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浙江省温州市平阳县万全综合高级中学2024-2025学年高二（3+2）下学期期末考试数学试题
1．（2025高二下·平阳期末）已知集合且，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025高二下·平阳期末）已知，集合，则与的关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高二下·平阳期末）若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高二下·平阳期末）已知，下列不等式中一定成立是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·平阳期末）2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布杭州亚运会定于2023年9月23日至10月8日举行，用标记亚运会开始的日期，即，用表示亚运会结束的日期，即.那么以实数为端点的区间可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025高二下·平阳期末）化简：（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·平阳期末）计算：（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·平阳期末）在中，满足，则（　　）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
9．（2025高二下·平阳期末）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种 B．14种 C．24种 D．48种
10．（2025高二下·平阳期末）数列的前n项和，则（ ）
A．140 B．120 C．40 D．50
11．（2025高二下·平阳期末）集合，集合，则　 　．
12．（2025高二下·平阳期末）设全集，集合，若，则　 　．
13．（2025高二下·平阳期末）2，4，6，8，10，，第项为　 　.
14．（2025高二下·平阳期末）找规律：1，4，9，16，　 　，36．
15．（2025高二下·平阳期末）若二项式的展开式中常数项为20，则　 　．
16．（2025高二下·平阳期末）若 ，，则　 　
17．（2025高二下·平阳期末）设全集，已知集合，.求和.
18．（2025高二下·平阳期末）在中，角的对边分别为，，，已知，.
（1）求角的大小.
（2）若.
（i）求的值.
（ii）求的面积.
19．（2025高二下·平阳期末）已知是各项均为正数的等比数列，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
20．（2025高二下·平阳期末）已知数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意得，集合且，
表示自然数集，，
又因为集合，
所以.
故答案为：.
【分析】先确定集合中的元素，再根据交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】B
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：因为，集合，
所以，与是元素和集合的关系，
所以，.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和元素与集合之间的关系，从而逐项判断找出与的关系正确的的选项.
3．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
若，则，故C错误；
若，则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和不等式的基本性质，从而逐项判断找出不等式正确的选项.
4．【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A：当时不成立，故A错误；
对于B：当时不成立，故B错误；
对于C：当时不成立，故C错误；
对于D：因为，所以，
则，
所以成立，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和举反例法，则判断出选项A、选项B和选项C；利用不等式的基本性质，则判断出选项D，从而找出不等式一定成立的选项.
5．【答案】C
【知识点】区间与无穷的概念
【解析】【解答】解：以实数为端点的区间可以表示为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和区间的定义，从而得到以实数为端点的区间的表示.
6．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由和差公式和诱导公式，
可得：.
故答案为：B.
【分析】利用两角差的正弦公式和诱导公式，从而化简可得结果.
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：由两角和的余弦公式，
得.
故答案为：D.
【分析】利用角之间的关系式和两角和的余弦公式，从而得出的值.
8．【答案】D
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
又因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】由已知条件和余弦定理变形，从而得到的值，再利用三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
9．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意知，先将2名英语教师分到两个校区，有2种方法，
第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法，
然后再分到两个校区，共有种方法，
第三步只需将其他1人分到人数少的一个校区，
根据分布乘法计数原理知不同的分配方案共有.
故答案为：A.
【分析】先将2名英语教师分到两个校区，再将3名数学老师分成2组再分到两个校区，最后只需将其他1人到人数少的一个校区，再利用排列数公式、组合数公式以及分步乘法计数原理，从而得出不同的分配方案种数.
10．【答案】C
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由，
可得.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和的关系式，从而得出数列第7项的值.
11．【答案】
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
集合，
则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和元素与集合的关系，从而求出集合，再利用并集的运算法则，从而得出集合.
12．【答案】4
【知识点】补集及其运算；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以和是方程的两根，
则，经检验满足题意.
故答案为：4.
【分析】根据补集的运算法则求出集合A，再由韦达定理可得m的值.
13．【答案】
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由数列2，4，6，8，10，，得，
所以.
故答案为：.
【分析】由数列的前五项归纳出数列的通项，从而代入计算出数列第项.
14．【答案】25
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：通过观察可得每个数是它的项数的平方，
则，，，，，.
故答案为：25．
【分析】通过观察可得每个数是它的项数的平方，从而得出答案.
15．【答案】
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，得，
当时，为常数项，
所以，常数项为，
则，
解得.
故答案为：.
【分析】利用二项式定理求出二项式展开式的通项，再利用常数项的定义，从而得出a的值.
16．【答案】2
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：若，，
则.
故答案为：2.
【分析】由角之间的关系式和两角和的正切公式，从而得出的值.
17．【答案】因为全集，，，
所以，
又因为，
所以.
【知识点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】根据已知条件和交集的运算法则、并集的运算法则、补集的运算法则，从而得出集合和集合.
18．【答案】（1）解：由和正弦定理，
可得，
又因为，
则，
所以，
则，
解得.
（2）解：（i）由题意，得，，
由余弦定理，得，
解得或（舍去）.
（ii）由三角形面积公式，
得.
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角的方法，从而化简已知条件，结合三角形中角A，B的取值范围和同角三角函数基本关系式，从而得出角B的正切值，再利用三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）（i）利用已知条件和余弦定理建立方程，从而解方程得出的值.
（ii）利用已知条件和三角形面积公式，从而得出的面积.
（1）由和正弦定理，可得，
而，则，故，
即，解得.
（2）（i）由题意得，，
由余弦定理得，解得或（舍去）.
（ii）由三角形面积公式得.
19．【答案】（1）解：因为
又因为，
所以，
所以，
因此.
（2）解：因为，
又因为，
所以，数列为等差数列，且公差为2，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和指数与对数的互化公式，从而得出数列的首项的值和第6项的值，再利用等比数列的通项公式得出公比的值，结合等比数列的通项公式，从而得出数列的通项公式.
（2）利用数列的通项公式和对数的运算法则，从而得出数列的通项公式，再利用等差数列的定义，从而判断出数列为等差数列，且公差为2，结合等差数列的前n项和公式，从而得出数列的前项和．
（1）又，
故，故，
因此
（2），
由于，
故为等差数列，且公差为2，
故
20．【答案】解：(1)由题意，可知，①
当时，，得，
当时，，②
①-②，得，
所以
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，
所以.
（2）由(1)知，，
则，
所以
所以，.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据，从而求出的值，当时，，将两式作差结合等比数列的定义，从而判断出数列是首项为2，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式，从而得出数列的通项公式.
（2）由数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而得出数列的前项和.
1 / 1浙江省温州市平阳县万全综合高级中学2024-2025学年高二（3+2）下学期期末考试数学试题
1．（2025高二下·平阳期末）已知集合且，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意得，集合且，
表示自然数集，，
又因为集合，
所以.
故答案为：.
【分析】先确定集合中的元素，再根据交集的运算法则，从而得出集合.
2．（2025高二下·平阳期末）已知，集合，则与的关系正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解：因为，集合，
所以，与是元素和集合的关系，
所以，.
故答案为：B.
【分析】根据已知条件和元素与集合之间的关系，从而逐项判断找出与的关系正确的的选项.
3．（2025高二下·平阳期末）若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：若，则，故A错误；
若，则，故B错误；
若，则，故C错误；
若，则，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和不等式的基本性质，从而逐项判断找出不等式正确的选项.
4．（2025高二下·平阳期末）已知，下列不等式中一定成立是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A：当时不成立，故A错误；
对于B：当时不成立，故B错误；
对于C：当时不成立，故C错误；
对于D：因为，所以，
则，
所以成立，故D正确.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件和举反例法，则判断出选项A、选项B和选项C；利用不等式的基本性质，则判断出选项D，从而找出不等式一定成立的选项.
5．（2025高二下·平阳期末）2022年7月19日，亚洲奥林匹克理事会宣布杭州亚运会定于2023年9月23日至10月8日举行，用标记亚运会开始的日期，即，用表示亚运会结束的日期，即.那么以实数为端点的区间可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】区间与无穷的概念
【解析】【解答】解：以实数为端点的区间可以表示为.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和区间的定义，从而得到以实数为端点的区间的表示.
6．（2025高二下·平阳期末）化简：（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由和差公式和诱导公式，
可得：.
故答案为：B.
【分析】利用两角差的正弦公式和诱导公式，从而化简可得结果.
7．（2025高二下·平阳期末）计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的余弦公式
【解析】【解答】解：由两角和的余弦公式，
得.
故答案为：D.
【分析】利用角之间的关系式和两角和的余弦公式，从而得出的值.
8．（2025高二下·平阳期末）在中，满足，则（　　）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120°
【答案】D
【知识点】余弦定理的应用
【解析】【解答】解：因为，
又因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】由已知条件和余弦定理变形，从而得到的值，再利用三角形中角A的取值范围，从而得出角A的值.
9．（2025高二下·平阳期末）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（ ）
A．12种 B．14种 C．24种 D．48种
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意知，先将2名英语教师分到两个校区，有2种方法，
第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法，
然后再分到两个校区，共有种方法，
第三步只需将其他1人分到人数少的一个校区，
根据分布乘法计数原理知不同的分配方案共有.
故答案为：A.
【分析】先将2名英语教师分到两个校区，再将3名数学老师分成2组再分到两个校区，最后只需将其他1人到人数少的一个校区，再利用排列数公式、组合数公式以及分步乘法计数原理，从而得出不同的分配方案种数.
10．（2025高二下·平阳期末）数列的前n项和，则（ ）
A．140 B．120 C．40 D．50
【答案】C
【知识点】通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：由，
可得.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和的关系式，从而得出数列第7项的值.
11．（2025高二下·平阳期末）集合，集合，则　 　．
【答案】
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
集合，
则.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和元素与集合的关系，从而求出集合，再利用并集的运算法则，从而得出集合.
12．（2025高二下·平阳期末）设全集，集合，若，则　 　．
【答案】4
【知识点】补集及其运算；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以和是方程的两根，
则，经检验满足题意.
故答案为：4.
【分析】根据补集的运算法则求出集合A，再由韦达定理可得m的值.
13．（2025高二下·平阳期末）2，4，6，8，10，，第项为　 　.
【答案】
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由数列2，4，6，8，10，，得，
所以.
故答案为：.
【分析】由数列的前五项归纳出数列的通项，从而代入计算出数列第项.
14．（2025高二下·平阳期末）找规律：1，4，9，16，　 　，36．
【答案】25
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】解：通过观察可得每个数是它的项数的平方，
则，，，，，.
故答案为：25．
【分析】通过观察可得每个数是它的项数的平方，从而得出答案.
15．（2025高二下·平阳期末）若二项式的展开式中常数项为20，则　 　．
【答案】
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：根据题意，得，
当时，为常数项，
所以，常数项为，
则，
解得.
故答案为：.
【分析】利用二项式定理求出二项式展开式的通项，再利用常数项的定义，从而得出a的值.
16．（2025高二下·平阳期末）若 ，，则　 　
【答案】2
【知识点】两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：若，，
则.
故答案为：2.
【分析】由角之间的关系式和两角和的正切公式，从而得出的值.
17．（2025高二下·平阳期末）设全集，已知集合，.求和.
【答案】因为全集，，，
所以，
又因为，
所以.
【知识点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】根据已知条件和交集的运算法则、并集的运算法则、补集的运算法则，从而得出集合和集合.
18．（2025高二下·平阳期末）在中，角的对边分别为，，，已知，.
（1）求角的大小.
（2）若.
（i）求的值.
（ii）求的面积.
【答案】（1）解：由和正弦定理，
可得，
又因为，
则，
所以，
则，
解得.
（2）解：（i）由题意，得，，
由余弦定理，得，
解得或（舍去）.
（ii）由三角形面积公式，
得.
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角的方法，从而化简已知条件，结合三角形中角A，B的取值范围和同角三角函数基本关系式，从而得出角B的正切值，再利用三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（2）（i）利用已知条件和余弦定理建立方程，从而解方程得出的值.
（ii）利用已知条件和三角形面积公式，从而得出的面积.
（1）由和正弦定理，可得，
而，则，故，
即，解得.
（2）（i）由题意得，，
由余弦定理得，解得或（舍去）.
（ii）由三角形面积公式得.
19．（2025高二下·平阳期末）已知是各项均为正数的等比数列，数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）解：因为
又因为，
所以，
所以，
因此.
（2）解：因为，
又因为，
所以，数列为等差数列，且公差为2，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和指数与对数的互化公式，从而得出数列的首项的值和第6项的值，再利用等比数列的通项公式得出公比的值，结合等比数列的通项公式，从而得出数列的通项公式.
（2）利用数列的通项公式和对数的运算法则，从而得出数列的通项公式，再利用等差数列的定义，从而判断出数列为等差数列，且公差为2，结合等差数列的前n项和公式，从而得出数列的前项和．
（1）又，
故，故，
因此
（2），
由于，
故为等差数列，且公差为2，
故
20．（2025高二下·平阳期末）已知数列的前项和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
【答案】解：(1)由题意，可知，①
当时，，得，
当时，，②
①-②，得，
所以
所以，数列是首项为2，公比为2的等比数列，
所以，
所以.
（2）由(1)知，，
则，
所以
所以，.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据，从而求出的值，当时，，将两式作差结合等比数列的定义，从而判断出数列是首项为2，公比为2的等比数列，再利用等比数列的通项公式，从而得出数列的通项公式.
（2）由数列的通项公式得出数列的通项公式，再利用裂项相消的方法，从而得出数列的前项和.
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