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第三章　函数的概念与性质
3.3 幂函数
学习目标——明确方向，把握重、难点

问题引入
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的
钱数p = ，
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是S = ，
(3)如果正方体的边长为b，那么正方体的体积是V = ，
(4)如果正方形场地的面积为S，那么正方形的边长c= ，
(5)如果某人t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度v = .
a
b
p是w的函数
V是b的函数
c是S的函数
若将它们的自变量全部用x来表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式将是:
y = x
y= x
y=
x
w
t-1 km/s
S是a的函数

v是t的函数

【思考】
幂函数具有怎样的特征
提示:(1)以幂的底数为自变量,指数为常数;
(2)xα前的系数为1,且只有一项.
新知:幂函数的概念
1、下列函数是幂函数的是
①
(1)以幂的底数为自变量,指数为常数;(2)xα前的系数为1,且只有一项.
x
y
在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象
O
探究与发现
幂函数的图象性质


x
y
O
探究与发现
幂函数的图象性质
在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象



x
O
y
探究与发现
幂函数的图象性质
在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象




在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象
x
y
O
探究与发现
幂函数的图象性质

x




x
y
O
探究与发现
幂函数的图象性质
在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象
归纳：
(1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都过点(1,1);
(2)中， α都是奇数，则函数为奇函数；在中, α是偶数，则函数为偶函数；





归纳：
(3)当α>0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上是单调递增；
(4)当时,幂函数的图象在区间[0,+∞)上是单调递减,在第一象限内,当从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴;当趋于+∞时,图象在轴上方无限地逼近x轴正半轴.
R
R
R
{x|x≠0}
[0,+∞)
R
[0,+∞)
R
{y|y≠0}
[0,+∞)
新知:幂函数的图象与性质
奇
偶
奇
奇
非奇非偶
递增
递减
递增
递增
递减
递减
递增
(1,1)
新知:幂函数的图象与性质
(1)幂函数的图象可以出现在平面直角坐标系中的任意一个象限吗
新知:幂函数的图象与性质
(2)幂函数在第一象限内,在直线x=1的右侧,图象从下到上,相应的指数是如何变化的 在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数是如何变化的
提示:不是,幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限。
提示:幂函数在第一象限内,在直线x=1的右侧,图象从下到上,相应的指数由小变大；在直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小。
【思考】
探究与发现
探索点一 幂函数的概念
【例1】已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(9,3),则f(100)= .
10
一般地,函数y=xα叫做幂函数：
(1)以幂的底数为自变量,指数为常数;
(2)xα前的系数为1,且只有一项.
探究与发现
方法规律
1.幂函数的判断方法
(1)幂函数是一种“形式定义”的函数,也就是说必须完全具备形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数.
2.用待定系数法求幂函数解析式
若已知待求函数是幂函数,则可根据待定系数法,设函数为f(x)=xα,根据条件求出α即可.
探究与发现
探索点二　 幂函数的性质

利用定义证明函数的单调性方法步骤：
①取值；②作差；③变形；④定号；⑤下结论。
分子有理化
探究与发现
探索点二　 幂函数的性质
(2)根据单调性和奇偶性的定义，讨论函数的单调性，并判断其奇偶性.
证明：
①奇偶性：因为所以
为奇函数；
②单调性：任取 =)],因为- >0,所以即 ，即幂函数是增函数.
配方法
探究与发现
探究与发现
探究与发现
探究与发现
解析:如图,作出直线y=x的图象,在(0,1)内取x0,作直线x=x0,与各图象有交点,则“点低指数大”.所以0答案:B
课堂总结
课堂思维导图

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