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2.2《平方根与立方根》（1）—北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2023八上·永兴月考）2的算术平方根是（　　）
A． B．2 C．± D．±2
2．（2025八下·北仑期末） 计算的结果是（　　）
A． B．6 C． D．
3．（2025七下·游仙期末）9的算术平方根是（　　）
A．9 B．2 C．3 D．1
4．（2025七下·来宾期末）（　　）
A． B． C． D．
5．若x，y为实数，且| 则 的值为（　　）.
A．1 B．-1 C．2 D．-2
6．（2018八上·汪清期末）计算： ＝　 　．
7．（2025·纳溪模拟）已知，则的值为　 　．
8．（2024七下·荔湾期末）求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
二、能力提升
9．（2025九下·东莞开学考）对于任意不相等的两个数，定义一种运算“*”如下，如，计算：（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
10．（2024九上·宝安期中）已知，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．6
11．（2024七下·广州期中）已知，则　 　．
12．（2025七下·江城期中）直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．则田的宽是　 　步．（一亩=240平方步）
13．（2025七上·湖州期末）有一个数值转换器，原理如图，当输入的为16时，输出的是　 　．
14．（2024七下·汕尾期末）在，，，，，中，共有　 　个无理数．
15．（2019七下·端州期中）已知 +|y-17|=0，求x+y的算术平方根.
16．（2017八上·高州月考）实数 、 在数轴上的位置如图所示，请化简： ．
17．（2024七下·罗定期中）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，．
运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中，为有理数，求和的值；
（2）若均为有理数，且，求的算术平方根．
三、综合拓展
18．（2024七下·新会期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行　 　次操作后变为2．
19．（2024八上·高州月考）如图，
（1）【感知】如图①，将两个边长为1的小正方形分别沿一条对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长是　 　．
（2）【探究】如图②是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．
①通过裁剪，将阴影部分的图形拼成一个正方形，请在空白网格中画出拼成的正方形；
②所拼成的正方形的边长是_▲_．
（3）【应用】小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为，请通过计算说明他能否裁出这样的纸片？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵=2，
∴2的算术平方根为.
故答案为：A
【分析】根据算式平方根的定义即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】，
∵6的平方等于36，
∴，
故答案为：B.
【分析】先计算被开方数具体的值，然后根据算术平方根的计算方法即可得.
3．【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵
∴9的算术平方根是3，即，C正确.
故选：C.
【分析】9有两个平方根，其中正的平方根叫作9的算术平方根，因此。
4．【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题考查算术平方根的概念，解题关键是明确算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，通过对依据算术平方根定义进行分析计算，从而得出结果 .
5．【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴x+2＝0，y-2＝0，
∴x=-2，y=2，
∴=.
故答案为：B.
【分析】首先根据非负数的性质得出x=-2，y=2，然后把x=-2，y=2，代入中求值即可。
6．【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】 ＝2.
故答案为：2.
【分析】有根号先算根号，所以的值为2。
7．【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据绝对值和算数平方根的非负性可知：，，
即a-2=0， b+3=0，
∴a=2，b=-3，
∴a+b=-1，
故答案为：-1．
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求得得，，代入即可得出答案.
8．【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【知识点】求算术平方根
【解析】【分析】（1）根据算式平方根的定义，直接进行计算，即可求解；
（2）先计算根号下的减法运算，再根据算式平方根的定义，直接进行计算，即可求解；
（3）先计根号下的数值，结合算术平方根的定义，直接进行计算，即可求解．
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
9．【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的除法法则；求算术平方根
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：A
【分析】根据新定义列式计算即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：x=3
∴y=5
∴
故答案为：A
【分析】根据二次根式的非负性可得x，y值，再代入代数式即可求出答案.
11．【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】由算术平方根的被开方数是非负数，得到x值，再求出y，然后代入计算即可．
12．【答案】30
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设此矩形田的宽为步，
依据题意，可列方程为，
解得（负值舍去），
则田的宽为30步，
故答案为：30．
【分析】设此矩形田的宽为步，根据“ 面积为7.5亩（换算为平方步），且宽是长的一半 ”列出方程，再求解即可.
13．【答案】
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，4是有理数，，2是有理数，的算术平方根是，是无理数，输出的y是，
故应填．
【分析】由转换要求可知，只有无理数才可以输出，就需要对输入的数字反复开方，直到开不尽方时为止．
14．【答案】381
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
∴在，，，，…，中有20个有理数，
则无理数的个数为．
故答案为：．
【分析】
根据无理数的定义即无限不循环小数；然后判断在这些数中能开得尽方的数是有理数有20个，用数据的总数减去有理数的个数即为无理数的个数．
15．【答案】解：根据题意得： ，
解得： ，
则x+y=25，算术平方根是：
【知识点】算术平方根；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
16．【答案】解：由数轴可得：a＜0，b＞0，
则|a|- -
=-a-（-a）-b
=-b．
【知识点】算术平方根；实数在数轴上表示；实数的绝对值
【解析】【分析】由数轴得a＜0，b＞0，所以| a | =-a(负数绝对值取其相反数)，=-a(算数平方根是正数，一个数先平方再开方结果就是取其绝对值)=b，所以最终结果就是-b。
17．【答案】（1）解：∵，其中为有理数，∴，；
∴，．
（2）解：∵，，
∵m、n为有理数，
∴，，
∴，，
∴当，时，，的算术平方根为；
当，时，，的算术平方根为；
综上所述，的算术平方根为或．
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【分析】（1）根据题意，得到，，求得m和n的值，即可得到答案；
（2）先整理得到，得出，，求得m和n的值，分类讨论，进而求得的平方根，得到答案.
18．【答案】3
【知识点】无理数的估值；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】，故进行了3次操作变成2.
故答案为：3
【分析】根据无理数的估值结合题意进行运算即可求解。
19．【答案】（1）
（2）解：①如图所示，把左右两边的两个长方形沿对角线剪开，得到4个全等的直角三角形，把直角三角形拼在边上，没剪的正方形放在中间即可.
②答案为：.
（3）解：设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，
解得，（舍去），
∵，
∴长方形纸片的长大于原正方形纸片的边长，
∴小明不能裁出这样的长方形纸片.
【知识点】勾股定理；算术平方根的实际应用；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1）∵大正方形的边长就是小正方形的对角线长，
∴大正方形的边长为：.
故答案为：.
（2） ②∵正方形的边长就是长正方形的对角线长，
∴正方形的边长为：.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意得大正方形的边长就是小正方形的对角线长，用勾股定理可求解.
（2）①把左右两边的两个长方形沿对角线剪开，得到4个全等的直角三角形，把直角三角形拼在边上，没剪的正方形放在中间即可.
② 正方形的边长就是长正方形的对角线长，用勾股定理可求解.
（3）由长方形的长、宽比例和面积求出长，结合正方形边长就能判断能不能裁出来长方形.
1 / 12.2《平方根与立方根》（1）—北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2023八上·永兴月考）2的算术平方根是（　　）
A． B．2 C．± D．±2
【答案】A
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵=2，
∴2的算术平方根为.
故答案为：A
【分析】根据算式平方根的定义即可求出答案.
2．（2025八下·北仑期末） 计算的结果是（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】，
∵6的平方等于36，
∴，
故答案为：B.
【分析】先计算被开方数具体的值，然后根据算术平方根的计算方法即可得.
3．（2025七下·游仙期末）9的算术平方根是（　　）
A．9 B．2 C．3 D．1
【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵
∴9的算术平方根是3，即，C正确.
故选：C.
【分析】9有两个平方根，其中正的平方根叫作9的算术平方根，因此。
4．（2025七下·来宾期末）（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】本题考查算术平方根的概念，解题关键是明确算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，通过对依据算术平方根定义进行分析计算，从而得出结果 .
5．若x，y为实数，且| 则 的值为（　　）.
A．1 B．-1 C．2 D．-2
【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵
∴x+2＝0，y-2＝0，
∴x=-2，y=2，
∴=.
故答案为：B.
【分析】首先根据非负数的性质得出x=-2，y=2，然后把x=-2，y=2，代入中求值即可。
6．（2018八上·汪清期末）计算： ＝　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】 ＝2.
故答案为：2.
【分析】有根号先算根号，所以的值为2。
7．（2025·纳溪模拟）已知，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据绝对值和算数平方根的非负性可知：，，
即a-2=0， b+3=0，
∴a=2，b=-3，
∴a+b=-1，
故答案为：-1．
【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性求得得，，代入即可得出答案.
8．（2024七下·荔湾期末）求下列各式的值：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【知识点】求算术平方根
【解析】【分析】（1）根据算式平方根的定义，直接进行计算，即可求解；
（2）先计算根号下的减法运算，再根据算式平方根的定义，直接进行计算，即可求解；
（3）先计根号下的数值，结合算术平方根的定义，直接进行计算，即可求解．
（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
二、能力提升
9．（2025九下·东莞开学考）对于任意不相等的两个数，定义一种运算“*”如下，如，计算：（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【知识点】有理数的减法法则；有理数的除法法则；求算术平方根
【解析】【解答】解：由题意可得：
故答案为：A
【分析】根据新定义列式计算即可求出答案.
10．（2024九上·宝安期中）已知，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．6
【答案】A
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：x=3
∴y=5
∴
故答案为：A
【分析】根据二次根式的非负性可得x，y值，再代入代数式即可求出答案.
11．（2024七下·广州期中）已知，则　 　．
【答案】1
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵
∴，
解得，
∴，
∴．
故答案为：1．
【分析】由算术平方根的被开方数是非负数，得到x值，再求出y，然后代入计算即可．
12．（2025七下·江城期中）直田七亩半，忘了长和短．记得立契时，长阔争一半．今问俊明公，此法如何算．意思是有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少．只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半．则田的宽是　 　步．（一亩=240平方步）
【答案】30
【知识点】算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：设此矩形田的宽为步，
依据题意，可列方程为，
解得（负值舍去），
则田的宽为30步，
故答案为：30．
【分析】设此矩形田的宽为步，根据“ 面积为7.5亩（换算为平方步），且宽是长的一半 ”列出方程，再求解即可.
13．（2025七上·湖州期末）有一个数值转换器，原理如图，当输入的为16时，输出的是　 　．
【答案】
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，4是有理数，，2是有理数，的算术平方根是，是无理数，输出的y是，
故应填．
【分析】由转换要求可知，只有无理数才可以输出，就需要对输入的数字反复开方，直到开不尽方时为止．
14．（2024七下·汕尾期末）在，，，，，中，共有　 　个无理数．
【答案】381
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
∴在，，，，…，中有20个有理数，
则无理数的个数为．
故答案为：．
【分析】
根据无理数的定义即无限不循环小数；然后判断在这些数中能开得尽方的数是有理数有20个，用数据的总数减去有理数的个数即为无理数的个数．
15．（2019七下·端州期中）已知 +|y-17|=0，求x+y的算术平方根.
【答案】解：根据题意得： ，
解得： ，
则x+y=25，算术平方根是：
【知识点】算术平方根；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
16．（2017八上·高州月考）实数 、 在数轴上的位置如图所示，请化简： ．
【答案】解：由数轴可得：a＜0，b＞0，
则|a|- -
=-a-（-a）-b
=-b．
【知识点】算术平方根；实数在数轴上表示；实数的绝对值
【解析】【分析】由数轴得a＜0，b＞0，所以| a | =-a(负数绝对值取其相反数)，=-a(算数平方根是正数，一个数先平方再开方结果就是取其绝对值)=b，所以最终结果就是-b。
17．（2024七下·罗定期中）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，．
运用上述知识解决下列问题：
（1）如果，其中，为有理数，求和的值；
（2）若均为有理数，且，求的算术平方根．
【答案】（1）解：∵，其中为有理数，∴，；
∴，．
（2）解：∵，，
∵m、n为有理数，
∴，，
∴，，
∴当，时，，的算术平方根为；
当，时，，的算术平方根为；
综上所述，的算术平方根为或．
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【分析】（1）根据题意，得到，，求得m和n的值，即可得到答案；
（2）先整理得到，得出，，求得m和n的值，分类讨论，进而求得的平方根，得到答案.
三、综合拓展
18．（2024七下·新会期中）对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对72进行如下操作：，即对72只需进行3次操作后变为2．类比上述操作：对36只需进行　 　次操作后变为2．
【答案】3
【知识点】无理数的估值；算术平方根的概念与表示
【解析】【解答】，故进行了3次操作变成2.
故答案为：3
【分析】根据无理数的估值结合题意进行运算即可求解。
19．（2024八上·高州月考）如图，
（1）【感知】如图①，将两个边长为1的小正方形分别沿一条对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长是　 　．
（2）【探究】如图②是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．
①通过裁剪，将阴影部分的图形拼成一个正方形，请在空白网格中画出拼成的正方形；
②所拼成的正方形的边长是_▲_．
（3）【应用】小明想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为，请通过计算说明他能否裁出这样的纸片？
【答案】（1）
（2）解：①如图所示，把左右两边的两个长方形沿对角线剪开，得到4个全等的直角三角形，把直角三角形拼在边上，没剪的正方形放在中间即可.
②答案为：.
（3）解：设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，
解得，（舍去），
∵，
∴长方形纸片的长大于原正方形纸片的边长，
∴小明不能裁出这样的长方形纸片.
【知识点】勾股定理；算术平方根的实际应用；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：（1）∵大正方形的边长就是小正方形的对角线长，
∴大正方形的边长为：.
故答案为：.
（2） ②∵正方形的边长就是长正方形的对角线长，
∴正方形的边长为：.
故答案为：.
【分析】（1）根据题意得大正方形的边长就是小正方形的对角线长，用勾股定理可求解.
（2）①把左右两边的两个长方形沿对角线剪开，得到4个全等的直角三角形，把直角三角形拼在边上，没剪的正方形放在中间即可.
② 正方形的边长就是长正方形的对角线长，用勾股定理可求解.
（3）由长方形的长、宽比例和面积求出长，结合正方形边长就能判断能不能裁出来长方形.
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