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四川省仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题
一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2025高二下·仁寿期末）已知为等差数列的前n项和，若，=21，则的值为
A．6 B．7 C．8 D．9
2．（2025高二下·仁寿期末）在数列中，，，且，，则p，q的值分别为（　　）．
A．，6 B．2，1
C．，6或2，1 D．，7
3．（2025高二下·仁寿期末）若是等差数列，且，，则（　　）
A．39 B．20 C．19.5 D．33
4．（2025高二下·仁寿期末）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，是数列的“谷值点”在数列中，若，则数列的“谷值点”为（　　）
A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7
5．（2025高二下·仁寿期末）在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在使得，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·仁寿期末）已知数列中，，当时，，设，则数列的通项公式为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·仁寿期末）设分别为等比数列，的前项和，若，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·仁寿期末）已知数列满足：，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．（2025高二下·仁寿期末）已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（　　）
A．是递增数列 B．数列是递增数列
C．数列中的最小项为 D．、、成等差数列
10．（2025高二下·仁寿期末）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（　　）
A．若，则是等差数列
B．若是等比数列，且，，则
C．若是等差数列，则
D．若，则是等比数列
11．（2025高二下·仁寿期末）下列说法正确的是（　　）
A．若为等差数列，为其前项和，则，，，…仍为等差数列
B．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列
C．若为等差数列，，，则前项和有最大值
D．若数列满足，则
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（2025高二下·仁寿期末）在等比数列中，，，则　 　.
13．（2025高二下·仁寿期末）已知数列{an}中，an+2，且m∈R，a1＝1，a2＝2，a8＝16，则{an}的前2n项和S2n＝　 　.
14．（2025高二下·仁寿期末）已知是等差数列的前n项和，，，则的最小值为　 　．
四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）
15．（2025高二下·仁寿期末）已知等差数列的前项和为，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求取得最大值时的值.
16．（2025高二下·仁寿期末）已知数列满足，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若且，求数列的前项和.
17．（2025高二下·仁寿期末）设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有.
（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式．
（2）求数列的前n项和.
18．（2025高二下·仁寿期末）在①；②公差为，且成等比数列；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，______.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，其中表示不超过的最大整数，求的值.
19．（2025高二下·仁寿期末）已知正项数列的首项，前n项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，首项为，
由题意可得：，解得，
则.
故答案为：D.
【分析】设等差数列的公差为，首项为，由题意列关于的方程组求解，结合等差数列的通项公式求的值即可.
2．【答案】C
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，，且，
可得当时，，
当时，，
当时，，
因为，，所以，解得或.
故答案为：C.
【分析】根据数列的递推公式表示、，由，列关于的方程组求解即可.
3．【答案】D
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，且是等差数列，
所以，则，
因为，且是等差数列，
所以，则，
所以，公差，
所以，.
故答案为：D.
【分析】根据等差数列的性质求出和的值，再利用等差数列的性质得出公差的值，结合等差数列的性质可得的值.
4．【答案】C
【知识点】数列的函数特性；数列的应用
【解析】【解答】因为
，
所以
，
，
，
，
，
，
，
，
当
，
，
，所以
，
因为函数
在
上单调递增，
所以
时，数列
为单调递增数列，
所以
，
，
，
，
所以数列
的“谷值点”为2，7．
故答案为：C.
【分析】先求出
，
，
，
，
，
，
，
，再得到
，
，
，结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解．
5．【答案】D
【知识点】基本不等式；等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设正项等比数列的公比为，且，
因为数列的前三项的和为7，所以，即，解得，
又因为，所以，所以，所以，
则，当且仅当，时等号成立，但是m，，故，时，取的最小值，最小值为.
故答案为：D．
【分析】设正项等比数列的公比为，且，根据数列的前三项和为2，求得公比，再由可得，最后利用基本不等式求解即可.
6．【答案】A
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：在数列中，，
当时，，，
，
，且，
.
故答案为：A．
【分析】根据递推关系式得到，再利用累加法得出数列的通项公式．
7．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，，等比数列的公比为，，
因为，所以，
所以，即，
，即，
联立，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】设等比数列的公比为，，等比数列的公比为，，根据，表示，化简联立求得，再根据等比数列的通项公式求解即可.
8．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：的特征方程 ，
即 ，可得 ，
故，两式相除得：，
即数列 是以为首项，3为公比为的等比数列，
故，则 ，
由于对任意恒成立，
故对任意恒成立，
即对任意恒成立，
而随n的增大而减小，当时，取到最大值1，故 .
故答案为：D.
【分析】根据的特征方程为，化简求得两解，构造等比数列，求得，结合，得到对任意恒成立，结合其单调性求解即可.
9．【答案】A,B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的递推公式；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：数列满足，即，则数列是以-5为首项，3为公差的等差数列，即，；
A、因为，所以数列是递增数列，故A正确；
B、，则数列是递增数列，故B正确；
C、因为，所以数列中的最小项为，故C错误；
D、当时，，显然不是等差数列，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由题意可得数列是以-5为首项，3为公差的等差数列，求其通项公式以及前n项和，再根根据通项公式和求和公式逐项判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：A、若，当时，，
当时，则，经检验，满足上式，则，，即数列是等差数列，故A正确；
B、设等比数列的公比为，则
，即，故B错误；
C、 若是等差数列， 则，故C正确；
D、 若， 当时，，当时，，，则，经检验，满足上式，则，因为，所以数列是等比数列，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据与的关系求通项公式即可判断AD；设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式结合作差法即可判断B；根据等差数列求和公式以及性质计算即可判定C.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【解答】解：对于A，设数列的公差为，
因为，，，，
可得，
所以，，，构成等差数列，故A正确；
对于B，设数列的公比为，
当时，取，此时，则数列不成等比数列，故B错误；
对于C，当，时，等差数列为递减数列，此时所有正数项的和为的最大值，
故C正确；
对于D，由，
可得，
所以或，
则，所以
所以
，
因为，
所以，
可得，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据等差数列的定义可判断选项A；当时，取，从而得到的值，再可判断选项B；根据等差数列的性质可判断选项C；先化简得到，再利用裂项相消法可判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：等比数列满足，，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
故.
故答案为：.
【分析】由题意可知数列是等比数列，利用等比数列求和公式求解即可.
13．【答案】n2+2n+1﹣2
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，，
可得，
，即，解得，
即数列奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成公比为2的等比数列，
则.
故答案为：.
【分析】利用递推关系求出数列的项，可得数列的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成公比为2的等比数列，再利用等差数列、等比数列的求和公式求解即可.
14．【答案】28
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意，得，
可得，
则，
∴，
则，
∴，
当且仅当时等号成立，
又因为，且，
当时，；
当时，，
则当或n=5时，的最小值为.
故答案为：.
【分析】由已知条件结合等差数列的通项公式，从而可得，进而求出等差数列的基本量，再利用等差数列的通项公式写出数列的通项公式，结合等差数列前n项和公式可得，再利用基本不等式求最值的方法和，从而得出当或n=5时目标式有最小值，进而得到答案.
15．【答案】解：设差等数列公差为，由题意可得，
解得，则；
（2）由（1）可得，
则，即，即，
由，故，
故取最大值时的值为10.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）设差等数列公差为，由题意列关于的方程组求解，即可等差数列的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用等差数列的前项和公式求出，从而求出此数列的正数项，从而确定取得最大值时的值.
16．【答案】（1）证明： 数列满足， ，
则，
因为，所以，
则数列是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）解：由（1）可知，，则，
因为，当时，，所以，
当时，也符合，即，则，
，①
，②
①-②得：，
则.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用定义法证明数列为等差数列即；
（2）根据（1）的结论求出，得，，利用错位相减法求和即可.
（1）证明：因为，
所以.
因为，所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可知，，所以.
因为，当时，，所以，
当时，也符合，所以，所以，
所以，①
，②
①-②，得，
所以.
17．【答案】解：（1）数列 对于任意的正整数n都有 ，
当时，，解得，
当时，，整理得，
则，即，即，
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，即，解得，
故数列的通项公式为；
（2）由（1）可得：，
设，
，
所以，
又因为，
所以数列的前n项和为：
．
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用的关系，化简可得，即，得数列为等比数列，求得的通项公式，即可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可．
18．【答案】（1）解：设等差数列首项为，公差为，
若选①，由题意可得，解得，则；
若选②，由题意可得：，解得，则；
若选③，由题意可得：，则；
（2）解：由（1）的结论可得：若选①，，
当时，，
则；
若选②，，当时，
，则；
若选③，，当时，
，则.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列首项为，公差为，由题意列关系首项和公差的方程，求解即可得等差数列得通项公式；
（2）由（1）的结论，根据数列的规律求即可.
（1）依题意，数列是公差不为零的等差数列，设其首项为，公差为.
若选①，则，解得，所以.
若选②，则，解得，所以.
若选③，则，所以.
（2）若选①，，则当时，有：
，所以.
若选②，，则当时，有：
，所以.
若选③，，则当时，有：
，所以.
19．【答案】（1）解： 正项数列 ， 前n项和满足 ，
当时，，
则，即，
因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则，
由（），
当时，也适合，则；
（2）解：由（1）可得：，
则，
因为对任意的，不等式恒成立，所以，解得或，
则实数的范围是.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列与不等式的综合；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据的关系，得，即数列是首项为1，公差为1的等差数列，，再根据求数列的通项公式即可；
（2）由（1）可得，利用裂项法求和，由题意列出不等式求解即可.
（1）当时，，
∴，即，又，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故，
又由（），
当时，也适合，
所以.
（2）∵，
∴，
又∵对任意的，不等式恒成立，
∴，解得或.
即所求实数的范围是或.
1 / 1四川省仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题
一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2025高二下·仁寿期末）已知为等差数列的前n项和，若，=21，则的值为
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，首项为，
由题意可得：，解得，
则.
故答案为：D.
【分析】设等差数列的公差为，首项为，由题意列关于的方程组求解，结合等差数列的通项公式求的值即可.
2．（2025高二下·仁寿期末）在数列中，，，且，，则p，q的值分别为（　　）．
A．，6 B．2，1
C．，6或2，1 D．，7
【答案】C
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由，，且，
可得当时，，
当时，，
当时，，
因为，，所以，解得或.
故答案为：C.
【分析】根据数列的递推公式表示、，由，列关于的方程组求解即可.
3．（2025高二下·仁寿期末）若是等差数列，且，，则（　　）
A．39 B．20 C．19.5 D．33
【答案】D
【知识点】等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，且是等差数列，
所以，则，
因为，且是等差数列，
所以，则，
所以，公差，
所以，.
故答案为：D.
【分析】根据等差数列的性质求出和的值，再利用等差数列的性质得出公差的值，结合等差数列的性质可得的值.
4．（2025高二下·仁寿期末）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，是数列的“谷值点”在数列中，若，则数列的“谷值点”为（　　）
A．2 B．7 C．2，7 D．2，3，7
【答案】C
【知识点】数列的函数特性；数列的应用
【解析】【解答】因为
，
所以
，
，
，
，
，
，
，
，
当
，
，
，所以
，
因为函数
在
上单调递增，
所以
时，数列
为单调递增数列，
所以
，
，
，
，
所以数列
的“谷值点”为2，7．
故答案为：C.
【分析】先求出
，
，
，
，
，
，
，
，再得到
，
，
，结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解．
5．（2025高二下·仁寿期末）在正项等比数列中，，前三项的和为7，若存在使得，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式；等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设正项等比数列的公比为，且，
因为数列的前三项的和为7，所以，即，解得，
又因为，所以，所以，所以，
则，当且仅当，时等号成立，但是m，，故，时，取的最小值，最小值为.
故答案为：D．
【分析】设正项等比数列的公比为，且，根据数列的前三项和为2，求得公比，再由可得，最后利用基本不等式求解即可.
6．（2025高二下·仁寿期末）已知数列中，，当时，，设，则数列的通项公式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：在数列中，，
当时，，，
，
，且，
.
故答案为：A．
【分析】根据递推关系式得到，再利用累加法得出数列的通项公式．
7．（2025高二下·仁寿期末）设分别为等比数列，的前项和，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，，等比数列的公比为，，
因为，所以，
所以，即，
，即，
联立，解得，
则.
故答案为：C.
【分析】设等比数列的公比为，，等比数列的公比为，，根据，表示，化简联立求得，再根据等比数列的通项公式求解即可.
8．（2025高二下·仁寿期末）已知数列满足：，若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；数列与不等式的综合
【解析】【解答】解：的特征方程 ，
即 ，可得 ，
故，两式相除得：，
即数列 是以为首项，3为公比为的等比数列，
故，则 ，
由于对任意恒成立，
故对任意恒成立，
即对任意恒成立，
而随n的增大而减小，当时，取到最大值1，故 .
故答案为：D.
【分析】根据的特征方程为，化简求得两解，构造等比数列，求得，结合，得到对任意恒成立，结合其单调性求解即可.
二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）
9．（2025高二下·仁寿期末）已知数列的前项和为，若，则下列说法正确的是（　　）
A．是递增数列 B．数列是递增数列
C．数列中的最小项为 D．、、成等差数列
【答案】A,B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的递推公式；数列与函数的综合
【解析】【解答】解：数列满足，即，则数列是以-5为首项，3为公差的等差数列，即，；
A、因为，所以数列是递增数列，故A正确；
B、，则数列是递增数列，故B正确；
C、因为，所以数列中的最小项为，故C错误；
D、当时，，显然不是等差数列，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】由题意可得数列是以-5为首项，3为公差的等差数列，求其通项公式以及前n项和，再根根据通项公式和求和公式逐项判断即可.
10．（2025高二下·仁寿期末）已知数列的前项和为，下列说法正确的是（　　）
A．若，则是等差数列
B．若是等比数列，且，，则
C．若是等差数列，则
D．若，则是等比数列
【答案】A,C,D
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：A、若，当时，，
当时，则，经检验，满足上式，则，，即数列是等差数列，故A正确；
B、设等比数列的公比为，则
，即，故B错误；
C、 若是等差数列， 则，故C正确；
D、 若， 当时，，当时，，，则，经检验，满足上式，则，因为，所以数列是等比数列，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据与的关系求通项公式即可判断AD；设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式结合作差法即可判断B；根据等差数列求和公式以及性质计算即可判定C.
11．（2025高二下·仁寿期末）下列说法正确的是（　　）
A．若为等差数列，为其前项和，则，，，…仍为等差数列
B．若为等比数列，为其前项和，则，，，仍为等比数列
C．若为等差数列，，，则前项和有最大值
D．若数列满足，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列概念与表示；等比数列概念与表示；数列的求和
【解析】【解答】解：对于A，设数列的公差为，
因为，，，，
可得，
所以，，，构成等差数列，故A正确；
对于B，设数列的公比为，
当时，取，此时，则数列不成等比数列，故B错误；
对于C，当，时，等差数列为递减数列，此时所有正数项的和为的最大值，
故C正确；
对于D，由，
可得，
所以或，
则，所以
所以
，
因为，
所以，
可得，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据等差数列的定义可判断选项A；当时，取，从而得到的值，再可判断选项B；根据等差数列的性质可判断选项C；先化简得到，再利用裂项相消法可判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
三、填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）
12．（2025高二下·仁寿期末）在等比数列中，，，则　 　.
【答案】
【知识点】等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：等比数列满足，，
则数列是以为首项，为公比的等比数列，
故.
故答案为：.
【分析】由题意可知数列是等比数列，利用等比数列求和公式求解即可.
13．（2025高二下·仁寿期末）已知数列{an}中，an+2，且m∈R，a1＝1，a2＝2，a8＝16，则{an}的前2n项和S2n＝　 　.
【答案】n2+2n+1﹣2
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，，
可得，
，即，解得，
即数列奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成公比为2的等比数列，
则.
故答案为：.
【分析】利用递推关系求出数列的项，可得数列的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成公比为2的等比数列，再利用等差数列、等比数列的求和公式求解即可.
14．（2025高二下·仁寿期末）已知是等差数列的前n项和，，，则的最小值为　 　．
【答案】28
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意，得，
可得，
则，
∴，
则，
∴，
当且仅当时等号成立，
又因为，且，
当时，；
当时，，
则当或n=5时，的最小值为.
故答案为：.
【分析】由已知条件结合等差数列的通项公式，从而可得，进而求出等差数列的基本量，再利用等差数列的通项公式写出数列的通项公式，结合等差数列前n项和公式可得，再利用基本不等式求最值的方法和，从而得出当或n=5时目标式有最小值，进而得到答案.
四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分）
15．（2025高二下·仁寿期末）已知等差数列的前项和为，且满足：，.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前项和为，求取得最大值时的值.
【答案】解：设差等数列公差为，由题意可得，
解得，则；
（2）由（1）可得，
则，即，即，
由，故，
故取最大值时的值为10.
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）设差等数列公差为，由题意列关于的方程组求解，即可等差数列的通项公式；
（2）由（1）的结论，利用等差数列的前项和公式求出，从而求出此数列的正数项，从而确定取得最大值时的值.
16．（2025高二下·仁寿期末）已知数列满足，.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）若且，求数列的前项和.
【答案】（1）证明： 数列满足， ，
则，
因为，所以，
则数列是首项为1，公差为1的等差数列；
（2）解：由（1）可知，，则，
因为，当时，，所以，
当时，也符合，即，则，
，①
，②
①-②得：，
则.
【知识点】等差数列概念与表示；数列的求和；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由题意，利用定义法证明数列为等差数列即；
（2）根据（1）的结论求出，得，，利用错位相减法求和即可.
（1）证明：因为，
所以.
因为，所以，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可知，，所以.
因为，当时，，所以，
当时，也符合，所以，所以，
所以，①
，②
①-②，得，
所以.
17．（2025高二下·仁寿期末）设数列的前项n和为，若对于任意的正整数n都有.
（1）设，求证：数列是等比数列，并求出的通项公式．
（2）求数列的前n项和.
【答案】解：（1）数列 对于任意的正整数n都有 ，
当时，，解得，
当时，，整理得，
则，即，即，
因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
则，即，解得，
故数列的通项公式为；
（2）由（1）可得：，
设，
，
所以，
又因为，
所以数列的前n项和为：
．
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）利用的关系，化简可得，即，得数列为等比数列，求得的通项公式，即可得数列的通项公式；
（2）由（1）可得，利用错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式求解即可．
18．（2025高二下·仁寿期末）在①；②公差为，且成等比数列；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，______.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，其中表示不超过的最大整数，求的值.
【答案】（1）解：设等差数列首项为，公差为，
若选①，由题意可得，解得，则；
若选②，由题意可得：，解得，则；
若选③，由题意可得：，则；
（2）解：由（1）的结论可得：若选①，，
当时，，
则；
若选②，，当时，
，则；
若选③，，当时，
，则.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）设等差数列首项为，公差为，由题意列关系首项和公差的方程，求解即可得等差数列得通项公式；
（2）由（1）的结论，根据数列的规律求即可.
（1）依题意，数列是公差不为零的等差数列，设其首项为，公差为.
若选①，则，解得，所以.
若选②，则，解得，所以.
若选③，则，所以.
（2）若选①，，则当时，有：
，所以.
若选②，，则当时，有：
，所以.
若选③，，则当时，有：
，所以.
19．（2025高二下·仁寿期末）已知正项数列的首项，前n项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解： 正项数列 ， 前n项和满足 ，
当时，，
则，即，
因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，则，
由（），
当时，也适合，则；
（2）解：由（1）可得：，
则，
因为对任意的，不等式恒成立，所以，解得或，
则实数的范围是.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和；数列与不等式的综合；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据的关系，得，即数列是首项为1，公差为1的等差数列，，再根据求数列的通项公式即可；
（2）由（1）可得，利用裂项法求和，由题意列出不等式求解即可.
（1）当时，，
∴，即，又，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故，
又由（），
当时，也适合，
所以.
（2）∵，
∴，
又∵对任意的，不等式恒成立，
∴，解得或.
即所求实数的范围是或.
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