资源简介

(共18张PPT)
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第3课时 函数单调性的应用
学习目标：
1.利用函数的单调性，能根据函数单调性求参数范围；2.理解函数单调性解决恒成立问题，发展学生函数素养；
学习目标——明确方向，把握重、难点
学习重点：
利用函数的单调性，能根据函数单调性求参数范围；
学习难点：
理解函数单调性解决恒成立问题，发展学生函数素养，会根据问题的实际意义求函数的最大(小)值。
f(x1)f(x1)>f(x2)
单调递增
单调递减
增函数
减函数
温故而知新
f(x0)=M
温故而知新
三、利用定义证明函数单调性的方法步骤：
(1)取值：设x1、x2,是区间上的任意两个值，且 x1 < x2；
(2)作差：作差f (x1) -f (x2)或 f (x2) -f (x1)；
(3)变形：并通过因式分解、配方或有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形（一般化为积的形式）；
(4)定号：确定f (x1) -f (x2) f (x2) -f (x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；
(5)下结论：根据定义得出结论。
温故而知新
1.已知函数y=x2-2x+3在闭区间[0,m]上有最小值2,则实数m的取值范围是_________.
2.定义在R上的函数f(x)对任意两个不等实数a,b,总有>0成立,且 f(-3)=m,f(-1)=n,则f(x)在区间[-3,-1]上的最大值___________.
解析：，作出图象，可知点在对称轴右边，因此,即.
解析：>0，且a,b是任意的，得R上是增函数(同号为增)，则区间[-3,-1]上的最大值是=n
阅读预习，解决问题
3.已知函数f(x)是区间(0,+∞)上的减函数,则与的大小关系是 .
4.某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌汽车,利润(单位:万元)分别为L1= -x2+21x和L2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在两地共销售15辆,则能获得的最大利润为( )
A. 90万元 B. 60万元 C. 120万元 D. 120.25万元
解析：设公司在甲地销售品牌车辆，则在乙地销售辆，根据题意得所以当或10时，L最大为120万元，因此选C
阅读预习，解决问题
（1）根据函数单调性的定义证明函数y=x+在区间［3, +∞ ）上单调递增.
（2)讨论函数y=x+在区间（0, +∞)上的单调性。
（3)讨论函数y=x+ (k> 0)在区间（0, +∞)上的单调性。
(1)证明： x1,x2∈ ［3, +∞ ）且x1 < x2
即f (x1) -f (x2) ＝ （x1 - x2 ) ()
因为x1 - x2 < 0，x1 x2 > 9，于是f (x1) -f (x2) <0,即f (x1) < f (x2)
所以y=x+在区间［3, +∞ ）上单调递增.
预习教材，解决问题
解：
① x1,x2∈ (0,3)且x1 < x2即f (x1) -f (x2) ＝ （x1 - x2 ) () 因为x1 - x2 < 0，x1 x2 < 9，于是f (x1) -f (x2) > 0,即f (x1) > f (x2), 函数y=x+在区间（0, 3)上单调递减;
（2）讨论函数y=x+在区间（0, +∞)上的单调性。
预习教材，解决问题
②由（1）可知，当 x1,x2∈ ［3, +∞ ）， y=x+在区间［3, +∞ ）上单调递增；
综上所述， 当 x1,x2∈ (0,3)时，函数y=x+在区间（0, 3)上单调递减;当 x1,x2∈ ［3, +∞ ）， y=x+在区间［3, +∞ ）上单调递增。
解：
① x1,x2∈ (0 ]且x1 < x2即f (x1) -f (x2) =(x1 - x2 ) ()
因为x1 - x2 < 0，x1 x2 < k，于是f (x1) -f (x2) > 0,即f (x1) > f (x2),
函数y=x+ (k> 0)在区间（0, )上单调递减；
（3）讨论函数y=x+ (k> 0)在区间（0, +∞)上的单调性。
预习教材，解决问题
② x1,x2∈[, +∞ )且x1 < x2即f (x1) -f (x2) =(x1 - x2 ) ()
因为x1 - x2 < 0，x1 x2 > k，于是f (x1) -f (x2) < 0,即f (x1) < f (x2),
函数y=x+ (k> 0)在区间（0, )上单调递增，
因此， 当 x1,x2∈ (0 ]，函数y=x+ (k> 0)在区间（0, )上单调递减；当 x1,x2∈[, +∞ )；函数y=x+ (k> 0)在区间[, +∞ )上单调递增。
解:f(x)=x2+2(a-1)x+2=[x+(a-1)]2-(a-1)2+2,
所以此二次函数的对称轴为直线x=1-a.
所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a].
因为f(x)在(-∞,4]上是单调递减,
所以直线x=1-a必须在直线x=4的右侧或与其重合,
所以1-a≥4,解得a≤-3,即实数a的取值范围为(-∞,-3].
【探究一】　利用函数单调性求参数范围
【例1】已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]单调递减,求实数a的取值范围
x=1-a
探究与发现
解:由例题知函数f(x)的单调递减区间为(-∞,1-a],所以1-a=4,解得a=-3.
变式训练1：已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2单调递减区间为(-∞,4],求实数a的值
变式训练2：已知y=f(x)在定义域(-1,1)上单调递减,且f(1-a)解:由题意可知,解得0又因为f(x)在区间(-1,1)上是单调递减,且f(1-a)所以1-a>2a-1,即a<. ②
由①②可知,0即所求a的取值范围是(0,).
探究与发现


变式训练3：若函数y=f(x)在R上单调递增,且f(m2)>f(-m),则实数m的取值范围是 (　　)
A.(-∞,-1)　　B.(0,+∞) C.(-1,0)　　D.(-∞,-1)∪(0,+∞)

D
解析:
因为y=f(x)在R上单调递增,
且f(m2)>f(-m),所以m2>-m,
即m2+m>0.解得m<-1或m>0,
即m的取值范围是(-∞,-1)∪(0,+∞).
故选D.
探究与发现
总结归纳
【探究二】 函数单调性的性质应用
假设①f(x)=x+2；②g(x)=-x;③h(x)=3x；④W(x)=-x时
求下列函数的单调性
小结：
增函数+增函数=增函数；增函数-减函数=增函数；
减函数+减函数=减函数；减函数-增函数=减函数。
多个f(x)=kx+b的单调性的加减运算
①+ ③；
①②；
②④；
②③；
探究与发现
【探究二】函数单调性的性质应用
例2.下列有关函数单调性的说法,正确的是 (　 　)
A.若f(x)为增函数,g(x)为增函数,则 f(x)+g(x)为增函数
B.若f(x)为减函数,g(x)为减函数,则 f(x)+g(x)为减函数
C.若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则 f(x)+g(x)为增函数
D.若f(x)为减函数,g(x)为增函数,则 f(x)-g(x)为减函数
解析:若f(x)为增函数,g(x)为减函数,则f(x)+g(x)的增减性不确定.
例如:f(x)=x+2为R上的增函数,
当g(x)=-x时,f(x)+g(x)=+2为增函数;当g(x)=-3x时,f(x)+g(x)=-2x+2在R上为减函数.所以不能确定f(x)+g(x)的单调性.
ABD
小结：
增函数+增函数=增函数；增函数-减函数=增函数；
减函数+减函数=减函数；减函数-增函数=减函数。
探究与发现
【探究三】利用函数最值解决恒成立问题
例3. 当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
C
探究与发现
课堂总结
一
二
三
函数单调性的应用(共20张PPT)
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3.2函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
学习目标：
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,理解它的作用和现实意义;
2.会用定义证明简单函数的单调性;
3.在抽象出函数单调性的过程中感悟数学概念的抽象过程及符号表示的作用,发展数学抽象素养。
学习重点：
借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性,理解它的作用和现实意义;
学习难点：
会用定义证明简单函数的单调性.
新课引入
我们知道函数是描述事物变化规律的数学模型，这样我们可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识，那么什么是函数性质呢？
总体而言，函数性质就是“变化中的不变性，变化中的规律性”。研究函数性质，就是要学会在运动变化中发现规律。
请大家回顾初中学习过的一次函数、二次函数、反比例函数。我们通过什么来研究他们的性质呢？
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问题1：观察课本P76的图3.2-1函数图象，思考当自变量x增大时,相应函数值y是如何变化的？
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问题2：画出函数f(x)=x2的图象，
(1)在区间(-∞,0)上，从左到右下降，当x增大时，函数值f(x)_______；
(2)在区间[0,+∞)上，从左到右上升，当x增大时，函数值f(x)_______；
减小
增大
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f(x1)f(x1)>f(x2)
单调递增
单调递减
增函数
减函数
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还有其他类型图象吗？
同号为增
异号为减
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提示:定义中的x1,x2有以下3个特征:
①任意性,即x1,x2是任意选取的,证明时不能以特殊代替一般;
②有大小,通常规定x1③属于同一个单调区间.
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提示:若函数f(x)是其定义域上的增函数,
则当f(a)>f(b)时,a>b;
若函数f(x)是其定义域上的减函数,
则当f(a)>f(b)时,awww.
解析:由函数单调性的定义可知,要证明一个函数是增函数,需对定义域内的任意的自变量都满足自变量越大,函数值也越大,而不是个别的自变量.
答案:×
课堂练习
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答案:×
答案:×
课堂练习
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[-2,1]
[3,5]
[-5,-2]
[1,3]
探究与发现
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跟踪训练1：画出函数 的图像，并指出它的单调区间．
由图象可知，函数的单调减区间为(-∞,-3), (-1, 1);
单调增区间为(－3, 1), (1, +∞)
课堂练习
解：函数f (x) =kx+b (k≠0)的定义域是R.
x1,x2∈R,且x1 < x2,
则f (x1) -f (x2) = (k x1 +b) - (k x2 +b) =k (x1 - x2)
由x1 < x2,得x1 - x2 <0.。所以
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2.作差
3.变形
1.取值定大小
探究二 证明或判断函数的单调性
①当k> 0时，k (x1 - x2) <0.
于是f (x1) -f (x2) <0，即f (x1) < f (x2)，
这时，f (x) =kx+b是增函数。
②当k <0时， k (x1 - x2) > 0
于是f (x1) -f (x2) > 0，即f (x1) > f (x2)，
这时 f (x) =kx+b是减函数。
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4.定号
5.下结论
4.定号
5.下结论
探究二 证明或判断函数的单调性
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利用定义证明函数单调性的方法步骤。
(1)取值：设x1、x2,是区间上的任意两个值，且 x1(2)作差：作差f(x1) - f(x2)或 f(x2) - f(x1)；
(3)变形：并通过因式分解、配方或有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形（一般化为积的形式）；
(3)定号：确定f(x1) - f(x2)或f(x2) - f(x1)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；
(4)下结论：根据定义得出结论。
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探究三 利用单调性求函数的最值
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C
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课堂总结(共16张PPT)
3.2 函数的基本性质
3.2.1 单调性与最大(小)值
第2课时 函数的最值
学习目标：
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的最大(小)值,理解它的作用和实际意义.
2.会根据问题的实际意义求函数的最大(小)值.
学习目标——明确方向，把握重、难点
学习重点：
借助函数图象,会用符号语言表达函数的最大(小)值,理解它的作用和实际意义;
学习难点：
会根据问题的实际意义求函数的最大(小)值。
问题1：观察函数f(x)=x2的图象，
(1)在区间(-∞,0]上，从左到右下降，当x增大时，函数值f(x)_______；
(2)在区间[0,+∞)上，从左到右上升，当x增大时，函数值f(x)_______；
（3）函数f(x)=x2在x=0处取到_______.
减小
增大
最小值
温故而知新
在(-∞,0]上单调递减，当时，；
在 [0,+∞)上单调递增，当时，；
；
在x=0时取得最小值，最小值是=0.
f(x0)=M
阅读预习，解决问题
提示:不一定.反例:f(x)=x既无最大值,也无最小值.
预习教材，解决问题
2
-1
1
5
预习教材，解决问题
答案:C
探究与发现
探究与发现
方法规律
探究点二：利用单调性求函数的最值
例2：已知函数f (x) = (x∈ [2, 6] )，求函数的最大值和最小值.
探究与发现
解： x1,x2∈ [2, 6] ,且x1 < x2,
则f (x1) -f (x2) = - ==
由2≤x1 < x2 ≤ 6，得> 0 ， > 0 ，
于是f (x1) -f (x2) > 0,即f (x1) > f (x2)
所以，函数f (x) = 在区间[2, 6] 上单调递减。
因此，函数f (x) = 在区间[2, 6]的两个端点上分别取得最大值与最小值。
在x=2时取得最大值，最大值是2;在x=6时取得最小值，最小值是0. 4.
探究与发现
例2：已知函数(x∈ [2, 6] )，求函数的最大值和最小值.
变式训练2：已知函数f(x)= ，求f(x)在上的最大值和最小值.
探究与发现
-7
8
探究与发现
探究与发现
探究与发现
课堂总结

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