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第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
1.4.2 充要条件
学习目标：
1．理解充要条件的意义.
2．结合具体问题，利用集合等知识，学会判断充分条件、必要条件和充要条件．
3．分清充分性和必要性，培养等价转化思想．
学习重点：
充要条件及其判断，充分、必要条件的证明与探究，充分、必要条件的应用．
学习难点：
充分、必要条件的证明与探究及应用．
学习目标——明确方向，把握重、难点
复习导入
观察下侧电路图.
1.①中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件？
2.②中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件？
3.③中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件？
4.④中开关A闭合是灯泡B亮的什么条件？
5.将①中开关A与灯泡B位置互换，开关C始终是断开状态，结论变吗？
问题：
充分不必要
必要不充分
充要
不充分也不必要
充分不必要
一般地，“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q,又有q p，就记作
p q .
此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.
概括地说，如果 p q ，那么p与q互为充要条件.
新知：充要条件
四种条件与命题真假的关系
原命题 逆命题 p与q的关系 q与p的关系
真（p q） 真（q p） p是q的充要条件 q是p的充要条件
真（p q） 假（q p） p是q的充分不必要条件 q是p的必要不充分条件
假（p q） 真（q p） p是q的必要不充分条件 q是p的充分不必要条件
假（p q） 假（q p） p是q的既不充分也不必要条件 q是p的既不充分也不必要条件
若原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形：
充分条件、必要条件的判断
例3 下列各题中,哪些p是q的充要条件
(1) p:四边形是正方形,q:四边形的对角线互相垂直且平分;
(2) p:a≠0,q:关于x的方程ax=1有唯一解;
(3) p:xy＞0，q：x＞0，y＞0.
(4)p:x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q：a+b+c=0（a≠0）.
不充要
充要
不充要
充要
充分、必要条件判断的几种方法
（1）定义法：直接利用定义进行判断.
a.分请条件和结论：分清那个事条件p，哪个是结论q；
b.找推式：判断“p q”及“q p”的真假；
c.下结论：根据推式及定义下结论
（2）等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题.
充分、必要条件判断的几种方法
（3）传递法
充分条件具有传递性,若A1 A2 A3 … An，则A1 An，即A1是An的充分条件.
必要条件也具有传递性，若A1 A2 A3 … An，则A1 An，即A1是An的必要条件.
充要条件也有传递性.
充分、必要条件判断的几种方法
（4）利用集合间的包含关系进行判断
例：已知A={x|x满足条件p}，B={x|x满足条件q}，
（1）如果A B，那么p是q的什么条件？
（2）如果B A，那么p是q的什么条件？
（3）如果A=B，那么p是q的什么条件？
学生
B
中学生A
（2）如果B A，那么p是q的必要不充分条件.
（3）如果A=B，那么p是q的充要条件.
解：（1）如果A B，那么p是q的充分不必要条件.
课堂练习
判断下列各命题中p是q的什么条件：
（1）p：x-2=0，q：(x-2)(x-3)=0；
（2）p：0（3）p： ABC为直角三角形，q： ABC为等腰三角形；
p是q的充分不必要条件
p是q的充分不必要条件
p是q的既不充分也不必要条件
充分条件、必要条件的证明
例:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.
思路点拨：先证明充分性，即证a-b+c=0 ax2+bx+c=0有一个根为-1；再证必要性，即证ax2+bx+c=0有一个根为-1 a-b+c=0
证明 充分性：因为a-b+c=0,即a·(-1)2+b·(-1)+c=0,
所以-1是ax2+bx+c=0的一个根
必要性：因为ax2+bx+c=0有一个根为-1，
所以a·(-1)2+b·(-1)+c=0，即a-b+c=0.
综上可得，ax2+bx+c=0有一个根为-1的充要条件是a-b+c=0.
课堂练习
证明:关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0（a≠0）.
证明 充分性：因为a+b+c=0（a≠0）,即a·12+b·1+c=0,
所以1是ax2+bx+c=0的一个根
必要性：因为ax2+bx+c=0有一个根为1，
所以a·12+b·1+c=0，即a+b+c=0.
综上可得，ax2+bx+c=0有一个根为1的充要条件是a+b+c=0（a≠0）.
利用充分条件、必要条件确定参数的值（取值范围）
例：已知非空集合A={x|2思路点拨：先转化为集合A和集合B的关系，再求解A的取值范围
解 ∵A≠ , ∴3a+1>2,即a> .
∵q是p的必要条件，∴A B，
∴ 解得a≤ ,
∴ ＜a≤ .即实数a的取值范围是{a| 课堂练习
已知p：实数x满足－3x＋4a<0；q：实数x满足－x－6≤0.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．.
解 ：由p:－3x＋4a<0得到x> ,
由q：-x-6≤0得x≥-6，
∵p是q的充分条件，
∴A B，
∴ ≥-6 解得a≥
故实数a的取值范围是{a|a≥ }
知识梳理
定义
从集合的观点看
A={x|p(x)}，B={x|q(x)}
充分条件与必要条件
若p q，则p是q成立的充分条件
若q p，则p是q成立的必要条件
若q p，则p是q成立的充要条件
若A B，则p是q成立的充要条件
若B A，则p是q成立的充要条件
若A=B，则p是q成立的充要条件

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