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第三章 函数的概念与性质
3.4 函数的应用（一）
学习目标——明确方向，把握重、难点
【学习目标】：
1．能够找出简单实际问题中的函数关系，初步体会应用二次函数、分段函数模型解决实际问题；
2．感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会二次函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性；
【学习重点】：运用二次函数、分段函数模型处理实际问题，最值;
【学习难点】：运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.
【题】画出函数y=|x|的图像
【解】由绝对值的概念，有y=
-x，x＜0，
X，x≥0.
画出图像如图：



像这样的函数，叫做分段函数.分段函数一般在实际问题中出现的比较多，例如出租车的计费，个人所得税的计算等等.
在自变量的不同取值区间，有不同对应关系的函数叫做分段函数.
分段函数
画出函数
【解法一】由绝对值的概念可知，
所以函数的图像如图所示：

的图像.

【解法二】(翻折法)先画出函数

的图像，
然后把图像中位于x=2右侧的部分翻折到左侧
即得到后的图像关于x=2对称.



1 2 3 4
分段函数
（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数，处理分段函数的问题时，首
先要明确自变量的取值在哪个区间，从而选取相应的对应关系.
（2）分段函数在书写的时候左边用大括号把几个对应关系括在一起，在每
段对应关系表达式的后面用小括号写上相应的取值范围.
（3）分段函数的定义域是所有自变量取值区间的并集，只能写成一个集合
的形式；值域是各段函数在对应自变量取值范围内值域的并集.
分段函数
几种常见的分段函数：
（1）符号函数：

（2）含绝对值符号的函数：

（3）取整函数：
分段函数
知识回顾
函数模型 函数解析式
二次函数模型
分段函数模型
1.二次函数模型
(1)一般式: ；
(2)顶点式: ；
(3)两点式: .
y=ax2+bx+c(a≠0)
y
知识回顾
函数模型 函数解析式
二次函数模型
分段函数模型
2.分段函数
分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的 ；各段函数的定义域的交集是 .
并集
空集
二次函数模型
【例】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 （单位：千克）与销售单价 （单位：元/千克）满足关系式 ，其中 ， 为常数，已知销售单价为6 元/千克时，每日可售出该商品千克.
（1）求 的值；
（2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.
【解析】（1）因为 .且 时， .
所以 解得
二次函数模型
【例】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 （单位：千克）与销售单价 （单位：元/千克）满足关系式 ，其中 ， 为常数，已知销售单价为6 元/千克时，每日可售出该商品千克.
（2）若该商品的进价为元/千克，试确定销售单价的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出利润的最大值.
【解析】 （2）由（1）可知,该商品每日的销售量 .
所以商场每日销售该商品所获得的利润：
,
因为为二次函数，且开口向下，对称轴为 .
所以，当时，函数取得最大值，且最大值等于440.
所以当销售价格定为6元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大利润为440元。
配方法
二次函数模型
【变式训练】“弯弓射雕”描述了牧民的豪迈气概.当弓箭手以a m/s的速度从地面垂直向上射箭时,t s后的高度h m可由h=at-5t2确定.已知射出2 s后箭离地面高100 m,则弓箭能达到的最大高度为 .
解析:
由h=at-5t2且t=2时,h=100,解得a=60.所以h=60t-5t2.由h=-5t2+60t=-5(t-6)2+180,
知当t=6时,h取得最大值为180,
即弓箭能达到的最大高度为180 m.
归纳注意点
利用二次函数求最值的方法及注意点
(1)方法:根据实际问题建立函数模型解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法等并结合函数的单调性求最值,从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题；
(2)注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.
分段函数模型
【例】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．
(1)求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象．
【解析】
解：（1）阴影部分的面积为:
阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km.
分段函数模型
【例】一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．
(1)求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象．
（2）获得路程关于时间变化的函数解析式：
这个函数的图象如图所示
分段函数模型
【变式训练】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
其中(单位：台)是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数.
(2) 当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益=总成本+利润)
分段函数模型
【变式训练】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
其中(单位：台)是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量的函数.
,
分段函数模型
(2) 当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？(总收益=总成本+利润)
当，
所以当x=300时，最大值25000；
当x>400时，60000-100x是单调递减，
400=20000<25000
所以当x=300时，最大值25000，
即当每月生产300台仪器时，利润最大，最大利润为25000元.
总结
1、阅读审题：通过题目给出的文字、公式、图表等信息明确要研究的问题，理清变量关系；
2、数学转化：将实际问题中的变量关系转化为函数关系，并求出函数解析式；
3、解决问题：利用函数解析式、图象、性质等解决实际问题。
实际问题
函数问题
实际问题

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