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2.2《平方根与立方根》（2）—北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2019八上·江宁月考）4的平方根是（　　）
A． B．－ C．±4 D．±2
2．（2015八上·南山期末） 的平方根是（　　）
A．9 B．±9 C．±3 D．3
3．（2023八上·南海月考）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·福田月考）下列说法正确的是（　　）
①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④任何一个非负数的平方根都不大于这个数；⑤平方根等于它本身的数是0
A．①② B．③⑤ C．②④ D．①⑤
5．（2024八上·道县期末）下列说法正确的是（　　）
A．9的平方根是3 B．36的算术平方根是6
C．的平方根是 D．的算术平方根是5
6．（2024八上·衡阳月考）已知某正实数的平方根是和，那么这个正实数是　 　．
7．（2020八上·银川期中）　 　； 的平方根是　 　.
8．（2023八上·萧县期中）的平方根是　 　；的算术平方根是　 　．
9．求下列各数的平方根：
169，10-6，，18
10．求下列各数的平方根：
⑴64； ⑵ ⑶0.0004； ⑷(-25)2； ⑸11
二、能力提升
11．（2020八上·锦江月考）实数 有平方根，则 可以取的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
12．（2024八上·开福开学考）下列说法正确的是(　　)
A．的平方根与算术平方根都是 B．的算术平方根是
C．的平方根是 D．的平方根是
13．（2024八上·潮阳开学考）下列判断中，错误的是（　　）
A．的平方根是 B．的倒数是
C．的绝对值是1 D．的平方的相反数是
14．（2024八上·桂东期末）某正数的平方根分别是和，则　 　．
15．（2024八上·福田开学考）阅读，一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）．如：，，所以和2叫做4的平方根，4的平方根记为，，又如：若，则2的平方根是：，填空：25的平方根是　 　，的平方根是　 　，5的平方根是　 　．
16．（2024八上·港南期末）如图，长方形内有2个相邻的正方形，面积分别为9和，那么阴影部分的面积为　 　．
17．（2023八上·重庆市期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为16时，输出的数为　 　．
18．（2020八上·张掖月考）已知2a–1的平方根是± ，3a+b–1的算术平方根是6，求a+4b的算术平方根.
19．（2024八上·贵州期中）一个正数b的两个平方根分别是与，
（1）求和的值．
（2）求平方根．
三、综合拓展
20．（2022八上·晋江月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方根．
21．（2017七下·东城期中）阅读下列材料：如果一个数 的 （ 是大于 的整数）次方等于 ，这个数就 叫做 的 次方根，即 ，则 叫做 的 次方根．如： ， ，则 ， 是 的 次方根，或者说 的 次方根是 和 ；再加 ，则 叫做 的 次方根，或者说 的 次方根是 ．
回答问题：
（1） 的 次方根是　 　， 的 次方根是　 　， 的 次方根是　 　．
（2）我们学习过一个数的平方根有以下的形质：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数； 的平方根是 ；负数没有平方根．类比一个数的平方根的性质，归纳一个数的 （ 是大于 的整数）次方根的性质．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：4的平方根是 = ±2
故答案为D.
【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
2．【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵ =9，（±3）2=9，
而9的平方根是±3，
∴ 的平方根是±3．
故选：C．
【分析】根据平方根的定义，求得a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根。 =9，本题实质是求9的平方根，9的平方根是±3。
3．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：、，故本选项运算错误；
、，故本选项运算错误；
、，故本选项运算正确；
、，故本选项运算错误．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质“”分别进行化简，即可逐项判断得出答案.
4．【答案】D
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质；立方根的概念与表示；立方根的性质
【解析】【解答】解：① 负数没有平方根，故说法正确；
②一个实数的立方根是正数，0或负数，故原说法错误；
③负数没有平方根，故原说法错误；
④任何一个非负数的平方根有可能大于这个数，例如，的平方根是，而，故原说法错误；
⑤平方根等于它本身的数是0，说法正确．
综上，正确的说法是①⑤．
故答案为：D．
【分析】首先根据平方根的性质可得出①⑤正确，③④不正确，再根据立方根的性质得出②不正确，综上即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A： 9的平方根是±3，错误，不符合题意；
B：36 的算术平方根是6，正确，符合题意；
C：，7的平方根是，错误，不符合题意；
D：没有算数平方根，，错误，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据平方根和算数平方根的定义即可求出答案.
6．【答案】
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵一个正实数的平方根是和，
∴，
∴，
∴，
∴这个数为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程，解方程求出a的值，即可求出这个正实数的平方根，根据如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，即可求出这个正实数．
7．【答案】4；±3
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 4
=9
9的平方根是±3
∴ 的平方根是±3
故答案为：4；±3.
【分析】根据一个数x2=a(a≥0），则这个数就是a的平方根；一个正数x2=a(a≥0），则这个正数就是a的算术平方根，即可得出答案.
8．【答案】；
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：因为，
所以的平方根是；
，
因为，
所以的算术平方根是；
故答案为：①，②2．
【分析】根据平方根和算术平方根的定义求解。()的平方根为，算术平方根为，能区分的算术平方根和16的算术平方根是解题的关键．
9．【答案】解：⑴∵，
∴，
即169的平方根为.
⑵∵，
∴，
即的平方根为.
⑶∵，
∴
即的平方根是.
⑷∵，
∴
即的平方根是.
⑸∵，
∴
即18的平方根为
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【分析】根据平方根性质求解即可.
10．【答案】解：⑴因为( 所以64的平方根是±8，即
⑵因为 所以 的平方根是： 即
⑶因为 所以 0.0004 的平方根是±0.02， 即
⑷因为( 所以(-25)2的平方根是±25， 即
⑸11的平方根是
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【分析】⑴根据平方根的定义求解.
⑵根据平方根的定义求解.
⑶根据平方根的定义求解.
⑷根据平方根的定义求解.
⑸根据平方根的定义求解.
11．【答案】A
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵实数1-3a有平方根，
∴1-3a≥0，
解得a≤ ，
而四个选项中只有A符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据平方根的性质求出a的范围，从而得出答案．
12．【答案】D
【知识点】平方根的概念与表示；开平方（求平方根）；算术平方根的概念与表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、∵1的平方根是±1，1的算术平方根是1，∴A不正确；
B、∵负数没有算术平方根，∴B不正确；
C、∵，4的平方根是±，∴C不正确；
D、∵4的平方根是±2，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用平方根和算术平方根的定义及计算方法逐项分析判断即可.
13．【答案】A
【知识点】有理数的倒数；求有理数的相反数的方法；求有理数的绝对值的方法；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：A.没有平方根，故A符合题意
B.的倒数是，故B不符合题意
C.的绝对值是1，故C不符合题意
D.的平方的相反数是，故D不符合题意
故选：A.
【分析】A、负数没有平方根；B、-1的倒数是它本身；C、；D、的平方是1，1的相反数是-1.
14．【答案】
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：∵某正数的平方根分别是和，
∴+=0，
解得：a=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据平方根的性质，即可得出+=0，解得a=-2.
15．【答案】；；
【知识点】平方根的概念与表示；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：
25的平方根是
的平方根是
5的平方根是
故答案为：；；．
【分析】
如果一个数的平方等于（a≥0），即，那么这个数就叫做的平方根，根据平方根的定义进行计算即可.
16．【答案】
【知识点】整式的加减运算；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：因为长方形内有2个相邻的正方形，面积分别为9和，所以阴影部分中的小长方形的长为3，宽为，
因此，阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】根据正方形的面积公式可知两个相邻的正方形的边长分别为3和x，再结合图形求出阴影部分中的两个小长方形的长与宽，利用长方形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
17．【答案】
【知识点】无理数的概念；利用开平方求未知数；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】根据题意
x=16时
4不是无理数，
2不是无理数，
故答案为 ：
【分析】根据给定的计算流程图，代入16，求算术平方根，判断是否能够开尽来判断无理数；能开得尽平方的是有理数，不能开得尽平方的无理数；确认是无理数即可输出y值。
18．【答案】解：由题意得，2a﹣1=17，3a+b﹣1=62，
解得a=9，b=10，
所以，a+4b=9+4×10=9+40=49，
∵72=49，
∴a+4b的算术平方根是7.
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】根据算术平方根和平方根的定义列式求出a、b的值，然后代入代数式求出a+4b的值，再根据算术平方根的定义解答.
19．【答案】（1）解：∵一个正数b的两个平方根分别是与，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，，∴，
∵36的平方根为，
∴的平方根为．

【知识点】平方根的概念与表示；开平方（求平方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据平方根的定义得到，求出a值，即可求出b的值；
（2）把a，b的值代入得到的值，然后利用平方根的定义解题．
（1）解：∵一个正数b的两个平方根分别是与，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∵36的平方根为，
∴的平方根为．
20．【答案】（1）解：∵AB＝2，
∴，
∴，
∴
；
（2）解：∵|2c＋6|与互为相反数，
∴，
∵，，
∴2c＋6＝0，d 4＝0，
∴c＝ 3，d＝4，
∴，
∴的平方根是．
【知识点】平方根；实数在数轴上表示；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）通过A，B在数轴上表示的数和AB的距离求出m的值，进而判断出m+1与m-1的正负，再利用绝对值的非负性进行化简并合并即可；
（2）利用非负数的性质（几个非负数的和等于0，那么这几个非负数就分别等于0），得到c、d的值，代入求值即可.
21．【答案】（1）；；
（2）解：一个数 次方根的性质（ 为大于 的整数）．
①正数的 次方根
② 的 次方根为 ．
③负数的 次方根
【知识点】平方根；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：( ）因为（±2）6=64，所以64的6次方根是±2；因为(-3)5=-243，所以-243的5次方根是-3；因为010=0，所以0的10次方根是0.
【分析】本题运用乘方的性质，可求出结果.
1 / 12.2《平方根与立方根》（2）—北师大版数学八年级上册课堂分层训练
一、基础应用
1．（2019八上·江宁月考）4的平方根是（　　）
A． B．－ C．±4 D．±2
【答案】D
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：4的平方根是 = ±2
故答案为D.
【分析】一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
2．（2015八上·南山期末） 的平方根是（　　）
A．9 B．±9 C．±3 D．3
【答案】C
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵ =9，（±3）2=9，
而9的平方根是±3，
∴ 的平方根是±3．
故选：C．
【分析】根据平方根的定义，求得a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根。 =9，本题实质是求9的平方根，9的平方根是±3。
3．（2023八上·南海月考）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：、，故本选项运算错误；
、，故本选项运算错误；
、，故本选项运算正确；
、，故本选项运算错误．
故答案为：C．
【分析】根据二次根式的性质“”分别进行化简，即可逐项判断得出答案.
4．（2024八上·福田月考）下列说法正确的是（　　）
①负数没有平方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③任何数的平方都是非负数，因此任何数的平方根也是非负数；④任何一个非负数的平方根都不大于这个数；⑤平方根等于它本身的数是0
A．①② B．③⑤ C．②④ D．①⑤
【答案】D
【知识点】平方根的概念与表示；平方根的性质；立方根的概念与表示；立方根的性质
【解析】【解答】解：① 负数没有平方根，故说法正确；
②一个实数的立方根是正数，0或负数，故原说法错误；
③负数没有平方根，故原说法错误；
④任何一个非负数的平方根有可能大于这个数，例如，的平方根是，而，故原说法错误；
⑤平方根等于它本身的数是0，说法正确．
综上，正确的说法是①⑤．
故答案为：D．
【分析】首先根据平方根的性质可得出①⑤正确，③④不正确，再根据立方根的性质得出②不正确，综上即可得出答案。
5．（2024八上·道县期末）下列说法正确的是（　　）
A．9的平方根是3 B．36的算术平方根是6
C．的平方根是 D．的算术平方根是5
【答案】B
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：A： 9的平方根是±3，错误，不符合题意；
B：36 的算术平方根是6，正确，符合题意；
C：，7的平方根是，错误，不符合题意；
D：没有算数平方根，，错误，不符合题意；
故答案为：B
【分析】根据平方根和算数平方根的定义即可求出答案.
6．（2024八上·衡阳月考）已知某正实数的平方根是和，那么这个正实数是　 　．
【答案】
【知识点】平方根的概念与表示
【解析】【解答】解：∵一个正实数的平方根是和，
∴，
∴，
∴，
∴这个数为，
故答案为：．
【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数，列出方程，解方程求出a的值，即可求出这个正实数的平方根，根据如果一个数x的平方等于a，那么这个数x叫做a的平方根，即可求出这个正实数．
7．（2020八上·银川期中）　 　； 的平方根是　 　.
【答案】4；±3
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【解答】解： 4
=9
9的平方根是±3
∴ 的平方根是±3
故答案为：4；±3.
【分析】根据一个数x2=a(a≥0），则这个数就是a的平方根；一个正数x2=a(a≥0），则这个正数就是a的算术平方根，即可得出答案.
8．（2023八上·萧县期中）的平方根是　 　；的算术平方根是　 　．
【答案】；
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根
【解析】【解答】解：因为，
所以的平方根是；
，
因为，
所以的算术平方根是；
故答案为：①，②2．
【分析】根据平方根和算术平方根的定义求解。()的平方根为，算术平方根为，能区分的算术平方根和16的算术平方根是解题的关键．
9．求下列各数的平方根：
169，10-6，，18
【答案】解：⑴∵，
∴，
即169的平方根为.
⑵∵，
∴，
即的平方根为.
⑶∵，
∴
即的平方根是.
⑷∵，
∴
即的平方根是.
⑸∵，
∴
即18的平方根为
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【分析】根据平方根性质求解即可.
10．求下列各数的平方根：
⑴64； ⑵ ⑶0.0004； ⑷(-25)2； ⑸11
【答案】解：⑴因为( 所以64的平方根是±8，即
⑵因为 所以 的平方根是： 即
⑶因为 所以 0.0004 的平方根是±0.02， 即
⑷因为( 所以(-25)2的平方根是±25， 即
⑸11的平方根是
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【分析】⑴根据平方根的定义求解.
⑵根据平方根的定义求解.
⑶根据平方根的定义求解.
⑷根据平方根的定义求解.
⑸根据平方根的定义求解.
二、能力提升
11．（2020八上·锦江月考）实数 有平方根，则 可以取的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵实数1-3a有平方根，
∴1-3a≥0，
解得a≤ ，
而四个选项中只有A符合题意，
故答案为：A．
【分析】根据平方根的性质求出a的范围，从而得出答案．
12．（2024八上·开福开学考）下列说法正确的是(　　)
A．的平方根与算术平方根都是 B．的算术平方根是
C．的平方根是 D．的平方根是
【答案】D
【知识点】平方根的概念与表示；开平方（求平方根）；算术平方根的概念与表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：A、∵1的平方根是±1，1的算术平方根是1，∴A不正确；
B、∵负数没有算术平方根，∴B不正确；
C、∵，4的平方根是±，∴C不正确；
D、∵4的平方根是±2，∴D正确；
故答案为：D.
【分析】利用平方根和算术平方根的定义及计算方法逐项分析判断即可.
13．（2024八上·潮阳开学考）下列判断中，错误的是（　　）
A．的平方根是 B．的倒数是
C．的绝对值是1 D．的平方的相反数是
【答案】A
【知识点】有理数的倒数；求有理数的相反数的方法；求有理数的绝对值的方法；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：A.没有平方根，故A符合题意
B.的倒数是，故B不符合题意
C.的绝对值是1，故C不符合题意
D.的平方的相反数是，故D不符合题意
故选：A.
【分析】A、负数没有平方根；B、-1的倒数是它本身；C、；D、的平方是1，1的相反数是-1.
14．（2024八上·桂东期末）某正数的平方根分别是和，则　 　．
【答案】
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：∵某正数的平方根分别是和，
∴+=0，
解得：a=-2.
故答案为：-2.
【分析】根据平方根的性质，即可得出+=0，解得a=-2.
15．（2024八上·福田开学考）阅读，一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根（也叫做二次方根）．如：，，所以和2叫做4的平方根，4的平方根记为，，又如：若，则2的平方根是：，填空：25的平方根是　 　，的平方根是　 　，5的平方根是　 　．
【答案】；；
【知识点】平方根的概念与表示；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：
25的平方根是
的平方根是
5的平方根是
故答案为：；；．
【分析】
如果一个数的平方等于（a≥0），即，那么这个数就叫做的平方根，根据平方根的定义进行计算即可.
16．（2024八上·港南期末）如图，长方形内有2个相邻的正方形，面积分别为9和，那么阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：因为长方形内有2个相邻的正方形，面积分别为9和，所以阴影部分中的小长方形的长为3，宽为，
因此，阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】根据正方形的面积公式可知两个相邻的正方形的边长分别为3和x，再结合图形求出阴影部分中的两个小长方形的长与宽，利用长方形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
17．（2023八上·重庆市期中）有一个数值转换器，原理如图所示，当输入的数为16时，输出的数为　 　．
【答案】
【知识点】无理数的概念；利用开平方求未知数；求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】根据题意
x=16时
4不是无理数，
2不是无理数，
故答案为 ：
【分析】根据给定的计算流程图，代入16，求算术平方根，判断是否能够开尽来判断无理数；能开得尽平方的是有理数，不能开得尽平方的无理数；确认是无理数即可输出y值。
18．（2020八上·张掖月考）已知2a–1的平方根是± ，3a+b–1的算术平方根是6，求a+4b的算术平方根.
【答案】解：由题意得，2a﹣1=17，3a+b﹣1=62，
解得a=9，b=10，
所以，a+4b=9+4×10=9+40=49，
∵72=49，
∴a+4b的算术平方根是7.
【知识点】平方根；算术平方根
【解析】【分析】根据算术平方根和平方根的定义列式求出a、b的值，然后代入代数式求出a+4b的值，再根据算术平方根的定义解答.
19．（2024八上·贵州期中）一个正数b的两个平方根分别是与，
（1）求和的值．
（2）求平方根．
【答案】（1）解：∵一个正数b的两个平方根分别是与，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，，∴，
∵36的平方根为，
∴的平方根为．

【知识点】平方根的概念与表示；开平方（求平方根）；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】（1）根据平方根的定义得到，求出a值，即可求出b的值；
（2）把a，b的值代入得到的值，然后利用平方根的定义解题．
（1）解：∵一个正数b的两个平方根分别是与，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：由（1）得，，
∴，
∵36的平方根为，
∴的平方根为．
三、综合拓展
20．（2022八上·晋江月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方根．
【答案】（1）解：∵AB＝2，
∴，
∴，
∴
；
（2）解：∵|2c＋6|与互为相反数，
∴，
∵，，
∴2c＋6＝0，d 4＝0，
∴c＝ 3，d＝4，
∴，
∴的平方根是．
【知识点】平方根；实数在数轴上表示；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）通过A，B在数轴上表示的数和AB的距离求出m的值，进而判断出m+1与m-1的正负，再利用绝对值的非负性进行化简并合并即可；
（2）利用非负数的性质（几个非负数的和等于0，那么这几个非负数就分别等于0），得到c、d的值，代入求值即可.
21．（2017七下·东城期中）阅读下列材料：如果一个数 的 （ 是大于 的整数）次方等于 ，这个数就 叫做 的 次方根，即 ，则 叫做 的 次方根．如： ， ，则 ， 是 的 次方根，或者说 的 次方根是 和 ；再加 ，则 叫做 的 次方根，或者说 的 次方根是 ．
回答问题：
（1） 的 次方根是　 　， 的 次方根是　 　， 的 次方根是　 　．
（2）我们学习过一个数的平方根有以下的形质：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数； 的平方根是 ；负数没有平方根．类比一个数的平方根的性质，归纳一个数的 （ 是大于 的整数）次方根的性质．
【答案】（1）；；
（2）解：一个数 次方根的性质（ 为大于 的整数）．
①正数的 次方根
② 的 次方根为 ．
③负数的 次方根
【知识点】平方根；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：( ）因为（±2）6=64，所以64的6次方根是±2；因为(-3)5=-243，所以-243的5次方根是-3；因为010=0，所以0的10次方根是0.
【分析】本题运用乘方的性质，可求出结果.
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