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四川省达州市第一中学2024-2025学年下学期第三次素质训练（期末考试）七年级数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．（2025七下·达州期末）加快建设体育强国，就是要弘扬中华体育精神．下列体育图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，故B符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐一进行判断即可．
2．（2025七下·达州期末）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　）
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm
C．3cm，4cm，5cm D．3cm，4cm，8cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.，该选项的三根小木棒不能构成三角形；
B.，该选项的三根小木棒不能构成三角形；
C. ，，该选项的三根小木棒能构成三角形；
D. ，该选项的三根小木棒不能构成三角形；
故答案为：C．
【分析】利用三角形的三边关系计算求解即可。
3．（2025七下·达州期末）在 中， ，则 是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=5x，
∴2x+3x+5x=180°，
解得：x=18°，
∴∠A=36°，∠B=54°，∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和定理及三个内角的比例关系即可解答．
4．（2025七下·达州期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误．
故选：B ．
【分析】
A、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
B、积的乘方，先给积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，另幂的乘方，底数不变，指数相乘；
C、单项式的除法，把系数的商作为商的系数，相同字母作同底数的幂除法运算，对于只在被除式中出现的字母连同它的指数一同作为商的一个因式；
D、两数和的完全平方等于这两数的平方和加上这两数乘积的2倍．
5．（2025七下·达州期末）如图所示，已知，补充一个条件，可使，那么补充的条件不能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意知，，
A、添加后，不能判定，故A符合题意；
B、添加后，可利用判定，故B不符合题意；
C、添加后，可利用判定，故C不符合题意；
D、添加后，可利用判定，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】结合已知条件，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可得出答案．
6．（2025七下·达州期末）等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为（　　）
A． B．或 C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可分两种情况：
①当底边为时，则腰长为：，
②当腰长为时，则底边长为：，
则，不符合三角形三边关系，构不成三角形，
∴等腰三角形的腰长为．
故答案为：C．
【分析】由题意，分两种情况，①当底边为时，可得出腰长为，②当腰长为时，则底边长为，根据三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”可知，此时不能构成三角形，结合各选项即可求解．
7．（2025七下·达州期末）下列说法正确的是（　　）
A．调查全班名同学对食品安全知识的知晓情况，适宜采用全面调查
B．从，，，，中随机抽取一个数，取得偶数的可能性更大
C．连续拋掷一枚质地均匀的硬币次，必有次正面朝上
D．张彩票中只有张奖票，人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查；概率公式
【解析】【解答】解：A、全班仅人，人数较少且需准确数据，适合全面调查（普查），故A符合题意；
B、、、、、中偶数有个，奇数有个，抽到偶数的概率为，抽到奇数的概率为，∵，∴取得奇数的可能性更大，故B不符合题意；
C、硬币正反面概率均为，但实际试验结果可能偏离理论值，无法保证恰好次正面，故C不符合题意；
D、人依次摸奖（不放回），每人中奖概率均为，与顺序无关，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据调查的对象和对调查数据的要求确定调查的方式可判断A；根据概率公式计算概率可判断B、C、D．
8．（2025七下·达州期末）如图，在中，D是上一点，交于点E，，，则下列结论中：①；②；③；④，正确的结论有(　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】和中，，
，
，，，①正确，
，，
，③正确，
，④正确，
，
，②正确
综上所述，正确的共有4个，
故选A．
【分析】
① 由于对顶角相等，则结合已知可利用SAS证明，则有；
② 由于三角形的内角和等于180度，等量代换得结合成立；
③ 由内错角相等两直线平行得，则两直线平行同旁内角互补；
④ 由于全等三角形在面积相等，则．
二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，共20分）
9．（2025七下·达州期末）若一个角的补角是，则这个角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】补角
【解析】【解答】解：∵一个角的补角是，
则这个角的度数为
故答案为：
【分析】
互为补角的两个角之和为．
10．（2025七下·达州期末）已知，，则　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：．
【分析】逆用同底数幂的除法法则进行计算即可．
11．（2025七下·达州期末）若x，y满足方程组，则x+y=　 　
【答案】3
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，①+②得3x+3y=9，等号两边同时除以3，得x+y=3.
故答案为：3.
【分析】通过将两个方程相加，我们可以得到3x+3y=9，然后两边同时除以3，就可以得到答案．
12．（2025七下·达州期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，则　 　．
【答案】54
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由作图可知：垂直平分线段，即BC与MN相交于点O，则
BO=CO，∠DOB=∠DOC=90°，
∵DO=DO，
∴△DOB≌△DOC（SAS），
∴∠DBO=∠DCO=36°，∠BDN=∠CDN，
，
故答案为：54．
【分析】由作图可得MN垂直平分线段BC，即BC与MN相交于点O，证明△DOB≌△DOC可得∠DBO=∠DCO=36°，∠BDN=∠CDN，再利用直角三角形两锐角互余即可求得答案.
13．（2025七下·达州期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为　 　．
【答案】
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图所示，过点作，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
∵，
，
．
故答案为：．
【分析】过作，得到，由可得，由垂直的定义得，根据"两直线平行，同旁内角互补"可求出的度数，同理可求解.
三、解答题（本大题共5小题，共48分）
14．（2025七下·达州期末）（1）计算：；
（2）用简便算法计算：．
【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂和零指数幂，去绝对值，计算乘方运算，再进行加减运算即可；
（2）根据平方差公式，将2024×2026变形成(2025－1)(2025＋1)，再进行计算即可．
15．（2025七下·达州期末）解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
把①代入②，得，解得．
把代入①，得．
∴这个方程组的解是；
（2）解：整理，得
，得，解得．
把代入①，得．
∴这个方程组的解是．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可得答案；
（2）先将方程去分母，再利用用加减消元法解方程组．
（1）解：
解：①代入②，得，解这个方程，得．
把代入①，得．
∴这个方程组的解是；
（2）解：原方程组可以化简为
，得，解得．
把代入①，得．
∴这个方程组的解是．
16．（2025七下·达州期末）先化简，再求值：
，其中，．
【答案】解：原式
，
将代入，得：
原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先分别利用平方差公式、完全平方公式、多项式除以单项式法则计算，再合并同类项，最后代入求值即可．
17．（2025七下·达州期末）如图，网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在格点上．
（1）画出关于轴对称的图形；
（2）的面积为_____________；
（3）在轴上找一点，使的和最小．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）5
（3）解：如图，点P即为所求作的点．
连接，则，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，再连接、、即可；
（2）用矩形面积减去三个直角三角形面积计算即可；
（3）先作点B关于x轴的对称点D，再连接交x轴于点P，即可．
（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：．
（3）解：如图，点P即为所求作的点．
连接，则，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小．
18．（2025七下·达州期末）【问题情境】
如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求的度数．
（1）按小明的思路，求出的度数；
【问题迁移】
（2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α、β之间的数量关系．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2），
理由如下：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）如图所示，当在的延长线时，由（2）可知，，
，
如图所示，当在线段上时，由（2）可知，，
．
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据平行公理推论可得，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠APE和∠CPE，根据∠APC=∠APE+∠CPE即可求得；
（2）过点作，同理可得，根据两直线平行，内错角相等可得，，推出；
（3）分点在的延长线上，和在线段上，两种情况进行讨论即可，同（2）根据平行公理的推论和两直线平行，内错角相等，即可求得.
四、填空题（每题4分，共20分）
19．（2025七下·达州期末）如果x2＋（m－1）x＋16是完全平方式，那么m的值为　 　．
【答案】9或－7
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2+（m﹣1）x+16是一个完全平方式，
∴m﹣1＝±8，
解得：m＝9或m＝﹣7，
故答案为：9或﹣7．
【分析】完全平方公式：两数的平方和加上（减去）这两个数积的2倍，即为两数和（差）的平方，根据完全平方公式列出关于m的方程求解即可．
20．（2025七下·达州期末）已知的乘积中不含和项，那么　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；整式条件求值
【解析】【解答】解：
，
∵乘积中不含和项，
∴，且，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【分析】
先把a和b当作常数，再利用多项式的乘法运算法则展开得，则由已知知和项的系数为，再分别计算即可．
21．（2025七下·达州期末）如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为　 　．
【答案】
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由图（2）可得，
∴在 长方形中 ，，
∴，
当时，点P在点D处，
∴，即，
故答案为：．
【分析】先根据图2得出的长度，再根据矩形的性质结合图象得出CD的长，然后根据当时，点P在点D处，利用三角形面积公式求出y的值，即可得出m的值．
22．（2025七下·达州期末）为了测量一幢层高楼的层高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度都等于米，量得旗杆与楼之间距离为米，则每层楼的高度大约　 　米．
【答案】3
【知识点】全等三角形的实际应用；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
，
，
，
，
米，米，
（米），
在和中，
，
，
米，
每层楼的高度（米），
故答案为3．
【分析】
由垂直的概念结合两锐角互余可得，再根据证明，再由全等三角形的性质可得米，最后进行计算即可解答．
23．（2025七下·达州期末）如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是　 　．
【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在中，，中，，
如图，延长至，使，设与交于点，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
故①符合题意；
，
，
平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，
故②不符合题意；
设，则，
，
，
，
，
，
，
故③符合题意；
，
，
，
，
，
故④符合题意；
故答案为：①③④．
【分析】根据．且，构造倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，可判断①，也可以通过线段的等量代换运算判断④，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，可判断③，当时，可以推导出，否则不垂直于，可判断②．
五、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．）
24．（2025七下·达州期末）骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙离点的距离分别为，与行驶的时间为之间的关系如图所示．
甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙离A点的距离分别为，，与行驶的时间为之间的
（1）①甲的速度为_________千米／小时，乙的速度为_________千米／小时；
②经_________小时，甲、乙两人相通，此时距地的距离为_________；
（2）甲出发几小时后甲、乙两人相距．
【答案】（1）①40，80
②2，160
（2）解：设甲出发后甲、乙两人相距．
分三种情况：
相遇前，，
解得；
相遇后且乙到达终点前，，
解得，，不合题意，舍去；
乙到达终点后，，
解得；
综上可知，甲出发0.5或后甲、乙两人相距．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）①由图可知，甲乙两地相距；
V甲=，V乙=；
②甲、乙两人相遇时所用时间为：，
此时距B地的距离为，
故答案为：①40，80②2，160；
【分析】（1）①根据函数图象中的数据利用“速度路程时间”即可求解；②根据速度、时间、路程之间的关系求解；
（2）分三种情况讨论，相遇前、相遇后且乙到达终点前、乙到达终点后，列式计算，再找到满足题意的解即可．
（1）解：①由图可知，甲乙两地相距；
甲的速度为，乙的速度为；
②甲、乙两人相遇时所用时间为：，
此时距B地的距离为，
故答案为：①40，80②2，160
（2）解：设甲出发后甲、乙两人相距．
分三种情况：
相遇前，，
解得；
相遇后且乙到达终点前，，
解得，，不合题意，舍去；
乙到达终点后，，
解得；
综上可知，甲出发0.5或后甲、乙两人相距．
故答案为：0.5或4.5．
25．（2025七下·达州期末）［基础］
（1），求的值．
［变式］
（2）已知，求的值．
［应用］
（3）为深入贯彻落实中共中央国务院《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》某校规划了如图所示的五边形劳动试验田，该劳动试验田中，四边形区域的形状是边长为米的正方形，四边形（点在上）区域及四边形区域的形状都是边长为米的正方形．图中阴影部分区域种植了小白菜，已知的长为2米，，求劳动试验田中小白菜的种植面积．
【答案】解：（1）∵，
∴，∴，
把代入得：，
∴；
（2）设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴
∴；
（3）根据题意得：米，，
∴
，
（平方米）．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）把左右两边平方，利用完全平方公式化简后，把代入计算即可求出的值；
（2）设，即，根据，利用完全平方公式求出的值，再结合，即可求出原式的值；
（3）由三个正方形面积面积面积面积表示出阴影部分面积，根据求出即可．
26．（2025七下·达州期末）【问题情境】
（1）如图1，在与中，，，，连接，，且点E在线段上．
【问题解决】
①求证：；
②连接，若，的面积为，求的长度；
【问题迁移】
（2）如图2，在中，，．D是内一动点，作射线，连接，作交射线于点E（点E在D右侧），在射线上截，连接．当时，用等式表示，，的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：①∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，负值舍去，
∵，
∴；
（2）；理由如下：
延长，过点B作于点G，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）①利用手拉手全等模型可证明，再由全等的性质即可得；
②由等腰直角三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得、，则可证，再由三角形面积公式可得，则即可；
（2）延长，过点B作于点G，则可借助AAS证明，则，，又可借助AAS证明，则，从而可得，再等量代换即可证明猜想成立．
1 / 1四川省达州市第一中学2024-2025学年下学期第三次素质训练（期末考试）七年级数学试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）
1．（2025七下·达州期末）加快建设体育强国，就是要弘扬中华体育精神．下列体育图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025七下·达州期末）下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（　　）
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm
C．3cm，4cm，5cm D．3cm，4cm，8cm
3．（2025七下·达州期末）在 中， ，则 是（　　）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．（2025七下·达州期末）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·达州期末）如图所示，已知，补充一个条件，可使，那么补充的条件不能是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·达州期末）等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为（　　）
A． B．或 C． D．
7．（2025七下·达州期末）下列说法正确的是（　　）
A．调查全班名同学对食品安全知识的知晓情况，适宜采用全面调查
B．从，，，，中随机抽取一个数，取得偶数的可能性更大
C．连续拋掷一枚质地均匀的硬币次，必有次正面朝上
D．张彩票中只有张奖票，人去摸，先摸的人摸到奖票的概率较大
8．（2025七下·达州期末）如图，在中，D是上一点，交于点E，，，则下列结论中：①；②；③；④，正确的结论有(　　)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（本大题共5个小题，每题4分，共20分）
9．（2025七下·达州期末）若一个角的补角是，则这个角的度数为　 　．
10．（2025七下·达州期末）已知，，则　 　．
11．（2025七下·达州期末）若x，y满足方程组，则x+y=　 　
12．（2025七下·达州期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和；②作直线交于点，连接．若，则　 　．
13．（2025七下·达州期末）近几年中学生近视的现象越来越严重，为响应国家的号召，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为　 　．
三、解答题（本大题共5小题，共48分）
14．（2025七下·达州期末）（1）计算：；
（2）用简便算法计算：．
15．（2025七下·达州期末）解下列方程组：
（1）
（2）
16．（2025七下·达州期末）先化简，再求值：
，其中，．
17．（2025七下·达州期末）如图，网格中每个小正方形的边长都为1个单位长度，的顶点都在格点上．
（1）画出关于轴对称的图形；
（2）的面积为_____________；
（3）在轴上找一点，使的和最小．（不写作法，保留作图痕迹）
18．（2025七下·达州期末）【问题情境】
如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求的度数．
（1）按小明的思路，求出的度数；
【问题迁移】
（2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α、β之间的数量关系．
四、填空题（每题4分，共20分）
19．（2025七下·达州期末）如果x2＋（m－1）x＋16是完全平方式，那么m的值为　 　．
20．（2025七下·达州期末）已知的乘积中不含和项，那么　 　．
21．（2025七下·达州期末）如图1，已知长方形中，动点M沿长方形的边以的路径匀速运动到A处停止，记的面积为y，动点M运动的路程为x，y与x的关系如图2所示，则图2中的m的值为　 　．
22．（2025七下·达州期末）为了测量一幢层高楼的层高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底的距离与旗杆的高度都等于米，量得旗杆与楼之间距离为米，则每层楼的高度大约　 　米．
23．（2025七下·达州期末）如图，在直角中，，以为边作，满足，点为上一点，连接，，．有下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确结论的序号是　 　．
五、解答题（本大题共3小题，其中24题8分，25题10分，26题12分，共30分．）
24．（2025七下·达州期末）骑摩托车从地去地，乙开汽车从地去地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙离点的距离分别为，与行驶的时间为之间的关系如图所示．
甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙离A点的距离分别为，，与行驶的时间为之间的
（1）①甲的速度为_________千米／小时，乙的速度为_________千米／小时；
②经_________小时，甲、乙两人相通，此时距地的距离为_________；
（2）甲出发几小时后甲、乙两人相距．
25．（2025七下·达州期末）［基础］
（1），求的值．
［变式］
（2）已知，求的值．
［应用］
（3）为深入贯彻落实中共中央国务院《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》某校规划了如图所示的五边形劳动试验田，该劳动试验田中，四边形区域的形状是边长为米的正方形，四边形（点在上）区域及四边形区域的形状都是边长为米的正方形．图中阴影部分区域种植了小白菜，已知的长为2米，，求劳动试验田中小白菜的种植面积．
26．（2025七下·达州期末）【问题情境】
（1）如图1，在与中，，，，连接，，且点E在线段上．
【问题解决】
①求证：；
②连接，若，的面积为，求的长度；
【问题迁移】
（2）如图2，在中，，．D是内一动点，作射线，连接，作交射线于点E（点E在D右侧），在射线上截，连接．当时，用等式表示，，的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故A不符合题意；
B、是轴对称图形，故B符合题意；
C、不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，故D不符合题意．
故答案为：B．
【分析】轴对称图形：把一个图形沿着某条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形，根据轴对称图形的定义逐一进行判断即可．
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A.，该选项的三根小木棒不能构成三角形；
B.，该选项的三根小木棒不能构成三角形；
C. ，，该选项的三根小木棒能构成三角形；
D. ，该选项的三根小木棒不能构成三角形；
故答案为：C．
【分析】利用三角形的三边关系计算求解即可。
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=5x，
∴2x+3x+5x=180°，
解得：x=18°，
∴∠A=36°，∠B=54°，∠C=90°，
∴△ABC为直角三角形，
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和定理及三个内角的比例关系即可解答．
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误．
故选：B ．
【分析】
A、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
B、积的乘方，先给积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，另幂的乘方，底数不变，指数相乘；
C、单项式的除法，把系数的商作为商的系数，相同字母作同底数的幂除法运算，对于只在被除式中出现的字母连同它的指数一同作为商的一个因式；
D、两数和的完全平方等于这两数的平方和加上这两数乘积的2倍．
5．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：由题意知，，
A、添加后，不能判定，故A符合题意；
B、添加后，可利用判定，故B不符合题意；
C、添加后，可利用判定，故C不符合题意；
D、添加后，可利用判定，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】结合已知条件，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可得出答案．
6．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由题意可分两种情况：
①当底边为时，则腰长为：，
②当腰长为时，则底边长为：，
则，不符合三角形三边关系，构不成三角形，
∴等腰三角形的腰长为．
故答案为：C．
【分析】由题意，分两种情况，①当底边为时，可得出腰长为，②当腰长为时，则底边长为，根据三角形三边关系定理“三角形任意两边之和大于第三边”可知，此时不能构成三角形，结合各选项即可求解．
7．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查；概率公式
【解析】【解答】解：A、全班仅人，人数较少且需准确数据，适合全面调查（普查），故A符合题意；
B、、、、、中偶数有个，奇数有个，抽到偶数的概率为，抽到奇数的概率为，∵，∴取得奇数的可能性更大，故B不符合题意；
C、硬币正反面概率均为，但实际试验结果可能偏离理论值，无法保证恰好次正面，故C不符合题意；
D、人依次摸奖（不放回），每人中奖概率均为，与顺序无关，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据调查的对象和对调查数据的要求确定调查的方式可判断A；根据概率公式计算概率可判断B、C、D．
8．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】和中，，
，
，，，①正确，
，，
，③正确，
，④正确，
，
，②正确
综上所述，正确的共有4个，
故选A．
【分析】
① 由于对顶角相等，则结合已知可利用SAS证明，则有；
② 由于三角形的内角和等于180度，等量代换得结合成立；
③ 由内错角相等两直线平行得，则两直线平行同旁内角互补；
④ 由于全等三角形在面积相等，则．
9．【答案】
【知识点】补角
【解析】【解答】解：∵一个角的补角是，
则这个角的度数为
故答案为：
【分析】
互为补角的两个角之和为．
10．【答案】
【知识点】同底数幂的除法
【解析】【解答】解：，，
，
故答案为：．
【分析】逆用同底数幂的除法法则进行计算即可．
11．【答案】3
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，①+②得3x+3y=9，等号两边同时除以3，得x+y=3.
故答案为：3.
【分析】通过将两个方程相加，我们可以得到3x+3y=9，然后两边同时除以3，就可以得到答案．
12．【答案】54
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；全等三角形中对应角的关系；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：由作图可知：垂直平分线段，即BC与MN相交于点O，则
BO=CO，∠DOB=∠DOC=90°，
∵DO=DO，
∴△DOB≌△DOC（SAS），
∴∠DBO=∠DCO=36°，∠BDN=∠CDN，
，
故答案为：54．
【分析】由作图可得MN垂直平分线段BC，即BC与MN相交于点O，证明△DOB≌△DOC可得∠DBO=∠DCO=36°，∠BDN=∠CDN，再利用直角三角形两锐角互余即可求得答案.
13．【答案】
【知识点】垂线的概念；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图所示，过点作，
∵，
∴，
，
，
，
，
，
∵，
，
．
故答案为：．
【分析】过作，得到，由可得，由垂直的定义得，根据"两直线平行，同旁内角互补"可求出的度数，同理可求解.
14．【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先计算负整数指数幂和零指数幂，去绝对值，计算乘方运算，再进行加减运算即可；
（2）根据平方差公式，将2024×2026变形成(2025－1)(2025＋1)，再进行计算即可．
15．【答案】（1）解：
把①代入②，得，解得．
把代入①，得．
∴这个方程组的解是；
（2）解：整理，得
，得，解得．
把代入①，得．
∴这个方程组的解是．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可得答案；
（2）先将方程去分母，再利用用加减消元法解方程组．
（1）解：
解：①代入②，得，解这个方程，得．
把代入①，得．
∴这个方程组的解是；
（2）解：原方程组可以化简为
，得，解得．
把代入①，得．
∴这个方程组的解是．
16．【答案】解：原式
，
将代入，得：
原式．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先分别利用平方差公式、完全平方公式、多项式除以单项式法则计算，再合并同类项，最后代入求值即可．
17．【答案】（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）5
（3）解：如图，点P即为所求作的点．
连接，则，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：（2）．
【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点、、，再连接、、即可；
（2）用矩形面积减去三个直角三角形面积计算即可；
（3）先作点B关于x轴的对称点D，再连接交x轴于点P，即可．
（1）解：如图，即为所求作的三角形；
（2）解：．
（3）解：如图，点P即为所求作的点．
连接，则，
∴，
∵两点之间线段最短，
∴此时最小，即最小．
18．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2），
理由如下：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）如图所示，当在的延长线时，由（2）可知，，
，
如图所示，当在线段上时，由（2）可知，，
．
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）根据平行公理推论可得，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠APE和∠CPE，根据∠APC=∠APE+∠CPE即可求得；
（2）过点作，同理可得，根据两直线平行，内错角相等可得，，推出；
（3）分点在的延长线上，和在线段上，两种情况进行讨论即可，同（2）根据平行公理的推论和两直线平行，内错角相等，即可求得.
19．【答案】9或－7
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵x2+（m﹣1）x+16是一个完全平方式，
∴m﹣1＝±8，
解得：m＝9或m＝﹣7，
故答案为：9或﹣7．
【分析】完全平方公式：两数的平方和加上（减去）这两个数积的2倍，即为两数和（差）的平方，根据完全平方公式列出关于m的方程求解即可．
20．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；整式条件求值
【解析】【解答】解：
，
∵乘积中不含和项，
∴，且，
解得：，，
∴，
故答案为：．
【分析】
先把a和b当作常数，再利用多项式的乘法运算法则展开得，则由已知知和项的系数为，再分别计算即可．
21．【答案】
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由图（2）可得，
∴在 长方形中 ，，
∴，
当时，点P在点D处，
∴，即，
故答案为：．
【分析】先根据图2得出的长度，再根据矩形的性质结合图象得出CD的长，然后根据当时，点P在点D处，利用三角形面积公式求出y的值，即可得出m的值．
22．【答案】3
【知识点】全等三角形的实际应用；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：由题意得：，，
，
，
，
，
，
米，米，
（米），
在和中，
，
，
米，
每层楼的高度（米），
故答案为3．
【分析】
由垂直的概念结合两锐角互余可得，再根据证明，再由全等三角形的性质可得米，最后进行计算即可解答．
23．【答案】①③④
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：在中，，中，，
如图，延长至，使，设与交于点，
，
垂直平分，
，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，，
故①符合题意；
，
，
平分，
当时，，则，
当时，，则无法说明，
故②不符合题意；
设，则，
，
，
，
，
，
，
故③符合题意；
，
，
，
，
，
故④符合题意；
故答案为：①③④．
【分析】根据．且，构造倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，可判断①，也可以通过线段的等量代换运算判断④，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，可判断③，当时，可以推导出，否则不垂直于，可判断②．
24．【答案】（1）①40，80
②2，160
（2）解：设甲出发后甲、乙两人相距．
分三种情况：
相遇前，，
解得；
相遇后且乙到达终点前，，
解得，，不合题意，舍去；
乙到达终点后，，
解得；
综上可知，甲出发0.5或后甲、乙两人相距．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；通过函数图象获取信息；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）①由图可知，甲乙两地相距；
V甲=，V乙=；
②甲、乙两人相遇时所用时间为：，
此时距B地的距离为，
故答案为：①40，80②2，160；
【分析】（1）①根据函数图象中的数据利用“速度路程时间”即可求解；②根据速度、时间、路程之间的关系求解；
（2）分三种情况讨论，相遇前、相遇后且乙到达终点前、乙到达终点后，列式计算，再找到满足题意的解即可．
（1）解：①由图可知，甲乙两地相距；
甲的速度为，乙的速度为；
②甲、乙两人相遇时所用时间为：，
此时距B地的距离为，
故答案为：①40，80②2，160
（2）解：设甲出发后甲、乙两人相距．
分三种情况：
相遇前，，
解得；
相遇后且乙到达终点前，，
解得，，不合题意，舍去；
乙到达终点后，，
解得；
综上可知，甲出发0.5或后甲、乙两人相距．
故答案为：0.5或4.5．
25．【答案】解：（1）∵，
∴，∴，
把代入得：，
∴；
（2）设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴
∴；
（3）根据题意得：米，，
∴
，
（平方米）．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）把左右两边平方，利用完全平方公式化简后，把代入计算即可求出的值；
（2）设，即，根据，利用完全平方公式求出的值，再结合，即可求出原式的值；
（3）由三个正方形面积面积面积面积表示出阴影部分面积，根据求出即可．
26．【答案】（1）证明：①∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴；
②∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，负值舍去，
∵，
∴；
（2）；理由如下：
延长，过点B作于点G，如图所示：
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；手拉手全等模型
【解析】【分析】（1）①利用手拉手全等模型可证明，再由全等的性质即可得；
②由等腰直角三角形的性质可得，由全等三角形的性质可得、，则可证，再由三角形面积公式可得，则即可；
（2）延长，过点B作于点G，则可借助AAS证明，则，，又可借助AAS证明，则，从而可得，再等量代换即可证明猜想成立．
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