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第一章 集合与常用逻辑用语
1.5 全称量词与存在量词
主讲人：小蔡老师
学习目标：
1．通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义；
2. 能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定；
3. 能正确使用全程量词对存在量词命题进行否定。
学习重点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，
全称量词命题和存在量词命题的否定；
学习难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，
学习目标——明确方向，把握重、难点
德国著名的数学家哥德巴赫提出这样一个问题：“任意取一个奇数，可以把它写成三个质数之和，比如77,77=53+17+7”,同年欧拉首先肯定了哥德巴赫猜想的正确，并且认为：每一个偶数都是两个质数之和，虽然通过大量检验这个命题是正确的，但是不需要证明．这就是被誉为“数学皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想．200多年后我国著名数学家陈景润才证明了“1+2”即：凡是比某一个正整数大的任何偶数，都能表示成一个质数加上两个质数相乘，或者表示成一个质数加上一个质数．从陈景润的“1+2”到“1+1”似乎仅一步之遥，但它是一个迄今为止仍然没有得到正面证明也没有被推翻的命题．要想正面证明就需要证明“任意一个”“每一个”“都”这种命题成立，要想推翻它只需“存在一个”反例．
知识链接
1.充分条件、必要条件
2.区别：充分不必要；
必要不充分；
充分必要；
既不充分也不必要条件
温故而知新
（3）、（4）有限定，可以判断真假，是命题
1．下列语句是命题吗？
（1） ；
（2） 是整数；
（3）对所有的 ；
（4）对任意一个 是整数。
（1）、（2）不知道 的值，无法判断真假
自主探究 ——预习教材，解决问题
新知:全称量词
全称量词的定义：
全称量词 “所有的”、“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任何”、“任给”
符号
全称量词命题 含有全称量词的命题
符号
表示：“对 中任意一个 ，有含变量 的语句 成立”示
新知:全称量词命题
例题1.下列命题是全称量词命题的是 。
（1）任意一个四边形的内角和都是360°；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3） 是整数；
（4）存在一个 ；
（5）对顶角相等。
答案：（1）、（2）、（3）、（5）
全称量词命题中，哪些是真命题？
新知:全称量词命题的真假
eg1.用判断下列全称量词命题的真假:
(1)实数都能写成小数形式;
(2)凸多边形的外角和等于2
(3) 素数都是奇数;
π
真
真
假
2．下列语句是命题吗？比较（1）和（3）、（2）和（4）的关系
（1） ；
（2） 能被2和3整除；
（3）存在一个 ；
（4）至少有一个
（3）、（4）有限定，可以判断真假，是命题
（1）、（2）不是命题
自主探究 ——预习教材，解决问题
新知:存在量词
存在量词（旧教材中也叫：“特称量词”）的定义：
存在量词 “存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“对某些”、“有的”
符号
存在量词命题 含有存在量词的命题
符号
表示：“存在 中的元素 ， 成立”示
判断全称量词命题和存在量词命题
eg2.下列语句哪些是全称量词命题、哪些是存在量词命题？并判断这些命题的真假。
(1) ，|x|+1≥1；
(2) 有一个素数不是奇数
(3)对每一个无理数x, 也是无理数.
(4)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;
(5)平行四边形是菱形.
全称量词命题 真命题
存在量词命题 真命题
全称量词命题 假命题
存在量词命题 假命题
全称量词命题 假命题
新知:全称量词命题和存在量词命题的否定
概念：
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题地否定。
全称量词命题和存在量词命题如何进行否定呢？
新知:全称量词命题的否定
思考：试写出下列命题的否定，思考它们与原命题的区别：
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3） 。
全称量词命题
解：（1）存在一个矩形不是平行四边形；
（2）存在一个素数不是奇数；
（3） .
否定：存在量词命题
新知:全称量词命题的否定
总结：
一般来说，对含有一个量词的全称量词命题进行否定，只需把“所有的”、“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”、“并非任意一个的短语即可。
全称量词命题：
否定：
全称量词命题的否定是存在量词命题
新知:全称量词命题的否定
例题3.写出下列全称量词命题的否定：
（1）所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）每个四边形的四个顶点在同一个圆上；
（3）对任意 的个位数字不等于3.
解：（1）该命题的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数；
（2）该命题的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上。
（3）该命题的否定：
新知:存在量词命题的否定
同理：
存在量词命题：
否定：
全称量词命题的否定是存在量词命题
新知:存在量词命题的否定
例题4.写出下列存在量词命题的否定：
（1）
（2）有的三角形是等边三角形；
（3）有一个偶数是素数.
（2）该命题的否定：所有的三角形都不是等边三角形；
（3）该命题的否定：任何一个偶数都不是素数。
解：（1）该命题的否定： ；
新知:存在量词命题的否定
例题5.写出下列命题的否定，并且判断真假：
（1）任意两个等边三角形都相似；
（2） .
解：（1）该命题的否定：存在两个等边三角形不相似。因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都相似。因此这是一个假命题。
（2）该命题的否定： ，
eg1.写出下列命题的否定:
（1） ;
（2）任意奇数的平方还是奇数；
（3）每个平行四边形都是中心对称图形；
解：（1）该命题的否定：
（2）该命题的否定：存在一个奇数的平方不是奇数；
（3）该命题的否定：存在一个平行四边形不是中心对称图形；
新知:全称量词命题和存在量词命题的否定
eg2.写出下列命题的否定:
（1）有些三角形是直角三角形 ;
（2）有些梯形是等腰梯形；
（3）存在一个实数，它的绝对值不是正数；
解：（1）该命题的否定：所有的三角形都不是直角三角形；
（2）该命题的否定：所有的梯形都不是等腰梯形；
（3）该命题的否定：所有实数的绝对值都是正数。
新知:全称量词命题和存在量词命题的否定
2.一般地，对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论：
全称量词命题
它的否定
一般地，对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论：
" x
M, p(x)
$x0
M,p(x0)
存在量词命题
它的否定
1.（1）全称量词、全称量词命题；
（2）存在量词、存在量词命题。
知识总结

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