，3.7， ， 是有理数；
∵无限循环小数为有理数，∴ 是有理数；
∵无限循环小数是无理数，∴-π，0.12112112……， .
故答案为： 有理数：-5，3.7， ， ， ；无理数：-π，0.12112112……， .
【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数，常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e (其中后两者均为超越数)等，据此分别判断即可.
二、能力提升
9．在实数π，0，- ，1.5中，属于无理数的是(　　)
A．π B．0 C． D．1.5
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、为无理数，则本项符合题意；
B、0为有理数，则本项不符合题意；
C、为有理数，则本项不符合题意；
D、1.5为有理数，则本项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据无限不循环小数为无理数，据此逐项判断即可.
10．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数π的是(　　)
A．点A B．点 B C．点C D．点 D
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴ 表示无理数π的是点D，
故答案为：D.
【分析】运用无理数的估算解题即可.
11．（2025七下·中江月考）在下列各数，，，，0.121221222…（每两个1之间依次增加一个数2）中，无理数的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是无限循环小数，故是有理数，不符合题意；
是有限小数，故是有理数，不符合题意；
是有限小数，故是有理数，不符合题意；
是无限不循环小数，是无理数，故符合题意；
0.121221222…（每两个1之间依次增加一个数2）是无限不循环小数，是无理数，故符合题意；
故无理数有π和0.121221222…（每两个1之间依次增加一个数2），
故答案为：C．
【分析】无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①化简之后含π的代数式类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0）等．据此解答即可．
12．（2024八下·西山期末）在直角三角形中，，，，则的取值范围在（　　）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴的取值范围在6到7之间．
故选：C
【分析】根据勾股定理求出，再估算无理数的范围即可求出答案.
13．已知a和b都是无理数，且a≠b下面提供的 6 个数：a+b，a-b， ab，， ab+a-b， ab+a+b，其中可能成为有理数的有　 　个.
【答案】6
【知识点】无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】解：当a=，b=时，a+b=0；ab=-2；ab+a+b=-2；=-1.
当a=+1，b=-1时，a-b=2， ab+a-b=1+2=3.
故可能成为有理数的个数有6个.
故答案为：6 .
【分析】通过特殊取值来验证某些表达式是否为有理数即可.
14．（2024七上·东阳期中）若是无理数，且，请写出一个符合条件的：　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵是无理数，且，
∴m的值可以为，
故答案为： ．
【分析】通过对无理数的估算进行求解．
15．下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数
0.4583， 3.， - π，-， 18.
【答案】解：有理数：0.4583，，，18，
无理数：
【知识点】无理数的概念；有理数的概念
【解析】【分析】整数和分数统称为有理数；无限不循环小数是无理数，例如开方开不尽的数、圆周率π等，都是无理数.
16． 下列结论是否正确 如果不正确，请举例说明.
（1）两个无理数之和仍为无理数；
（2）两个无理数之积仍为无理数；
（3）一个有理数与一个无理数之和仍为无理数；
（4）一个有理数与一个无理数之积仍为无理数.
【答案】（1）解：不正确.举例： ，但是
（2）解：不正确.举例： 都是无理数，但是
（3）正确
（4）解：不正确.举例：0是有理数， 是无理数，但是
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】（1）根据无理数的性质举例即可求出答案.
（2）根据无理数的性质举例即可求出答案.
（3）根据无理数的性质举例即可求出答案.
三、综合拓展
17．（初中数学北师大版八年级上册2.1认识无理数练习题）无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读下列资料：由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数．转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”．一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了．例题：例如把 和 化为分数
请用以上方法解决下列问题
（1）把 化为分数
（2）把 化为分数．
【答案】（1）解：∵ ×100=17.
∴ ×100﹣ = ﹣
×（100﹣1）=17，
= ，
（2）解：∵ ×10= ① ×1000= ②
∴由 ②﹣①得 ×1000﹣ ×10= ﹣
（1000﹣10）=310，
=
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】（1）、（2）根据所给例题的解题方法进行解答即可．
1 / 12.1《认识实数》（1）——北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2022八上·成都期中）下列四个数中，无理数是（　　）
A． B．π C．0.12 D．0
2．（2025八上·七星关期末）下列数中是无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．0.1223
3．（2023·玉环模拟）面积为15的正方形的边长为m，则m的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．（2025·宝安模拟）在实数，0，，，中无理数的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2017七上·乐清期中）写出一个小于4的无理数　 　.
6．（2020·长春模拟）写出一个负无理数　 　
7．（2024七上·宁波期中） 写出两个无理数， 使它们的和为有理数， 它们可以是　 　.
8．（【细解】初中数学鲁教版七年级上册第四章实数1无理数）下列哪些是有理数？哪些是无理数？
-5，3.7，-π， ， ，0.121 121 112……， ，
二、能力提升
9．在实数π，0，- ，1.5中，属于无理数的是(　　)
A．π B．0 C． D．1.5
10．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，其中最适合表示无理数π的是(　　)
A．点A B．点 B C．点C D．点 D
11．（2025七下·中江月考）在下列各数，，，，0.121221222…（每两个1之间依次增加一个数2）中，无理数的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．（2024八下·西山期末）在直角三角形中，，，，则的取值范围在（　　）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
13．已知a和b都是无理数，且a≠b下面提供的 6 个数：a+b，a-b， ab，， ab+a-b， ab+a+b，其中可能成为有理数的有　 　个.
14．（2024七上·东阳期中）若是无理数，且，请写出一个符合条件的：　 　．
15．下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数
0.4583， 3.， - π，-， 18.
16． 下列结论是否正确 如果不正确，请举例说明.
（1）两个无理数之和仍为无理数；
（2）两个无理数之积仍为无理数；
（3）一个有理数与一个无理数之和仍为无理数；
（4）一个有理数与一个无理数之积仍为无理数.
三、综合拓展
17．（初中数学北师大版八年级上册2.1认识无理数练习题）无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读下列资料：由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数．转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”．一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍…使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了．例题：例如把 和 化为分数
请用以上方法解决下列问题
（1）把 化为分数
（2）把 化为分数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
2．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、是无理数，此选项符合题意；
B、0是有理数，此选项不合题意．
C、是有理数，此选项不合题意．
D、0.1223是有理数，此选项不合题意．
故答案为：A．
【分析】根据无理数的定义"无限不循环小数为无理数"并结合各选项即可判断求解.
3．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：根据题意知，m2=15，得到m=，
∵，
∴m在3和4之间，
故答案为：C
【分析】根据有理数比较大小的方法可得9＜15＜16，同时开方可以得到的范围。
4．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：无理数有，共1个，
故答案为：A．
【分析】根据无理数的定义即可求出答案.
5．【答案】 (答案不唯一）
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】小于4的无理数很多，比如 、 、 、
【分析】开放性的命题，答案不唯一，无理数就是无限不循环的小数，常见的无理数有开方开不尽的数和 π 等，写的时候还要注意比4小的限制即可。
6．【答案】
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：写出一个负无理数
故答案为：
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
7．【答案】和 (答案不唯一)
【知识点】无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】和都是无理数，且，
∴它们可以是和，
故答案为：和（答案不唯一）．
【分析】本题考查了无理数的概念，无理数，也称为无限不循环小数，包含开方开不尽的数，例如，，再根据和为有理数，求解即可．
8．【答案】解：有理数：-5，3.7， ， ， ；无理数：-π，0.12112112……，
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念
【解析】【解答】解：∵整数和分数为有理数，∴-5，3.7， ， 是有理数；
∵无限循环小数为有理数，∴ 是有理数；
∵无限循环小数是无理数，∴-π，0.12112112……， .
故答案为： 有理数：-5，3.7， ， ， ；无理数：-π，0.12112112……， .
【分析】整数和分数统称为有理数，无限不循环小数为无理数，常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e (其中后两者均为超越数)等，据此分别判断即可.
9．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、为无理数，则本项符合题意；
B、0为有理数，则本项不符合题意；
C、为有理数，则本项不符合题意；
D、1.5为有理数，则本项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据无限不循环小数为无理数，据此逐项判断即可.
10．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴ 表示无理数π的是点D，
故答案为：D.
【分析】运用无理数的估算解题即可.
11．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是无限循环小数，故是有理数，不符合题意；
是有限小数，故是有理数，不符合题意；
是有限小数，故是有理数，不符合题意；
是无限不循环小数，是无理数，故符合题意；
0.121221222…（每两个1之间依次增加一个数2）是无限不循环小数，是无理数，故符合题意；
故无理数有π和0.121221222…（每两个1之间依次增加一个数2），
故答案为：C．
【分析】无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①化简之后含π的代数式类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0）等．据此解答即可．
12．【答案】C
【知识点】无理数的估值；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴的取值范围在6到7之间．
故选：C
【分析】根据勾股定理求出，再估算无理数的范围即可求出答案.
13．【答案】6
【知识点】无理数的概念；有理数的概念
【解析】【解答】解：当a=，b=时，a+b=0；ab=-2；ab+a+b=-2；=-1.
当a=+1，b=-1时，a-b=2， ab+a-b=1+2=3.
故可能成为有理数的个数有6个.
故答案为：6 .
【分析】通过特殊取值来验证某些表达式是否为有理数即可.
14．【答案】（答案不唯一）
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵是无理数，且，
∴m的值可以为，
故答案为： ．
【分析】通过对无理数的估算进行求解．
15．【答案】解：有理数：0.4583，，，18，
无理数：
【知识点】无理数的概念；有理数的概念
【解析】【分析】整数和分数统称为有理数；无限不循环小数是无理数，例如开方开不尽的数、圆周率π等，都是无理数.
16．【答案】（1）解：不正确.举例： ，但是
（2）解：不正确.举例： 都是无理数，但是
（3）正确
（4）解：不正确.举例：0是有理数， 是无理数，但是
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】（1）根据无理数的性质举例即可求出答案.
（2）根据无理数的性质举例即可求出答案.
（3）根据无理数的性质举例即可求出答案.
17．【答案】（1）解：∵ ×100=17.
∴ ×100﹣ = ﹣
×（100﹣1）=17，
= ，
（2）解：∵ ×10= ① ×1000= ②
∴由 ②﹣①得 ×1000﹣ ×10= ﹣
（1000﹣10）=310，
=
【知识点】无理数的概念
【解析】【分析】（1）、（2）根据所给例题的解题方法进行解答即可．
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