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第一章 集合与常用逻辑用语
1.4　充分条件与必要条件
学习目标——明确方向，把握重、难点
学习目标：
1．通过对典型数学命题的梳理，理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系；理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系；
2．结合具体问题，利用集合等知识，学会判断充分条件、必要条件．
学习重点：
1.充分条件、必要条件的判断；充分条件和必要条件与判定定理和性质定理．
学习难点：1.充分条件、必要条件的判定．
1、一般地，我们把用 、 、或 表达的，可以 的 叫做命题.
2、判断为真的语句是 ，判断为假语句是 .
语言
符号
式子
判断真假
陈述句
真命题
假命题
问题
思考
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若x2-4x+3=0，则x=1；
（4）若平面内两条直线 a 和 b 均垂直于直线 l ，则 a//b.
真
假
假
真
问题
问题3：“若p，则q”形式的命题中，p和q分别是命题的什么？



问题4：什么是逆命题？“若p，则q”的逆命题是什么？
P称为命题的条件，q称为命题的结论
将命题“若p,则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q,则p”,称这个命题为原命题的逆命题。
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可以推出q，记作
p q ,
并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件.
如果“若p，则q”为假命题，那么由条件p不可以推出结论q，记作p q , 此时，我们就说，p不是q的充分条件，q不是p的必要条件.
新知：充分条件与必要条件
表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同
友情提醒
①对于命题“若p，则q”的条件和结论，我们都视为条件，只看推出符号“ ”的推出方向，箭尾是箭头的充分条件，箭头是箭尾的必要条件.
②若p q，则p是q的充分条件.所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.“有之必成立，无之未必不成立”.
③若p q，则q是p的必要条件.所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可.“有之未必成立，无之必不成立”.
1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一个逻辑关系，只是说法不同(　　)
(2)p是q的必要条件的含义是：如果p不成立，则q一定不成立.( )
(3)三角形相似是三角形全等的必要条件.( )
预习自测



下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形;
（2）若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似;
（3）若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直;
（4）若x2=1,则x=1;
（5）若a=b,则ac=bc；
（6）若x,y为无理数,则xy为无理数.
探究一：充分条件、必要条件的判定
探究与发现
解析
(1)这是一条平行四边形的判定定理,p q,所以p是q的充分条件.
(2)这是一条相似三角形的判定定理,p q,所以p是q的充分条件.
(3)这是一条菱形的性质定理,p q,所以p是q的充分条件.
(4)由于(-1)2=1,但-1≠1,p q,所以p不是q的充分条件.
(5)由等式的性质知,p q,所以p是q的充分条件.
(6) 为无理数,但 =2为有理数,p q,所以p不是q的充分条件.
举反例是判断一个命题是假命题的重要方法
思考
例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？
若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；
若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；
若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
举一反三
下列“若 p，则 q”形式的命题中，p 是 q 的充分条件的有_________ (填序号)
①若两直线平行，则内错角相等；
②若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形；
③若两个三角形的三边分别相等,则这两个三角形全等.
① ② ③
例2
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？
（1）若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等;
（2）若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例;
（3）若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形;
（4）若x=1,则x2=1;
（5）若ac=b,则a=b;
（6）若xy为无理数,则x,y为无理数.
解析
(1)这是平行四边形的一条性质定理,p q,所以q是p的必要条件.
(2)这是三角形相似的一条性质定理,p q,所以q是p的必要条件.
(3)如右图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形，
p q，所以q不是p的必要条件.
(4)显然，p q,所以q是p的必要条件.
(5)由于　　　　　，但－１≠１,p q,所以q不是p的必要条件.
(6) 　＝　　为无理数,但１， 不全是无理数,p q,所以q不是p的必要条件.
一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“p q”，即“若p，则q”是否为真命题.
充分条件与必要条件的判定方法：
练习： 下列说法是否正确的有 （填序号）
（1）x=1是（x-1）（x-2）=0的充分条件；
（2）x>1是x>2的充分条件;
（3）α=30°是sin α=的必要条件;
（4）x+y＞2是x＞1，y＞1的必要条件;
(1)、(4)
【探究点二】充分条件与判定定理的关系
例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”这样的充分条件唯一吗？如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗？
若四边形的两组对边分别相等，则这个四边形是平行四边形；
若四边形的一组对边平行且相等，则这个四边形是平行四边形；
若四边形的两条对角线互相平分，则这个四边形是平行四边形；
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
【探究点三】必要条件与判定定理的关系
例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件是唯一的吗？如果不唯一，那么你能给出“四边形是平行四边形”几个其他必要条件吗？
若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对边分别相等；
若四边形是平行四边形，则这个四边形的一组对边平行且相等；
若四边形是平行四边形，则这个四边形的两条对角线互相平分.
一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
思考
下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与他们的逆命题都是真命题？
（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等;
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
（3）若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，则ac<0;
（4）若A∪B是空集，则A与B均是空集.
知识梳理
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 由p可以推出q，记为： 由p不能推出q，记为：
条件关系 p是q的充分条件 p不是q的充分条件
q是p的必要条件 q不是p的必要条件
1.充分条件和必要条件
2.数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 .
3.数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 .
充分条件
必要条件
p q
p q

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