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(共14张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2基本不等式
第1课时
主讲人：小蔡老师
学习目标：
1．理解基本不等式并了解基本不等式的证明过程．
2．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．
学习重点：
1．能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小．
2．熟练掌握利用基本不等式求函数的最值问题．
学习难点：
能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小
学习目标：明确方向，把握重、难点
重要不等式：
当且仅当 时，等号成立.
知识回顾
问题2：问题1的结论中，等号成立的条件是什么？
重要不等式：
当且仅当 时，等号成立.
自主探究 ——预习教材，解决问题
新知:基本不等式的概念
基本不等式
(1)有关概念：当a，b均为正数时，把 叫做正数a，b的算术平均数，把 叫做正数a，b的几何平均数．
(2)基本不等式：当 时， ，当且仅当 时，等号成立．
(3)基本不等式的语言概括：
两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
(4)基本不等式的常见变形：
新知:基本不等式的概念



法一：分析法
问题1：我们通过考察 的特殊形式获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？你能证明基本不等式吗？
探究一:基本不等式的证明
要证 ①
只要证 ②
要证②，只要证 ③
要证③，只要证 ④
要证④，只要证 ⑤
显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立.
只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了.
法二：作差法
探究二:基本不等式的几何含义
在图2.2-1中，是圆的直径，点是上一点，过点作垂直于的弦，连接你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
几何含义：
圆的弦长的一半小于或等于圆的半径长，
当且仅当弦过圆心时，二者相等.
课本P45探究
探究三：基本不等式的应用
解：∵∴
当且仅当即时，等号成立，因此所求的最小值为2.
在本题的解答中，我们不仅明确了有而且给出了“当且仅当
即时，等号成立”，这是为了说明2是的一个取值.
想一想，当时，成立吗？这时能说是的最小值吗？
探究三：基本不等式的应用
例2.已知都是正数，求证：
(1)如果积等于定值，那么当时，和有最小值；
(2)如果和等于定值，那么当时，积有最大值
证明：∵都是正数， ∴
(1)当积等于定值时，
∴
当且仅当时，上式等号成立.
于是，当时，和有最小值.
（课本P45例2）
(2)当和等于定值时，
∴
当且仅当上式等号成立.
于是，当时，积有最大值
积定和最小，和定积最大.
积定和最小，和定积最大.
积定和最小，和定积最大.
探究三：基本不等式的应用
探究三：基本不等式的应用
证明不等式的方法：基本不等式法、作差法、分析法
探究三：基本不等式的应用
2、利用基本不等式求最值时，要注意
1、已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥ (当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(2) x+y=S xy≤ S2(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
(积定和最小，和定积最大)
一正二定三相等
实际情境，提出问题，建立模型，求解模型，检验结果，实际结果
3、数学建模需注意的问题
课堂小结(共15张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2基本不等式
第 2 课时
主讲人：小蔡老师
学习目标：
1.明确使用基本不等式的条件“一正、二定、三相等”;
2.能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题;
3.学会分析并根据具体情景选择运用基本不等式解决实际问题.
学习重点：能够对式子进行变形，构造定值
学习难点：利用基本不等式解决生活中的最值问题
学习目标：明确方向，把握重、难点
×
×
×
自主探究 ——预习教材，解决问题
探究一：利用基本不等式求最值
无最小值
探究一：利用基本不等式求最值
探究一：利用基本不等式求最值
总结：利用基本不等式求两正数之和的最小值需注意
（1）确保两数为”正”; （2）两数积为定值;
（3）取最小值的条件是否满足，即等于号成立的条件.
探究一：利用基本不等式求最值
探究一：利用基本不等式求最值
总结：利用基本不等式求两正数之积的最大值应注意通过适当的等价变形，确保两正数之和为定值.
C
探究一：利用基本不等式求最值
2
16
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为
(1)由已知得
由，可得
∴
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为
探究二：利用基本不等式解决实际问题
例4（课本P46例3）用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
探究二：利用基本不等式解决实际问题
解：(2)由已知得矩形菜园的面积为
由
可得
当且仅当时，上式等号成立.
因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是.
例5（课本P46例3）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
例6（课本P47例4）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为,深为如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为水池的总造价为元.
根据题意，有
由容积为,可得
∴
当时，上式等号成立，此时
所以，将贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
探究二：利用基本不等式解决实际问题
课堂小结
1.基本不等式≤
2.基本不等式要注意“一正二定三相等
3.用基本不等式求最值方法：
（1）凑项法 （2）常值代换法
课堂检测

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