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(共15张PPT)
　3.2.2单调性、奇偶性的综合应用
3.2　函数的基本性质
第三章 函数的概念与性质
【学习目标】
1.能运用函数的单调性和奇偶性解决大小比较；
2.能运用函数的单调性和奇偶性解决不等式的综合问题,发展数学运算素养。
【学习重点】
会利用函数的单调性和奇偶性解决简单问题
【学习难点】
掌握函数单调性与奇偶性的综合应用
学习目标——明确方向，把握重、难点
1.增函数、减函数有什么特征？
从图像看，增函数呈上升趋势， 减函数呈下降趋势
从定义看，
增函数：对定义域内某区间上任意x1 ,x2 ,
当 x1 减函数：对定义域内某区间上任意x1 ,x2 ,
当 x1 f(x2 )
知识回顾
同号为增
异号为减
2.奇函数、偶函数有什么特征？
奇函数：图象关于原点对称，
对定义域内任一个，有
偶函数：图象关于轴对称，
对定义域内任一个, 有
知识回顾
结论：
奇函数在对称区间上单调性相同
偶函数在对称区间上单调性相反
1.已知奇函数f(x)在[a,b]上是增函数，试问：
它在[-b,-a]上是增函数还是减函数？
2.已知偶函数f(x)在[a,b]上是增函数，试问：
它在[-b,-a]上是增函数还是减函数？
思考
增函数
减函数
解析:因为奇函数f(x)在区间[-6,-2]上是单调递减,且最小值是1,所以函数f(x)在区间[2,6]上是单调递减,且最大值是-1.
答案:C
探究与发现
探索点一 应用函数的单调性与奇偶性判定函数值的大小
【例1】　(1)若奇函数f(x)在区间[-6,-2]上单调递减,且最小值是1,则它在区间[2,6]上是 (　　)
A.单调递增,且最小值是-1 B.单调递增,且最大值是-1
C.单调递减,且最大值是-1 D.单调递减,且最小值是-1
解析:因为f(x)在R上是偶函数,
所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3),
而2<3<π,且f(x)在区间[0,+∞)上为增函数,
所以f(2)答案:A
探究与发现
(2)设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)是增函数,则f(-2), f(π),f(-3)的大小关系是 (　　)
A.f(π)>f(-3)>f(-2)　　B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)变式训练1：若偶函数f(x)在区间(-∞,0]上是单调递增,则f(-5),f(-2),f(4)的大小关系为 .
探究与发现
解析:由于f(x)是偶函数,
且在区间(-∞,0]上单调递增,
所以f(-5)因为f(-4)=f(4),
所以f(-5)方法规律
1.函数奇偶性和单调性的关系
(1)若f(x)是奇函数,且f(x)在区间[a,b]上是单调函数,则f(x)在区间[-b,-a]上也为单调函数,且具有相同的单调性.
(2)若f(x)是偶函数,且f(x)在区间[a,b]上是单调函数,则f(x)在区间[-b,-a]上也为单调函数,且具有相反的单调性.
2.应用函数的单调性和奇偶性判断函数值大小的方法
先利用函数的奇偶性将自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性对函数值的大小作出比较.
解析:由题意,知f(-2)=f(2)=0.
当x∈(-2,0)时,f(x)由对称性,知x∈[0,2)时,f(x)为单调递增,f(x)故x∈(-2,2)时,f(x)<0,因此选B.
答案:B
探究与发现
探索点二 利用单调性与奇偶性解不等式　
【例2】 (1)若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在区间(-∞,0]上单调递减,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是 (　　)
A.(-∞,2) B.(-2,2)
C.(2,+∞) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
探究与发现
(2)已知奇函数y=f(x)在区间(-1,1)上单调递减,解不等式f(1-x)+f(1-3x)<0.
解:因为y=f(x)(x∈(-1,1))是奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
所以f(1-x)+f(1-3x)<0可化为
f(1-x)<-f(1-3x),即f(1-x)又因为y=f(x)在区间(-1,1)上单调递减,
所以
解得0变式训练2：已知函数y=f(x)在区间(-1,1)上的偶函数, 且f(x) 在[0,+∞)上单调递增，解不等式f(1-x) < f(3x-1)
即不等式的解集为：(, )
探究与发现
解：
探究与发现
变式训练3：已知奇函数y=f(x)在区间(-1,1)上单调递增,解不等式f(1-x)+f(1-3x)<0.
方法规律
利用函数的奇偶性和单调性解不等式的关注点
(1)利用奇偶性将不等式两边变成只含“f”的式子[f(x1)>f(x2)或f(x1)(2)利用单调性脱去“f”,列出关于x的不等式.
(3)树立定义域优先的意识,注意定义域对x取值的影响.
课堂小结(共18张PPT)
函数奇偶性的应用
3.2.2函数的奇偶性（第2课时）
【学习目标】　
1.借助函数的奇偶性的概念,解决相应的问题；
2.学会根据函数的奇偶性求函数解析式。
【学习重点】　
会利用函数的奇偶性解决简单问题。
【学习难点】　
掌握函数单调性与奇偶性的综合应用。
学习目标——明确方向，把握重、难点
温故而知新
预习教材，解决问题
思考？
b=0
b=0
探究与发现
解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,
且
所以a-1=-2a,解得a=
【例1】　
(1)若函数f(x)是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a= .
【探究一】　利用函数奇偶性的定义求值
（3）已知函数f(x)=是奇函数,则a=　　　　.
（2）已知函数f(x)为奇函数,当x>0时, f(x)=x2+,则f(-1)=(　　)
A.2 B.1 C.0 D.-2
D
1
解析：因为为奇函数，
解析：”特殊值法”， , 所以
探究与发现
(4)已知函数+3,则　　　　.
探究与发现
(5)已知函数 , ， 则　　　.
解： = +3= +3 ，
+ = (+3)+ +3)=6
解：因为函数= ，所以是奇函数， = = +5
因此， + +5=10
归纳：若f(x)奇函数，g(x)=f(x)+b，则g(a)+g(-a)=2b
小结论，好用快捷、秒杀
利用函数奇偶性求参数值的常见类型及求法：
方法规律
(1)定义域含参数:奇(偶)函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,可以利用a+b=0求参数.
(2)解析式含参数:根据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)列式,比较系数可解,也可以代入 特殊值进行计算.
(3)若f(x)奇函数，g(x)=f(x)+b，则g(a)+g(-a)=2b
小结论，好用快捷、秒杀
探究与发现
【例2】
(1)设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x2-x，则f(x)的解析式为 .
【探究二】 利用函数的奇偶性求解析式
【思路点拨】　
由题目可获取以下主要信息：
①函数f(x)是R上的奇函数；
②x>0时f(x)的解析式已知．
解答本题可将x<0的解析式转化到x>0上求解．
探究与发现
(2)已知函数 是定义在区间上的奇函数,且 ,求函数的解析式.
所以f(0)=0,即=0,所以b=0.
又因为f()==,所以a=1,
所以f(x)=.
解:因为f(x)是定义在区间(-1,1)上的奇函数
练习巩固
变式训练1：
已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)= x2-2x,则当x<0时,求f(x)的解析式
解析:
因为函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-x)=-f(x).
因为当x≥0时,f(x)= x2-2x,
所以设x<0时,即-x>0,
f(x)=-f(-x)=-[-2(-x)]= -x2-2x.
变式训练2：
函数f(x)在.(-∞,0)∪(0,+∞)上为偶函数,x>0时,f(x)=+1,
则f(x)的解析式为 .
解析:
因为f(x)是在.(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数,设x<0,
则-x>0,所以f(-x)=+1,又因为f(x)是偶函数,
所以f(-x)=f(x),即f(x)=+1,
所以 f(x)=
练习巩固
f(x)=
练习巩固
练习巩固
利用奇偶性求函数解析式的关注点
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间求解析式,x就设在哪个区间内.
(2)利用已知区间的解析式代入-x.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).
方法规律
易错提醒:
若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数时,则必有f(0)=0,
但若为偶函数,不一定有f(0)=0.
易忘，但往往是做题关键！！！
探究与发现
探究与发现
思维建构(共18张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.2.2　函数的奇偶性
第1课时　奇偶性的概念
【学习目标】：
1、结合具体函数，理解奇函数、偶函数的概念和几何意义；
2、掌握函数奇偶性的判断和证明方法；
3、会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题；
【学习重点】：
函数的奇偶性的概念与判定；
【学习难点】：
函数奇偶性的应用，函数的奇偶性与单调性的综合。
学习目标——明确方向，把握重、难点
问题1-1：
用列表法表示出下列函数f(x)=g(x)=2-|x|的特殊值
自主探究 ——预习教材，解决问题
表3.2-1 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… …
… …
9
4
1
0
1
4
9
-1
0
1
2
1
0
-1
问题1-3：
观察函数f(x)=g(x)=2-|x|的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
问题1-2：
画出函数f(x)=g(x)=2-|x|的图象
自主探究 ——预习教材，解决问题
图象关于 y轴 对称
表3.2-1 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… …
… …
9
4
1
0
1
4
9
-1
0
1
2
1
0
-1
问题1-4：
你能用符号语言描述“函数图像关于y轴对称”吗？
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应两个函数值相等！
x∈ R, 都有f(-x)=f(x),这时称函数f(x)为偶函数
自主探究 ——预习教材，解决问题
有x就有-x
推出:定义域关于原点对称
问题2-1：
用列表法表示出下列函数f(x)=x和g(x)=
自主探究 ——预习教材，解决问题
表3.2-1 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… …
… …
-3
-2
-1
0
1
2
3
-
-
-1
1
问题2-3：
观察函数f(x)=x和g(x)=的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？
问题2-2：
画出函数f(x)=x和g(x)=的图象
自主探究 ——预习教材，解决问题
图象关于 原点 对称
表3.2-1 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
… …
… …
-3
-2
-1
0
1
2
3
-
-
-1
1
问题2-4：
你能用符号语言描述“函数图像关于原点对称”吗？
可以发现，当自变量取一对相反数时，相应两个函数值也是一对相反数
自主探究 ——预习教材，解决问题
x∈ R, 都有f(-x)=-f(x),这时称函数f（x）为奇函数
推出:定义域关于原点对称
有x就有-x
奇偶性 偶函数 奇函数
定义 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果 x∈I,都有-x∈I,且 ,那么函数f(x)就叫做偶函数 一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果 x∈I,都有-x∈I,且 ,那么函数f(x)就叫做奇函数
定义域 关于 对称 图象特征 关于 对称
关于 对称
新知:偶函数和奇函数的概念
原点
原点
y轴
新知:偶函数和奇函数的概念
【思考】
(1)一般地,若函数y=f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)与f(-x)有什么关系 反之成立吗
(2)一般地,若函数y=f(x)的图象关于原点对称,则f(x)与f(-x)有什么关系 反之成立吗
提示:若函数y=f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)=f(-x)，反之,若f(x)=f(-x),则函数y=f(x)的图象关于y轴对称.
提示:若函数y=f(x)的图象关于原点对称,则f(-x)=-f(x)，反之,若f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)的图象关于原点对称.
课堂检测
1.下列函数为奇函数的是 (　　)
A.y=-|x| B.y=2-x C.y=
2.已知函数f(x)=x4,则其图象 (　　)
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.关于直线y=x对称
D.y=-x2+8
解析:A,D两项,函数均为偶函数,B项中函数既不是奇函数也不是偶函数（非奇非偶函数）而C项中函数为奇函数.
C
解析:因为f(-x)=(-x)4=x4=f(x),所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称.
B
探究与发现
探索点一　判断函数的奇偶性
【例1】　判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=+x ; (2) f(x)=
探究与发现
探索点一　判断函数的奇偶性
【例1】　判断下列函数的奇偶性:
(3) f(x)= ; (4) f(x)=
（4）因为定义域为,所以是偶函数。
方法规律
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法:
(2)图象法:即若函数的图象关于原点对称,则函数为奇函数;若函数的图象关于y轴对称,则函数为偶函数.此法多用在解选择题和填空题中，注:对于分段函数奇偶性的判断方法是对每一段定义域内的任意自变量x,检验f(-x)与f(x)的关系；
(3)对于分段函数奇偶性的判断方法是对每一段定义域内的任意自变量x,检验f(-x)与f(x)的关系。
探究与发现
探索点二　奇、偶函数的图象特征
【例2】(1)已知偶函数y=f(x)的局部图象如图所示,补充函数的图象
f(1) f(3)(填“>”“<”“=”)，
解析:由题图,知f(-3)>f(-1),由y=f(x)是偶函数,得f(-3)=f(3),f(-1)=f(1),则f(3)>f(1).
(2)奇函数f(x)的定义域为[-5,5],当x∈
[0,5]时,函数y=f(x)的图象如图所示,则使函数值y<0的x的取值范围为 .
探究与发现
(-2,0)∪(2,5)
解析:由于原函数是奇函数,所以y=f(x)在区间[-5,5]上的图象关于坐标原点对称.由y=f(x)在区间[0,5]上的图象,得出它在[-5,0]上的图象,如图所示.由图象知,使函数值y<0的x的取值范围为(-2,0)∪(2,5).
方法规律
利用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性；
(2)作出函数在[0,+∞)或(-∞,0])上对应的图象；
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0]或[0,+∞) 上对应的函数图象。
课堂总结

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