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江苏省盐城市响水县清源高级中学2024-2025学年高一下学期期末模拟考试数学试题
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．（2025高一下·响水期末）已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·响水期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）．
A．， B．，
C．， D．，
3．（2025高一下·响水期末）若的方差为3，则的方差为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．（2025高一下·响水期末）已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（　　）
A．3 B． C．4 D．12
5．（2025高一下·响水期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·响水期末）如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一下·响水期末）在平行四边形中，已知，（如图1），将沿BD折起到的位置（如图2），使得平面平面，则直线SB与直线CD所成角为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
8．（2025高一下·响水期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·响水期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（　　）
A．A与B互斥 B．A与C相互独立
C． D．
10．（2025高一下·响水期末）设，是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．若，则的最大值为
11．（2025高一下·响水期末）如图，正方形的中心为，边长为4，将其沿对角线折成直二面角，设为的中点，为的中点，则下列结论正确的有（　　）
A．三棱锥的外接球表面积为
B．直线与平面所成角的正切值为
C．点到平面的距离为
D．三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的体积为
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·响水期末）某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是　 　．
13．（2025高一下·响水期末）已知且，则　 　．
14．（2025高一下·响水期末）已知，则的最小值为　 　．
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·响水期末）在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；
（2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
（3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
16．（2025高一下·响水期末）设函数．
（1）求函数的最小正周期及其图象的对称轴；
（2）将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，求函数在上的值域．
17．（2025高一下·响水期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
（3）若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
18．（2025高一下·响水期末）如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线到平面的距离．
19．（2025高一下·响水期末）给出以下基本事实：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.已知函数的定义域为，其图象关于点对称，当时，，函数，其中.
（1）根据基本事实，求的值；
（2）根据基本事实，探求的图象的对称中心横坐标m的值；
（3）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，图中阴影部分所表示的集合为，
又因为，
所以，
则图中阴影部分所表示的集合为.
故答案为：A.
【分析】利用图中阴影部分所表示的集合为，从而求出集合，再根据交集和补集的运算法则，从而得出图中阴影部分所表示的集合.
2．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为与不共线，其余选项中、均共线，
所以，选项B中的两向量可以作为基底．
故答案为：B.
【分析】利用不共线的非零向量可以作为向量的基底，从而找出可以作为基底的一组向量.
3．【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为的方差为3，
所以的方差为.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和方差的性质，从而得出的方差.
4．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为，
所以，
所以，
所以，
所以，得，
所以.
故答案为：B.
【分析】先由向量在向量上的投影向量和数量积求投影向量的公式，从而求出的值，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值.
5．【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：令，因为，所以，
令，则
所以
故选：B.
【分析】利用换元法，令可得，令，由此可以找到与的关系，然后根据三角恒等变换：诱导公式和二倍角余弦公式进行求值即可.
6．【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为，
则，
则.
故答案为：B.
【分析】根据韦恩图进行分析，再结合并事件的定义和对立事件的定义以及古典概率公式，从而得出的值.
7．【答案】B
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：如图，分别取的中点，
依次连接，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又因为，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，
所以，直线SB与直线CD所成角即直线与直线所成角或其补角，
设，则，
所以，
因为所以，
在中，因为，
所以，
则直线SB与直线CD的所成角为。
故答案为：B.
【分析】分别取的中点，从而得到直线SB与直线CD所成角为直线与直线所成角或其补角，设边长，再利用已知条件和中点的性质，从而求出的三边长，再利用等边三角形的性质，从而得出直线SB与直线CD所成角.
8．【答案】C
【知识点】函数的值域；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
则由正弦定理，得：，
所以，
所以，则，
又因为，
所以，
因为锐角三角形ABC，
所以，
则，解得，
则
令，
因为，所以，
则在单调递减，
所以.
故答案为：C.
【分析】由正弦定理将边化角，从而得到，由锐角三角形求出角B的取值范围，再将的取值范围转化为函数的值域问题，从而得出的取值范围.
9．【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则
，
，
，
所以有，
，
对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误；
对于B，，A、C相互独立，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误．
故选：BC．
【分析】根据题意，由互斥事件的定义（互斥事件是指两个或多个事件在任何一次试验中都不会同时发生）分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式（事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数）分析C、D，综合可得答案．
10．【答案】B,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设，则.
对于A：因为，
又因为是非零复数，所以，故A错误；
对于B：设，
所以
，
又因为，故B正确；
对于C：因为，故C正确；
对于D：根据复数的几何意义，表示以原点为圆心，1为半径的圆，
又因为则表示圆上一点到点的距离，
所以的最大值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】通过设出具体的代数形式的复数，再利用复数的运算法则、复数求模公式、共轭复数的定义，从而判断出选项A、选项B和选项C；利用复数的几何意义、复数求模公式结合数形结合求最值的方法，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、正方形的中心为，则，即O为三棱锥的球心，半径为，则三棱锥的外接球表面积为，故A正确；
B、过M作MH⊥AC于H，如图所示：
则MH⊥平面ABC，即∠MNH即为直线MN与平面ABC所成的角，易知MH=，NH=，，故B错误；
C、由，可得，因为，所以，，所以，所以C到平面OMN的距离，故C正确；
D、过O作OT⊥MN于T，如图所示：
则旋转体体积是以OT为底面半径，以TM为高的圆锥的体积的两倍，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先找三棱锥的外接球的球心，再根据球的表面积公式求解即可判断A；过M作MH⊥AC于H，推得∠MNH即为直线MN与平面ABC所成的角，求解即可判断B；利用等体积法QIUJE求解即可判断C；由题可知旋转体为两个底面重合的圆锥构成的组合体计算体积即可判断D.
12．【答案】125
【知识点】极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将7个数据从小到大排列为70，73，85，90，95，97，98，
因为，所以这7人成绩的上四分位数是97，极差为，
故上四分位数与极差之和是．
故答案为：125.
【分析】根据百分位数、极差定义求出上四分位数与极差，从而得出这7人成绩的上四分位数与极差之和.
13．【答案】64
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：由题意，可得，
整理得或，
又因为，所以，
所以.
故答案为：64.
【分析】将利用换底公式转化成来表示，利用a的取值范围和解一元二次方程的根的方法，从而得出的值，再结合指数式与对数式的互化公式，从而得出a的值.
14．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】解：易知，由，可得，即，
则，当且仅当时等号成立，
故当时，取得最小值.
故答案为：.
【分析】利用对数运算结合基本不等式求最小值即可.
15．【答案】（1）解：从图中可知组距为，
则的频率分别为，
从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时，
成绩不高于50分的人数为（人）.
（2）解：由图可知，
解得.
使用组中值与频率，可估计平均数为：
因为，
且，
所以，中位数在内，
设估计的中位数为，则，
解得.
（3）解：记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件、、，
则三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率为：
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）先利用频率分步直方图中各小组的矩形面积等于各小组的频率，从而分别求出的频率，再由10乘以抽样比得出10人中成绩不高于50分的人数.
（2）根据频率分步直方图中各小组的矩形面积等于各小组的频率和频率的基本性质，从而得出实数的值；再利用各组中值与频率可估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数；先确定中位数所在的小长方形，再设中位数为，则利用面积等于0.5估计出该校学生首轮竞赛成绩的中位数.
（3）利用已知条件和独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，从而得出三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
（1）从图中可知组距为，则的频率分别为，
从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时，
成绩不高于50分的人数为（人）.
（2）由图可知，解得.
使用组中值与频率可估计平均数为
.
因为且，
所以中位数在内，
设估计的中位数为，则，得.
（3）记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件、、，则
三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率等于
.
16．【答案】（1）解：由题意，
可得：
，
所以的最小正周期为：，
由，
得：，
所以，该函数图象的对称轴方程为：.
（2）解：由题意，可得：
因为，
所以，
则，
所以，函数的值域为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）先利用三角函数变换，则将函数化为形式，利用正弦型函数的最小正周期公式，从而求出函数的最小正周期，再利用换元法和正弦函数图象的对称性，从而得出函数的图象的对称轴.
（2）利用三角型函数的图象变换得出函数的解析式，利用x的取值范围和不等式的基本性质，再结合换元法和余弦函数求值域的方法，从而得出函数在上的值域.
（1）由题可得：
，
所以的最小正周期为：．
由得：，
所以该函数图象的对称轴方程为：
（2）由题可得
．
因为，所以，
得：，
所以的值域为.
17．【答案】（1）解：因为，，
，
所以，
，
，
又因为，
，
，
.
（2）解：，
，
，
，
，
的周长为．
（3）解：在锐角三角形ABC中，，
根据正弦定理，得：，
所以，
因为三角形周长为，
又因为，所以，
所以
，
因为，
所以，
所以，
则，
所以，
所以.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由数量积的坐标表示和两角和的正弦公式以及，从而得出角B的余弦值，在利用三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）利用已知条件和余弦定理以及三角形面积公式，从而得出的周长.
（3）利用正弦定理和三角恒等变换，从而将三角形的周长转化为正弦型函数，再利用锐角三角形中角的取值范围和正弦型函数求值域的方法，从而得出周长的取值范围.
（1），，
即，
，，
又，，，
（2），，
，
，，的周长为．
（3）在锐角三角形ABC中，，
因为根据正弦定理，所以，
因为三角形周长为，
又因为，所以，
所以，
因为，即，所以，
即，，
所以.
18．【答案】（1）证明：连接，交点O，连接，
则O是的中点，
因为点D是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）证明：因为为等边三角形，且点D是的中点，
所以，
由正三棱柱的性质，知平面，
因为平面，
所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（3）解：由（1）知平面，
以直线到平面的距离等价于点B到平面的距离，
由（2）知平面，
所以点A到平面的距离为，
因为2，
又因为4，
设点B到平面ADC1的距离为d，
又因为，
所以，
则，
解得d，
所以，直线A1B到平面ADC1的距离为．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接，交于点O，连接，易得，再由线面平行的判定定理，从而证出平面.
（2）先证明，，从而得出直线平面，再由面面垂直的判定定理证出平面平面.
（3）先将问题转化为求点B到的距离，再利用等体积法得出直线到平面的距离．
（1）连接，交点O，连接，则O是的中点，
因为D是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为为等边三角形，且D是的中点，
所以，由正三棱柱的性质知，平面，
因为平面，所以，
又平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面.
（3）由（1）知平面，
以直线到平面的距离等价于点B到平面的距离，
由（2）知平面，所以点A到平面的距离为，
而2，
4，
设点B到平面ADC1的距离为d，
因为，
所以，即，解得d，
所以直线A1B到平面ADC1的距离为．
19．【答案】（1）解：由定义在上函数的图象关于点对称和基本事实，
得到为定义在上的奇函数，
则，
所以对恒成立，
令，得.
（2）解：设函数的图象关于点对称，
根据基本事实，则为奇函数，
所以
为奇函数，
所以
解得.
（3）解：先证明在上单调递增，
设任意的，且，则
，
由，
可知，，，，，
所以，，
则在上单调递增，
因此，在区间上的值域为，
记在上的值域为B，对任意，总存在，
使得成立知，
由的图象关于对称，则只需即可.
①当，时，在上单调递增，
由对称性知，在上单调递增，
则在上单调递增，只需即可，
故满足题意；
②当时，即当时，
在上单调递减，在上单调递增，
由对称性知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，
所以或，
当时，只需要
解得，
又因为，
所以满足题意；
③当，时，在上单调递减，由
对称性知，在上单调递减，
所以在上单调递减，只需即可，
所以满足题意，
综上所述，的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；图形的对称性
【解析】【分析】（1）由所给函数的图象的对称性和基本事实以及奇函数的定义，从而判断出为定义在上的奇函数，再利用奇函数的性质和赋值法，从而得出的值.
（2）设函数的图象关于点对称，根据基本事实和奇函数的定义判断出函数为奇函数，再利用奇函数的性质得出实数m的值.
（3）利用单调函数的定义证出函数的单调性，从而求出函数的值域，由题意结合恒成立问题求解方法，则对任意，总存在，使得成立，则，由的图象关于对称，则只需，从而分类讨论求出的值域，最后建立不等式求解得出实数a的取值范围.
（1）由定义在上函数的图象关于点对称及基本事实，
得到为定义在上的奇函数，
则，
即对恒成立，
令，得.
（2）设函数的图象关于点对称，根据基本事实，为奇函数.
即
为奇函数，
所以解得.
（3）先证明在上单调递增，
设任意的，且，
则
.
由，可知，，，，，
所以，，则在上单调递增；
因此，在区间上的值域为，
记在上的值域为B，对任意，总存在，使得成立知.
由的图象关于对称，则只需即可.
①当，时，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，
故在上单调递增，只需即可，故满足题意；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
由对称性知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
故或，
当时，只需要
解得，
又，所以满足题意；
③当，时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，
所以在上单调递减，只需即可，所以满足题意.
综上所述，的取值范围为.
1 / 1江苏省盐城市响水县清源高级中学2024-2025学年高一下学期期末模拟考试数学试题
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．（2025高一下·响水期末）已知集合，则图中阴影部分所表示的集合为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：因为，
所以，图中阴影部分所表示的集合为，
又因为，
所以，
则图中阴影部分所表示的集合为.
故答案为：A.
【分析】利用图中阴影部分所表示的集合为，从而求出集合，再根据交集和补集的运算法则，从而得出图中阴影部分所表示的集合.
2．（2025高一下·响水期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（　　）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为与不共线，其余选项中、均共线，
所以，选项B中的两向量可以作为基底．
故答案为：B.
【分析】利用不共线的非零向量可以作为向量的基底，从而找出可以作为基底的一组向量.
3．（2025高一下·响水期末）若的方差为3，则的方差为（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】D
【知识点】极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：因为的方差为3，
所以的方差为.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和方差的性质，从而得出的方差.
4．（2025高一下·响水期末）已知向量和满足，，向量在向量上的投影向量为，则（　　）
A．3 B． C．4 D．12
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为向量在向量上的投影向量为，
所以，
所以，
所以，
所以，得，
所以.
故答案为：B.
【分析】先由向量在向量上的投影向量和数量积求投影向量的公式，从而求出的值，再利用数量积求向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值.
5．（2025高一下·响水期末）若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单的三角恒等变换；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：令，因为，所以，
令，则
所以
故选：B.
【分析】利用换元法，令可得，令，由此可以找到与的关系，然后根据三角恒等变换：诱导公式和二倍角余弦公式进行求值即可.
6．（2025高一下·响水期末）如图是一个古典概型的样本空间和随机事件，其中，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为，
则，
则.
故答案为：B.
【分析】根据韦恩图进行分析，再结合并事件的定义和对立事件的定义以及古典概率公式，从而得出的值.
7．（2025高一下·响水期末）在平行四边形中，已知，（如图1），将沿BD折起到的位置（如图2），使得平面平面，则直线SB与直线CD所成角为（　　）
A．30° B．60° C．90° D．120°
【答案】B
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：如图，分别取的中点，
依次连接，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，
又因为，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，
所以，直线SB与直线CD所成角即直线与直线所成角或其补角，
设，则，
所以，
因为所以，
在中，因为，
所以，
则直线SB与直线CD的所成角为。
故答案为：B.
【分析】分别取的中点，从而得到直线SB与直线CD所成角为直线与直线所成角或其补角，设边长，再利用已知条件和中点的性质，从而求出的三边长，再利用等边三角形的性质，从而得出直线SB与直线CD所成角.
8．（2025高一下·响水期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的值域；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦公式；运用诱导公式化简求值；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
则由正弦定理，得：，
所以，
所以，则，
又因为，
所以，
因为锐角三角形ABC，
所以，
则，解得，
则
令，
因为，所以，
则在单调递减，
所以.
故答案为：C.
【分析】由正弦定理将边化角，从而得到，由锐角三角形求出角B的取值范围，再将的取值范围转化为函数的值域问题，从而得出的取值范围.
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·响水期末）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个白色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件“两个球颜色不同”，“两个球标号的和为奇数”，“两个球标号都不小于2”，则（　　）
A．A与B互斥 B．A与C相互独立
C． D．
【答案】B,C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则
，
，
，
所以有，
，
对于A，，事件A、B可以同时发生，则A、B不互斥，A错误；
对于B，，A、C相互独立，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D错误．
故选：BC．
【分析】根据题意，由互斥事件的定义（互斥事件是指两个或多个事件在任何一次试验中都不会同时发生）分析A，由相互独立事件的定义分析B，由古典概型的计算公式（事件A的概率等于事件A包含的基本事件数除以样本空间的基本事件总数）分析C、D，综合可得答案．
10．（2025高一下·响水期末）设，是非零复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论中正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．若，则的最大值为
【答案】B,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：设，则.
对于A：因为，
又因为是非零复数，所以，故A错误；
对于B：设，
所以
，
又因为，故B正确；
对于C：因为，故C正确；
对于D：根据复数的几何意义，表示以原点为圆心，1为半径的圆，
又因为则表示圆上一点到点的距离，
所以的最大值为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】通过设出具体的代数形式的复数，再利用复数的运算法则、复数求模公式、共轭复数的定义，从而判断出选项A、选项B和选项C；利用复数的几何意义、复数求模公式结合数形结合求最值的方法，则判断出选项D，从而找出结论正确的选项.
11．（2025高一下·响水期末）如图，正方形的中心为，边长为4，将其沿对角线折成直二面角，设为的中点，为的中点，则下列结论正确的有（　　）
A．三棱锥的外接球表面积为
B．直线与平面所成角的正切值为
C．点到平面的距离为
D．三角形沿直线旋转一周得到的旋转体的体积为
【答案】A,C,D
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；直线与平面所成的角；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、正方形的中心为，则，即O为三棱锥的球心，半径为，则三棱锥的外接球表面积为，故A正确；
B、过M作MH⊥AC于H，如图所示：
则MH⊥平面ABC，即∠MNH即为直线MN与平面ABC所成的角，易知MH=，NH=，，故B错误；
C、由，可得，因为，所以，，所以，所以C到平面OMN的距离，故C正确；
D、过O作OT⊥MN于T，如图所示：
则旋转体体积是以OT为底面半径，以TM为高的圆锥的体积的两倍，
所以，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】先找三棱锥的外接球的球心，再根据球的表面积公式求解即可判断A；过M作MH⊥AC于H，推得∠MNH即为直线MN与平面ABC所成的角，求解即可判断B；利用等体积法QIUJE求解即可判断C；由题可知旋转体为两个底面重合的圆锥构成的组合体计算体积即可判断D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高一下·响水期末）某中学举行数学解题比赛，其中7人的比赛成绩分别为：70，97，85，90，98，73，95，则这7人成绩的上四分位数与极差之和是　 　．
【答案】125
【知识点】极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将7个数据从小到大排列为70，73，85，90，95，97，98，
因为，所以这7人成绩的上四分位数是97，极差为，
故上四分位数与极差之和是．
故答案为：125.
【分析】根据百分位数、极差定义求出上四分位数与极差，从而得出这7人成绩的上四分位数与极差之和.
13．（2025高一下·响水期末）已知且，则　 　．
【答案】64
【知识点】指数式与对数式的互化；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：由题意，可得，
整理得或，
又因为，所以，
所以.
故答案为：64.
【分析】将利用换底公式转化成来表示，利用a的取值范围和解一元二次方程的根的方法，从而得出的值，再结合指数式与对数式的互化公式，从而得出a的值.
14．（2025高一下·响水期末）已知，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；基本不等式
【解析】【解答】解：易知，由，可得，即，
则，当且仅当时等号成立，
故当时，取得最小值.
故答案为：.
【分析】利用对数运算结合基本不等式求最小值即可.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·响水期末）在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；
（2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
（3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
【答案】（1）解：从图中可知组距为，
则的频率分别为，
从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时，
成绩不高于50分的人数为（人）.
（2）解：由图可知，
解得.
使用组中值与频率，可估计平均数为：
因为，
且，
所以，中位数在内，
设估计的中位数为，则，
解得.
（3）解：记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件、、，
则三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率为：
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；众数、中位数、平均数；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）先利用频率分步直方图中各小组的矩形面积等于各小组的频率，从而分别求出的频率，再由10乘以抽样比得出10人中成绩不高于50分的人数.
（2）根据频率分步直方图中各小组的矩形面积等于各小组的频率和频率的基本性质，从而得出实数的值；再利用各组中值与频率可估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数；先确定中位数所在的小长方形，再设中位数为，则利用面积等于0.5估计出该校学生首轮竞赛成绩的中位数.
（3）利用已知条件和独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式以及互斥事件加法求概率公式，从而得出三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
（1）从图中可知组距为，则的频率分别为，
从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时，
成绩不高于50分的人数为（人）.
（2）由图可知，解得.
使用组中值与频率可估计平均数为
.
因为且，
所以中位数在内，
设估计的中位数为，则，得.
（3）记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件、、，则
三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率等于
.
16．（2025高一下·响水期末）设函数．
（1）求函数的最小正周期及其图象的对称轴；
（2）将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，求函数在上的值域．
【答案】（1）解：由题意，
可得：
，
所以的最小正周期为：，
由，
得：，
所以，该函数图象的对称轴方程为：.
（2）解：由题意，可得：
因为，
所以，
则，
所以，函数的值域为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【分析】（1）先利用三角函数变换，则将函数化为形式，利用正弦型函数的最小正周期公式，从而求出函数的最小正周期，再利用换元法和正弦函数图象的对称性，从而得出函数的图象的对称轴.
（2）利用三角型函数的图象变换得出函数的解析式，利用x的取值范围和不等式的基本性质，再结合换元法和余弦函数求值域的方法，从而得出函数在上的值域.
（1）由题可得：
，
所以的最小正周期为：．
由得：，
所以该函数图象的对称轴方程为：
（2）由题可得
．
因为，所以，
得：，
所以的值域为.
17．（2025高一下·响水期末）在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，
（1）求角的大小；
（2）若，的面积为，求的周长．
（3）若三角形为锐角三角形，且，求周长的取值范围.
【答案】（1）解：因为，，
，
所以，
，
，
又因为，
，
，
.
（2）解：，
，
，
，
，
的周长为．
（3）解：在锐角三角形ABC中，，
根据正弦定理，得：，
所以，
因为三角形周长为，
又因为，所以，
所以
，
因为，
所以，
所以，
则，
所以，
所以.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）由数量积的坐标表示和两角和的正弦公式以及，从而得出角B的余弦值，在利用三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）利用已知条件和余弦定理以及三角形面积公式，从而得出的周长.
（3）利用正弦定理和三角恒等变换，从而将三角形的周长转化为正弦型函数，再利用锐角三角形中角的取值范围和正弦型函数求值域的方法，从而得出周长的取值范围.
（1），，
即，
，，
又，，，
（2），，
，
，，的周长为．
（3）在锐角三角形ABC中，，
因为根据正弦定理，所以，
因为三角形周长为，
又因为，所以，
所以，
因为，即，所以，
即，，
所以.
18．（2025高一下·响水期末）如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求直线到平面的距离．
【答案】（1）证明：连接，交点O，连接，
则O是的中点，
因为点D是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
（2）证明：因为为等边三角形，且点D是的中点，
所以，
由正三棱柱的性质，知平面，
因为平面，
所以，
又因为平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面.
（3）解：由（1）知平面，
以直线到平面的距离等价于点B到平面的距离，
由（2）知平面，
所以点A到平面的距离为，
因为2，
又因为4，
设点B到平面ADC1的距离为d，
又因为，
所以，
则，
解得d，
所以，直线A1B到平面ADC1的距离为．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）连接，交于点O，连接，易得，再由线面平行的判定定理，从而证出平面.
（2）先证明，，从而得出直线平面，再由面面垂直的判定定理证出平面平面.
（3）先将问题转化为求点B到的距离，再利用等体积法得出直线到平面的距离．
（1）连接，交点O，连接，则O是的中点，
因为D是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）因为为等边三角形，且D是的中点，
所以，由正三棱柱的性质知，平面，
因为平面，所以，
又平面，
所以平面，因为平面，
所以平面平面.
（3）由（1）知平面，
以直线到平面的距离等价于点B到平面的距离，
由（2）知平面，所以点A到平面的距离为，
而2，
4，
设点B到平面ADC1的距离为d，
因为，
所以，即，解得d，
所以直线A1B到平面ADC1的距离为．
19．（2025高一下·响水期末）给出以下基本事实：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数.已知函数的定义域为，其图象关于点对称，当时，，函数，其中.
（1）根据基本事实，求的值；
（2）根据基本事实，探求的图象的对称中心横坐标m的值；
（3）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由定义在上函数的图象关于点对称和基本事实，
得到为定义在上的奇函数，
则，
所以对恒成立，
令，得.
（2）解：设函数的图象关于点对称，
根据基本事实，则为奇函数，
所以
为奇函数，
所以
解得.
（3）解：先证明在上单调递增，
设任意的，且，则
，
由，
可知，，，，，
所以，，
则在上单调递增，
因此，在区间上的值域为，
记在上的值域为B，对任意，总存在，
使得成立知，
由的图象关于对称，则只需即可.
①当，时，在上单调递增，
由对称性知，在上单调递增，
则在上单调递增，只需即可，
故满足题意；
②当时，即当时，
在上单调递减，在上单调递增，
由对称性知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，
所以或，
当时，只需要
解得，
又因为，
所以满足题意；
③当，时，在上单调递减，由
对称性知，在上单调递减，
所以在上单调递减，只需即可，
所以满足题意，
综上所述，的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；图形的对称性
【解析】【分析】（1）由所给函数的图象的对称性和基本事实以及奇函数的定义，从而判断出为定义在上的奇函数，再利用奇函数的性质和赋值法，从而得出的值.
（2）设函数的图象关于点对称，根据基本事实和奇函数的定义判断出函数为奇函数，再利用奇函数的性质得出实数m的值.
（3）利用单调函数的定义证出函数的单调性，从而求出函数的值域，由题意结合恒成立问题求解方法，则对任意，总存在，使得成立，则，由的图象关于对称，则只需，从而分类讨论求出的值域，最后建立不等式求解得出实数a的取值范围.
（1）由定义在上函数的图象关于点对称及基本事实，
得到为定义在上的奇函数，
则，
即对恒成立，
令，得.
（2）设函数的图象关于点对称，根据基本事实，为奇函数.
即
为奇函数，
所以解得.
（3）先证明在上单调递增，
设任意的，且，
则
.
由，可知，，，，，
所以，，则在上单调递增；
因此，在区间上的值域为，
记在上的值域为B，对任意，总存在，使得成立知.
由的图象关于对称，则只需即可.
①当，时，在上单调递增，由对称性知，在上单调递增，
故在上单调递增，只需即可，故满足题意；
②当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
由对称性知，在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
故或，
当时，只需要
解得，
又，所以满足题意；
③当，时，在上单调递减，由对称性知，在上单调递减，
所以在上单调递减，只需即可，所以满足题意.
综上所述，的取值范围为.
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